Les similitudes
et sinq = b r Œ Complexe conjugué z = a iib ou z = re q on a alors zz = jzj2 1 2Représentation d’un nombre complexe Œ Le plan muni du repère ortho-gonal direct (O,u ,v ) est ap-pelé le plan complexe Œ z = a +ib est représenté par le point M de coordonnées carté-siennes (a,b) Œ z = reiq est représenté par le point M de
Fiche 12 : Similitudes - Studyrama
Méthode : « Montrer qu’une similitude est indirecte et déterminer ses éléments caractéristiques », fiche exercices n°12 « Similitudes » II - Ecriture complexe d’une similitude
Similitudes planes et nombres complexes - ACCESMAD
Similitudes planes et nombres complexes 1 Ecriture complexe d'une similitude directe Théorème Si f est une similitude directe, il existe des nombres complexes a et b (a 0) tel que l'écriture complexe de f est de la forme z'=az+b Soit le point d'affixe et k un réel positif - L'homothétie h ( , k) transforme le point M (z) en M 1 (z 1
Similitudes 1 Transformations, g´en´eralit´es (Rappels )
2-4 Ecriture complexe d’une similitude Théorème 2 1: Les isométries du plan sont les transformations d’écriture complexe : z′ = eiθ z +b ou z′ = eiθ z+b, θ étant un réel et b un nombre complexe Corollaire 2 1: Toute isométrie est la composée de translations, réflexions et rotations P Louison & T Jourdan − 1
Terminale S – Spécialité Cours : SIMILITUDES PLANES
similitudes planes et de la réciproque d’une similitude • établir le lien entre similitude et triangles semblables • connaître la définition d’une similitude direct, son écriture complexe, et dans le cas où ce n’est pas une translation, ses éléments caractéristiques et sa forme réduite
Les Similitudes Complexes - maths-paris
Une similitude directe du plan est la composé d’une homothétie et d’un déplacement (rotation ou translation) Si nous utilisons les écritures complexes de d et de h, nous avons : d: z’ = ei z + b o réel et b o complexe h: z’ = z + b 1 rapport de h et b 1 complexe L’écriture complexe de h o d = d o h: z’ = (ei z + b o) + b 1
Exercices corrigés sur les similitudes
z' = az + b , où a et b sont des nombres complexes avec a non nul 1: Déterminer les nombres complexes a et b pour que S(D) =C et S(C) = B 2: Soit T la similitude directe qui, au point M d'affixe z , associe le point M' d'affixe z' telle que: Déterminer le rapport et l'angle de T 3: Montrer que la similitude T transforme B en I
Exo sur les similitudes - lyceedadultesfr
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (O, →− u , →− v ) On pren-dra pour unité graphique 4 cm On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a, b, c et d telles que : a = i, b = 1 +2i, c = √ 2eiπ 4, et d = 3 +2i On considère la similitude directe s qui transforme A en B et C en D Soit
Chapitre 4 Similitudes, d´emonstrations de quelques th´eor
Soit une similitude directe S admettant deux points fixes A et B S a pour ´ecriture complexe z′ = az +b donc ˆ S(A) = A S(B) = B ⇔ ˆ zA = azA +b zB = azB +b ce qui est ´equivalent a a = 1 et b = 0 et S est l’identit´e 3 Toute similitude indirecte qui admet au moins deux points fixes A et B est la r´eflexion d’axe (AB)
[PDF] ions polyatomiques
[PDF] ion métallique liste
[PDF] notion d ion
[PDF] notice super simon
[PDF] ion ca2+
[PDF] super simon jeu
[PDF] simon air mode d'emploi
[PDF] notice simon swipe francais
[PDF] les poumons d un fumeur
[PDF] poumon gauche
[PDF] poumon cancer
[PDF] les poumons anatomie
[PDF] bpco
[PDF] le roi se meurt pdf gratuit
Similitudes41. Transformations, g´en´eralit´es (Rappels !)
1-1. Transformations
Définition
1.1: Unetransformation du planest une bijection du plan sur lui-même.
Théorème1.1:
transformationstransformation réciproque translation de vecteur-→utranslation de vecteur--→u homothétie de centre O et de rapport non nulkhomothétie de centre O et de rapport1k réflexion d"axeΔréflexion d"axeΔ rotation de centre O et d"angleαrotation de centre O et d"angle -α1-2. Ecriture complexe d"une transformation
Théorème
1.2: transformationécriture complexe translation de vecteur-→uz?=z+aoùaest l"affixe de-→u homothétie de centreΩet de rapport non nul kz"-ω=k(z-ω)oùωest l"affixe deΩ rotation de centreΩet d"angleαz"-ω=eiα(z-ω)oùωest l"affixe deΩ Théorème1.3: La transformation plane dont l"écriture complexe est de laforme :z?=z+best une translation.
z?=kz+b(kréel non nul et différent de 1) est une homothétie de rapportk. z?=eiαz+b(αdifférent de 0,modulo 2π)est une rotation d"angleα.1-3. G´en´eralit´es sur les compositions de transformations
Définition
1.2: Soitfetgdeux transformations du plan.
L"application qui à tout pointMdu plan associe le pointg(f(M))est une transformation appeléecomposéede
fparget notéegof. Ainsigof(M) =g(f(M))Propriétés1.1:
fo(goh) = (fog)oh
s-1=ssisest une symétrie orthogonale ou centralet-1?u=t-?u
d"où les résultats suivants : fog=idP?g=f-1?f=g-1oùidPest l"application identique du plan. sisest une symétrie orthogonale ou centrale alors :f=sog?g=sof sit?uest la translation de vecteur?u,f=t?uog?g=t-?uof. 0Propriété1.2: L"écriture complexe de la composée de deuxtransformations s"obtient en composant dans le même
ordre leurs écritures complexes.2. Similitudes , g´en´eralit´es
2-1. D´efinition et exemples
Définition
2.1: Soitkun réel strictement positif .
On appellesimilitude de rapportktoute transformation du plan qui multiplie les distances park.Exemples1: Soit les transformations du plan f et g d"écritures complexesrespectivement z?=2iz-3et z?=-2z+i.
Démontrer que f et g sont des similitudes.
Définition
2.2: Uneisométrieest une similitude de rapport 1.
Propriétés2.1: Soitsune similitude de rapportket trois pointsA,BetC. SoitA?,B?etC?les points tels que :A?=s(A),B?=s(B)etC?=s(C). --→A?B?.--→A?C?=k2-→AB.-→AC(le produit scalaire est multiplié park2) ?BAC=?B?A?C?(les angles géométriques sont conservés)L"image d"un repère orthonormal(O,I,J)est un repère orthogonal (O,I?,J?) oùOI?=OJ?=k(rapport de
la similitude).2-2. Composition - d´ecomposition
Propriété
2.2: La composée de deux similitudes de rapportketk?est une similitude de rapportkk?.
La transformation réciproque d"une similitude de rapportkest une similitude de rapport1 k.Propriété2.3: Toute similitude de rapportk,(k>0), est la composée d"une homothétie de rapportket d"une
isométrie.2-3. Similitudes planes et triangles semblables
Définition et propriété
2.3: Soit deux triangles ABC et A"B"C" ; les propriétés suivantes sont équivalentes :
AB A?B?=BCB?C?=ACA?C?(les longueurs des côtés sont proportionnelles. ?ABC=?A?B?C?,?BCA=?B?C?A?,?CAB=?C?AB?On dit alors que les triangles sontsemblables.
Propriété2.4: L"image d"un triangle par une similitude est un triangle semblable.Exemple2: Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC, A" et C" les images respectives de A et de C par la rotation
de centre B et d"angle-π4.A" est le barycentre de (A";32) (B;-2) et C" celui de (C";-6) et (B;8).
Montrer que les triangles ABC et A"B"C" sont semblables.2-4. Ecriture complexe d"une similitude
Théorème
2.1: Les isométries du plan sont les transformations d"écriture complexe :
z ?=eiθz+bouz?=eiθ z+b,θétant un réel etbun nombre complexe. Corollaire2.1: Toute isométrie est la composée de translations, réflexions et rotations.P. Louison & T. Jourdan-1-February 14, 2009
Théorème2.2: Les similitudes du plan sont les transformations d"écriture complexe : z ?=az+bouz?=a z+b,aetbétant deux nombres complexes (a?=0). Le rapport de la similitude est alors|a|, le module dea.Corollaire2.2: Toute similitude est la composée de translations, réflexions, rotations et homothéties.
Théorème2.3:
Les similitudes transforment les droites en droites, les segments en segments et les cercles en cercles.
Les similitudes conservent les angles géométriques, le parallélisme, l"orthogonalité, les barycentres et le
contact. Elles multiplient les aires par le carré de leur rapport.Exemple3: Dans le plan complexe on considère la similitude s d"écriture complexe z?= (1+i)z-3i.
1. Déterminer une équation de la droite d
?image de la droite d : y=2x-3par s.2. Déterminer une équation de l"image du cercle C de centre O et derayon 3.
Théorème et définition
2.4: Les similitudes d"écriture complexez?=az+b(a?C?etb?C)conservent les
angles orientés. Elles sont appeléessimilitudes directesetdéplacements"il s"agit d"une isométrie.Théorème et définition2.5: Les similitudes d"écriture complexez?=az+b(a?Cetb?C)changent les angles
orientés en leur opposé. Elles sont appeléessimilitudes indirectesetantidéplacements"il s"agit d"une isométrie.Théorème2.6:
Toute similitude qui admet trois points fixesnon alignésest l"identité. Toute similitude directe qui admet au moins deux points fixes est l"identité.Toute similitude indirecte qui admet au moins deux points fixes A et B est la réflexion d"axe (AB).
Exemple4: Dans le plan orienté ABCD est un carré direct de côté 1. I est le milieu de[AB]et J celui de[DC].
1. Démontrer qu"il existe une unique similitude indirecte S telle que S(A) =B et S(C) =D.
2. Vérifier que I et J sont des points fixes de S. Quelle est la nature de S ?
3. Similitudes directes
Théorème
3.1: Soitsla symétrie directe d"écriture complexe :z?=az+b(a?C?etb?C).
lorsquea=1,sest la translation de vecteur-→ud"affixeb.lorsquea?=1,sadmet un unique point fixeΩd"affixeω,sest la composée dans un ordre indifférent :
* de l"homothétie de centreΩet de rapportk, aveck=|a|. * de la rotation de centreΩet d"angleθavecθ=arg(a) +2kπ. (k?Z) L"écriture complexe desest alors :z?-ω=keiθ(z-ω).