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LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES ET LEURS RÉCIPROQUES 1 FONCTIONS HYPERBOLIQUES Toute application f : RR s’écrit, et d’une seule façon, sous la forme p+i avec p paire et i impaire Les applications p et i sont respectivement nommées partie paire et partie impaire de f Elles sont déﬁnies par : 8x 2R, 8 >> >< >> >: p ( x)= 1 2 f+ )) i(x

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Title: Microsoft Word - 13 Fonctions hyperboliques doc Author: Ismael Created Date: 4/8/2006 7:31:46

FORMULAIRE SUR LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES

4 Expression de shx et thx en fonction de chx et de chx et cothx en fonction de shx : shx = p ch2x 1 chx = p sh2x+ 1 thx = r 1 1 cos2 x cotx = r 1 + 1 sin2 x 5 Relation avec l’exponentiel : chx+ shx = e xet chx shx = e 6 Formule de puissance : (chx+ shx)n = ch(nx) + sh(nx) pour tout n 2N 7 Formules d’addition :

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Fonctions circulaires et hyperboliques inverses Corrections de Léa Blanc-Centi 1 Fonctions circulaires inverses Exercice 1 Vériﬁer arcsinx+arccosx = p 2 et arctanx+arctan 1 x =sgn(x) p 2: Indication H Correction H Vidéo [000752] Exercice 2 Une statue de hauteur s est placée sur un piédestal de hauteur p 1 À quelle distance x

Fonctions circulaires et leurs réciproques

Fonctions circulaires et leurs réciproques En quoi les fonctions sinh et cosh sont-elles des analogues hyperboliques des fonctions sin et cos

Cours de mathématiques - Exo7 : Cours et exercices de

Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses Fiche d'exercices ⁄ Fonctions circulaires et hyperboliques inverses Vous connaissez déjà des fonctions classiques : exp,ln,cos,sin,tan Dans ce chapitre il s’agit d’ajouter à notre catalogue de nouvelles fonctions : ch, sh, th, arccos, arcsin, arctan, Argch, Argsh, Argth

Corrig e du DM 1 - logiquejussieufr

2 Montrer que les fonctions cosh et sinh sont equivalentes a la fonction x 7ex 2 en +1 3 Etudier les fonctions cosh, sinh et x 7ex 2 et tracer leurs graphes sur le m^eme dessin 4 On pose tanh(x) = sinh x coshx (tangente hyperbolique) et cothx = cosh sinhx (cotangente hyperbolique) Etudier les fonctions tanh et coth et les dessiner

Cours sur les fonctions usuelles

Cours sur les fonctions usuelles c Emmanuel Vieillard Baron, Table des mati`eres 1 Pr´eambule 1 2 Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances 1

Fonctions trigonométriques réciproques

∀ y ∈ [-1 ;1], ∃ x ∈ r tel que sin(x) = y et cos(x) = y La fonction tangente définie de r- {x ∈ r⎮x = 2 π + kπ , k ∈ z } dans r est une application surjective par définition A condition de restreindre judicieusement leurs ensembles de définition, on peut définir des fonctions qui sont injectives et par conséquent

Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en

= 0 et lim x0+ x jlnxj = 0 lim x+1 e x x = +1 et lim x1 jxj e x= 0 Autrement dit, l’exponentielle impose toujours sa limite en 1 aux fonctions puissances, et celles-ci imposent toujours leur limites en 0+ ou +1au logarithme Fonctions circulaires réciproques On suppose connues les fonctions sinus et cosinus

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ĕ (O,⃗i,⃗j)

xPR x=ex+e´x 2 x=ex´e´x 2 x=x x x‰0,x=x x

2x´2x= 1

xPR 2x´2x= (x´x)(x+x) =e´xex= 1 ()1(x) =x,xÑ+8x= +8,xÑ+8x x = +8,(0) = 0 RR e x= 1 +x+x2 2! +¨¨¨+xn n!+o(xn) e

´x= 1´x+x2

2! +¨¨¨+ (´1)nxn n!+o(xn) x=x+x3 3! +¨¨¨+x2p+1 (2p+ 1)!+o(x2p+2) ()1(x) =x,xÑ+8x= +8,xÑ+8x x = +8,(0) = 1

R+[1,+8[

0 x= 1 +x2 2! +¨¨¨+x2p (2p)!+o(x2p) (2= R+ R´ x´x=e´x x´x 0+8 %x=t y=ttPR %x=t y=t tPR

˛M (t,t),tPR tą0 2t´2t= 1

M(x,y)

tPR y=t ā 2t´2t= 1 x

2´y2= 1 x2=2t xą0x=t

x=x x=ex´e´x e x+e´x=e2x´1 e 2x+1 C8R ()1(x) =2x´2x

2x= 1´2x=1

2x xÑ+8x=xÑ+8e2x´1 e

2x+1= 1

R]´1,1[

0 x=x+ax3+bx5+o(x5) ()1(0) = 1

1x= 1 + 3ax2+ 5bx4+o(x4)

2x=x2(1 +ax3+o(x2))2=x2(1 + 2ax2+o(x2))

1´2x= 1´x2´2ax4+o(x2) = ()1(x)

%3a=´1

5b=´2a $

%a=´1 3 b=2 15 x=x´1 3 x3+2 15 x5+o(x5) ()1(x) =2x´2x

2x= 1´2x=´1

2x x=1 x+x=exx´x=e´x2x´2x= 1 (a+b) =aˆb+aˆb(a+b) =aˆb+aˆb aˆb+aˆb=1 4 ((ea+e´a)(eb+e´b) + (ea´e´a)(eb´e´b)) 1 4 1 4 (2ea+b+ 2e´a´b)=(a+b) (a+b) =a+b

1 +aˆb

(a+b) =aˆb+bˆa aˆb+bˆa=a+b

1 +aˆb

ĕ Ŀ ŀ aˆb

(2a) =2a+2a= 1 + 22a= 22a´1 (2a) = 2aˆa (2a) =2(a) 1 +2a

ĕ xPR t=x

2 x=1 +t2

1´t2x=2t

1 +t2 (2a) =2a+2a=2a+2a

2a´2a=1+2a

1´2a 2a

ā (2a) x= 2a

(a+b) +(a´b) = 2aˆb (a+b)´(a´b) = 2aˆb (a+b) +(a´b) = 2aˆb (a+b)´(a´b) = 2aˆb %x=a+b y=a´b C8 @xPR,1(x) =1

1((x))=1

((x))=1 b

1 +2((x))

@xPR,1(x) =1 1 +x2 x"0x x,yPR y=xðñy=xðñey´e´y 2 =xðñe2y´2xey´1 = 0 x˘? 1 +x2 y=xðñey=x´a

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ĕ (O,⃗i,⃗j)

2x´2x= 1

´x= 1´x+x2

R+[1,+8[

˛M (t,t),tPR tą0 2t´2t= 1

M(x,y)

2´y2= 1 x2=2t xą0x=t

2x= 1´2x=1

2x+1= 1

R]´1,1[

1x= 1 + 3ax2+ 5bx4+o(x4)

2x=x2(1 +ax3+o(x2))2=x2(1 + 2ax2+o(x2))

1´2x= 1´x2´2ax4+o(x2) = ()1(x)

5b=´2a $

2x= 1´2x=´1

1 +aˆb

1 +aˆb

ĕ Ŀ ŀ aˆb

ĕ xPR t=x

1´t2x=2t

1´t2x=2t

2a´2a=1+2a

1´2a 2a

ā (2a) x= 2a

1((x))=1

1 +2((x))

1 +x2ey=x+a

ðñey=x+a

ðñy=(

1 +x2)

1 +x2)

C8 [0,+8[[1,+8[

C8]1,+8[

1((x))=1

ą0)=1

2((x))´1

2´1

2´1ey=x´a

2´1

2´1ěxě1x´?

2´1)(x´?

2´1) = 1

2´1ey=x´a

2´1ðñey=x+a

2´1

ðñy=(

2´1)

2´1)

1= +8,0 = 0,x"0x

1(x)=1

1´2(x)=1

1´x2

1´x2=1

1´xˆ1

1 +x=1

1´x+1

1´x2 xÞÑ1

1´x|=1

1´x)