[PDF] FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4 - univ-tlnfr

Du cercle à lhyperbole : la trigonométrie hyperbolique

osinusc hyperbolique notée coshtet par l'équation (6) la fonction sinus hyperbolique notée sinht5 C'est l'émergence d'une nouvelle trigonométrie : la trigonométrie hy-perbolique, dont les champs d'application sont riches et ariés,v allant de la géométrie aux sciences physiques et au génie 3 La trigonométrie hyperbolique

TRigonomÉtRiehypeRboli e

© LaurentGarcin MPSILycéeJean-BaptisteCorot Graphedesh −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 y =shx Graphedech −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 1 2 3 4

TRIGONOMÉTRIE CLASSIQUE ET TRIGONOMÉTRIE HYPERBOLIQUE

HYPERBOLIQUE Les formules de trigonométrie classique et de trigonométrie hyperbolique se correspondent deux à deux Le but du jeu va être de trouver, à partir d’une des formules, la formule correspondante dans l’autre colonne Faites les démonstrations dans votre cahier d’exercice et reportez les résultats dans ce tableau

Formulairedetrigonométriecirculaireethyperbolique

Formulaire de trigonométrie circulaire et hyperbolique Page 2 2)Dérivées(intervallesàpréciser) cos

FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4 - univ-tlnfr

2 La fonction argcosinus hyperbolique y Argch x Ln x x x ch y==±−−⇔=() (2 1 ) Cette fonction continue et définie sur ]1, +∞[et sa dérivée s'écrit : ()() 2 1 ' 1 Argch x x = − 3 La fonction argtangente hyperbolique ()11 () 21 x yArgthx Ln xthy x ⎛⎞+ == ⇔=⎜⎟ ⎝⎠− Cette fonction continue et définie sur ]−1, 1+[et

FORMULAIRE SUR LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES

3 Identit e hyperbolique : ch2x sh2x = 1 4 Expression de shx et thx en fonction de chx et de chx et cothx en fonction de shx : shx = p ch2x 1 chx = p sh2x+ 1 thx = r 1 1 cos2 x cotx = r 1 + 1 sin2 x 5 Relation avec l’exponentiel : chx+ shx = e xet chx shx = e 6 Formule de puissance : (chx+ shx)n = ch(nx) + sh(nx) pour tout n 2N 7

Fonctions hyperboliques

A 2 Tangente hyperbolique Le fait que la fonction cosinus hyperbolique ne s’annule pas permet d’introduire la fonction suivante : A 2 1 D´efinition On appelle fonction tangente hyperbolique la fonction th : R → R,x 7→thx = shx chx = ex −e−x ex +e−x A 2 2 Remarques I La fonction th est impaire (puisque sh est impaire et ch est

Formulaire de trigonométrie circulaire

Formulaire de trigonométrie circulaire A 1 B x M H K cos(x) sin(x) tan(x) cotan(x) cos(x) = abscisse de M sin(x) = ordonnée de M tan(x) = AH cotan(x) = BK

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FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4

A. Fonctions exponentielle, puissance et logarithme

1. La fonction exponentielle de base a (

0a) xLn ax f xyfxae

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : xLn a xLn axx a e Ln a e Ln a a

Cas particulier : l'exponentielle de base e

Propriétés

01

1 ; eee

x xLn e x Ln x xex 2 xyxy xyeee 2 ,, x xy y exy ee 1, nxnxx x neeee ux ux euxe http://ginoux.univ-tln.fr 2

Limites :

0

1lim 1

x x e x lim x x e lim 0 x x e lim ; x x e x

2. La fonction logarithme de Neper

:f xyfx Lnx

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit :

1'Ln x

x

Propriétés

10Ln 1Ln e x xLn e x Ln x xex 2 ,, xy Lnx y Lnx Lny 2 ,, xxyLnLnxLnyy n n Lnx n Lnx

01 , 0xLnx

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Limites

lim x Ln x 0 lim x Ln x 1 lim 11 x Ln x x lim 0 ; x Ln x x 00

1lim lim 11

xx Ln xx xLnx 0 lim 0 ; 0 x xLnx

3. La fonction puissance

mLn xm f xyfxxe

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 1 mm xmx http://ginoux.univ-tln.fr 4

4. La fonction cosinus hyperbolique

2 xx f eexychx

La fonction

ychx est une fonction PAIRE.

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 'ch x sh x

5. La fonction sinus hyperbolique

2 xx f eexyshx

La fonction

yshx est une fonction IMPAIRE.

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 'shx chx http://ginoux.univ-tln.fr 5

6. La fonction tangente hyperbolique

xx xx f sh xeexythxch x e e

La fonction

ythx est une fonction IMPAIRE.

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 2

1'th xch x

Relations importantes

22

1ch x sh x

x ch x sh x e x ch x sh x e 2 2

11th xch x

Lien hypertexte

: http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_hyperbolique http://ginoux.univ-tln.fr 6

B. Fonctions hyperboliques inverses

1. La fonction argsinus hyperbolique

2

1 y Argsh x Ln x x x sh y

Cette fonction continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 2

1'1Argsh xx

2. La fonction argcosinus hyperbolique

2

1 y Argch x Ln x x x ch y

Cette fonction continue et définie sur

1, et sa dérivée s'écrit : 2

1'1Argch xx

3. La fonction argtangente hyperbolique

11 21xyArgthx Ln xthyx

Cette fonction continue et définie sur

1, 1 et sa dérivée s'écrit : 2

1'1Argth x

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T.D. N°3 FONCTIONS HYPERBOLIQUES

N°1

: Étudier le passage de la trigonométrie circulaire à la trigonométrie hyperbolique.

N°2

: Étudier les fonctions :

1, , , 1x

ch x sh x th x th x

N°3

: Démontrer que : 2 2tan2 1tan 2 x sin x x 2 22
1 2 x th sh x x th

N°4

: Démontrer que

Arctan sh x Arcsin th x

N°5

: Étudier la fonction 2 2 1 1x fx Argch x

N°6

: Démontrer que 11 21x

Argth x Ln

x

N°7

: Étudier la fonction

1fx Argth

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