Prolongement par continuité - unicefr
Prolongement par continuit´e Proposition Soit I un intervalle, et a un point de I soit f d´efinie sur I −{a} et ‘ un nombre On pose fˆ := x 7→ si x = a alors ‘ sinon f(x) Alors fˆ est continue en a ssi la limite de f en a est ‘ Exemple La fonction x 7→ si x = 0 alors 2 sinon sinx x est discontinue en 0
1 DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS
1 2 PROLONGEMENT PAR CONTINUITÉ EN UN POINT Définition-théorème (Prolongement par continuité en un point) Soient f: D −→ Cet a ∈ R\ D adhérent à D — f n’est donc pas définie en a y =f (x) a bc b y =f (x) a f (a) On dit que f est prolongeable par continuité en a si lim a f existe et est FINIE Le prolongement f de f à D
Continuité - Dérivabilité
On dit que l'on a prolongé par continuité en , ou que est le prolongement de par continuité en Théorème Si est continue sur , alors est continue sur Dans de nombreux problèmes, on demande de prouver la continuité de Il faut donc alors justifier que est continue sur , et que est continue en
TD :Exercices: LIMITE ET CONTINUITE
D b) Etudier la continuité de la fonction en La fonction s’appelle un prolongement par continuité de la fonction de en -1 4- Peut-on prolonger par continuité en = −2 Exercice17 : Soit une fonction définie par fx 1 cos x x Donner un prolongement par continuité de la fonction en x 0 0
TD 11 Limites et continuité des fonctions
Prolongement par continuité Exercice 14 : Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité au point a indiqué : (Q 1) f(x)= x 1+e 1 x en a =0
Exercices avec solutions : LIMITE ET CONTINUITE
D f 1 2)a) 1 1 1 1 ² 6 5 15 lim lim lim lim 5 4 x x x x11 xx xx f x x xx 2) b) 1 lim 1 x f x f On dit que est continue en x 0 1 Exercice5 :Considérons la fonction f définie par 3 xx fx x ; ???????? ≠ 3 et f 37 Etudier la est continuité de en x 0 3 Solution : on a : ² 12 4 3 xx f x x x D EC 33
Limites et fonctions continues - Exo7
Continuité en un point Vidéo — partie 4 Continuité sur un intervalle Vidéo — partie 5 Fonctions monotones et bijections Fiche d’exercices ⁄ Limites de fonctions Fiche d’exercices ⁄ Fonctions continues Motivation Les équations en une variable x qu’on sait résoudre explicitement, c’est-à-dire en donnant une formule pour
fonctions de plusieurs variables : continuité
La dérivée partielle par rapport à x est ainsi continue à l’origine, donc partout La démons-tration serait la même pour la dérivée partielle par rapport à y, ce qui finit de montrer que la fonction f est de classe C1 3 a) Si l’on fait suivre au point (x, y) l’arc paramétré défini par x =t3, on obtient f (t3,t)= t3t2 t6+t6
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Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
CONTINUITÉ
Les fonctions qu"on étudie en analyse sont généralement définies sur des intervalles ou des réunions d"intervalles comme
?ou[0,1[?[2,3], voire2,π2
+π?.Dans tout ce chapitre, les lettresD,E... qui nous serviront d"ensembles de définition désigneront cependant des parties quelconques de?. On notera par ailleurs?l"un des corps?ou?.1 DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS
On traite dans cette partie le cas des fonctions complexes enmême temps que celui des fonctions réelles, mais nos figures
illustreront seulement le cas réel.1.1 DÉFINITIONS DE LA CONTINUITÉ
Définition(Continuité en un point ou sur une partie)Soientf:D-→?une fonction eta?D. On dit quefest
continue en asi limaf=f(a), i.e. si :?? >0,?α >0,?x?D,|x-a|< α=???f(x)-f(a)??< ?.Cela dit,fétant définie ena, cela revient en fait à exiger seulement que la limite limafEXISTE.
a f(a)fest continue ena. a f(a)fn"est pas continue ena.? a f(a)fn"est pas continue ena.L"ensemble des fonctions continues surDet à valeurs dans?, i.e. continues en tout point deD, est noté?(D,?).
ExempleLa fonction valeur absolue|·|est continue sur?.DémonstrationSoita??. Montrons que|·|est continue ena. Soit? >0. Pour toutx??:??|x|-|a|???|x-a|
d"après l"inégalité triangulaire généralisée, donc pourα=?:?x??,|x-a|< α=???|x|-|a|??< ?.
Le résultat suivant est la version continue d"un résultat analogue sur les limites du chapitre " Limites d"une fonction ».
Théorème(Caractérisation de la continuité à partir des parties réelle et imaginaire)Soientf:D-→?une
fonction eta?D. fest continue ena(resp. surD) si et seulement si Re(f)et Im(f)le sont. ExempleLa fonctiont?-→eitest continue sur?car les fonctions cosinus et sinus le sont. Définition(Continuité à gauche/à droite en un point)Soientf:D-→?une fonction eta?D. Continuité à gauche :On dit quefestcontinue à gauche en asif D∩]-∞,a]est continue ena, i.e. si lima-f=f(a). Continuité à droite :On dit quefestcontinue à droite en asif D∩[a,+∞[est continue ena, i.e. si lima+f=f(a). a f(a)fest continue enaà gauche,
mais pas à droite. a f(a)fest continue enaà droite,
mais pas à gauche.Le résultat suivant est la version continue d"un résultat analogue sur les limites du chapitre " Limites d"une fonction ».
Théorème(Caractérisation de la continuité à l"aide des continuitésà gauche/à droite)Soientf:D-→?une
fonction eta?Dun point au voisinage duquelfest définie à gauche et à droite. fest continue enasi et seulement sifest continue à gauche et à droite ena. 1Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
??y=?x?ExempleLa fonction partie entière?·?est continue en tout point non entier, mais seulement continue à
droite ennpour toutn??. DémonstrationSoitn??. Pour toutx?[n,n+1[:?x?=n, donc limx→n+?x?=n=?n?, donc?·?est continue à droite enn. Au contraire?x?=n-1 pour toutx?[n-1,n[, donc limx→n-?x?=n-1?=?n?=n, doncfn"est pas continue à gauche enn.?Attention !Pour toutx?[0,1[:?x?=0 et la fonctionx?-→0 est continue sur[0,1[, mais peut-on pour autant
dire que la fonctionx?-→ ?x?est continue sur[0,1[? Non! Ces deux fonctions sont définies sur?tout entier et coïncident
sur[0,1[, mais leur continuité en 0 dépend aussi de leur comportementau voisinage de 0À GAUCHE, i.e. à l"extérieur de
[0,1[. Alors que la restriction?·? [0,1[est bien continue sur[0,1[tout entier, la fonction?·?ne l"est que sur]0,1[, elleN"estPAScontinue en 0.
1.2 PROLONGEMENT PAR CONTINUITÉ EN UN POINT
Définition-théorème(Prolongement par continuité en un point)Soientf:D-→?eta??\Dadhérent àD
fn"est donc pas définie ena. y=f(x) a y=f(x)? a f(a)On dit quefestprolongeable par continuité en asi limafexiste et estFINIE. Le prolongement fdefàD?aainsi obtenu en posantf(a) =limafest alors continu ena.Les fonctionsfet
fsont distinctes en toute rigueur car elles n"ont pas le même ensemble de définition, mais on choisit généralement de noter encorefle prolongement fpar souci de simplicité.DémonstrationNous devons montrer quefest continue ena, i.e. que limaf=f(a), ou encore que limaf=f(a)
puisque fetfcoïncident surD. Ce résultat s"écrit ainsi : ?? >0,?α >0,?x?D,|x-a|< α=??? f(x)-f(a)??< ??. C"est presque le résultat mais pas tout à fait car fest définie ena. Or on peut évidemment remplacerDparD?adans?:?? >0,?α >0,?x?D?a,|x-a|< α=???
f(x)-f(a)??< ?.Exemple
La fonctionx?-→xlnxn"est pas définie en 0 mais on peut la prolonger par continuitéen ce point en lui donnant la
valeur 0 en 0, car limx→0xlnx=0.La fonctionx?-→sinx
xn"est pas définie en 0, mais comme limx→0sinxx=1, on peut la prolonger par continuité en ce
point en lui donnant la valeur 1 en 0.Pour toutα >0 :xα=eαlnx---→x→00, donc en posant 0α=0, on prolonge la fonctionx?-→xα, a priori définie
sur??+, en une fonction continue sur?+tout entier.1.3 OPÉRATIONS SUR LA CONTINUITÉ
Que ce soit en un point ou sur un intervalle, la somme et le produit de deux fonctions continues sont continus. Même
chose pour l"inverse d"une fonction qui ne s"annule pas ainsi que pour la composée de deux fonctions composables. Ces
résultats découlent immédiatement des résultats analogues que nous avons prouvés sur les limites de fonctions.
ExempleLa fonctionx?-→
lnx2+e1x2est définie et continue sur??. DémonstrationAttention, pour la composition, il faut bien préciser les domaines manipulés!La fonctionx?-→1
xest continue sur??(à valeurs dans?) et la fonctionx?-→exl"est sur?, donc par compositionx?-→e1 xest continue sur??. La fonctionx?-→x2est continue sur?, donc sur??. Par somme,x?-→x2+e1 xest continue sur??. 2Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
La fonctionx?-→x2+e1
xest continue sur??à valeurs dans??+etx?-→lnxest continue sur??+, donc par compositionx?-→lnx2+e1 xest continue sur??(à valeurs dans?).Enfin, la fonctionx?-→x2est continue sur
?. Le résultat découle donc d"une dernière composition.1.4 CARACTÉRISATION SÉQUENTIELLE DE LA CONTINUITÉ
Le résultat suivant est la version continue d"un résultat analogue sur les limites du chapitre " Limites d"une fonction ».
Théorème(Caractérisation séquentielle de la continuité en un point)Soientf:D-→?une fonction eta?D.
Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i)fest continue ena. (ii) Pour toute suite(un)n??de limiteaà valeurs dansD, la suitef(un) n??a pour limitef(a).En résumé :
Pour une fonctionCONTINUE:f
limn→+∞... ... si la limite existe. =limn→+∞f(...).Ce théorème a déjà souvent été utilisé dans le contexte des suites récurrentesun+1=f(un).SI(un)n??CONVERGEvers
un réel?et sifestCONTINUEen?, alorsf(?) =?.Le résultat suivant est une application ultra-classique dela caractérisation séquentielle de la continuité et de la densité
de?dans?.Théorème(Endomorphismes continus de?)Les endomorphismes continus du groupe additif?, i.e. les fonctions
f? ?(?,?)pour lesquelles pourf(x+y) =f(x)+f(y)tousx,y??, sont exactement les fonctionslinéairesx?-→λx,
λdécrivant?.
DémonstrationLes fonctions linéaires répondent bien sûr au problème. Réciproquement, soitfun endomor-
phisme continu de?. Alors pour tousn??etx??:f(nx) =nf(x)?.Posonsλ=f(1)et montrons quef
?=λId?. Or pour toutr=pq??avecp??etq???: qf(r)?=f(qr) =f(p)?=pf(1) =λp, doncf(r) =λp q=λr. Montrons quef=λId?. Soitx??. Comme?est dense dans?, nous pouvons nous donner une suitede rationnels(rn)n??de limitex. Par continuité defenxet d"après la caractérisation séquentielle de la
continuité :f(x) =f limn→+∞rn =limn→+∞f(rn) =limn→+∞λrn=λlimn→+∞rn=λx.2 TROIS THÉORÈMES DE CONTINUITÉ GLOBALE
?Attention !Les théorèmes de ce paragraphe ne concernent que les fonctionsRÉELLES. Lacontinuité globaledésigne la
continuité sur un intervalle par opposition à lacontinuité localeen un point.2.1 LE THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES
Théorème(Théorème des valeurs intermédiaires, version " existenced"un antécédent »)Soienta,b??avec
a?betf? ?[a,b],?. Tout réel compris entref(a)etf(b)possèdeAU MOINSun antécédent parfdans[a,b].
3Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
Démonstration(n°1)On suppose pour simplifier quef(a)?y?f(b) raisonnement analogue dans l"autre
cas et on poseX= t?[a,b]|f(t)?y y=f(x) y f(a) f(b) abx X L"ensembleXest majoré parbet contientacarf(a)?y, donc nous pouvons noterxsa borne supérieure d"après la propriété de la borne supérieure. Nous allons prouver l"égalitéy=f(x)en prouvant suc- cessivement quef(x)?yetf(x)?y. La figure ci-contre illustre le bien-fondé de cette démarche. Commex=supX,xest lalimite d"une suite(xn)n??d"éléments deX,or f(xn)?ypour toutn??, donc d"après la caractérisation séquentielle de la continuité :f(x) =f limn→+∞xn =limn→+∞f(xn)?y. Six=b, alorsf(x) =f(b)?ypar hypothèse. SupposonsxDémonstration(n°2, par dichotomie)Ici aussi, on suppose pour simplifier quef(a)?f(b)et on posea0=a
etb0=b. À partir de l"intervalle[a0,b0] = [a,b], il s"agit de construire par récurrence de nouveaux intervalles
intéressants plus petits[a1,b1],[a2,b2],... Plus précisément, soitn??. Supposons qu"on ait déjà construit des
réelsa0,...,an,b0,...,bnpour lesquels : (i)a=a0?...?an,bn?...?b0=bet pour toutk??0,n?:bk-ak=b-a 2k, (ii) pour toutk??0,n?:f(ak)?y?f(bk). On définit alors au rangn+1 les réelsan+1etbn+1de la manière suivante :?????a n+1=anetbn+1=an+bn2sif!an+bn2!
?y a n+1=an+bn2etbn+1=bnsif!an+bn2!
Les suites(an)n??et(bn)n??ainsi construites sont finalement adjacentes d"après (i), donc possèdent une limite
finie communex?[a,b]. Or si nous passons à la limite dans (ii), la caractérisationséquentielle de la continuité
montre quef(x)?y?f(x), i.e. quey=f(x). y=f(x) y f(a) f(b) a=a0b0=b a1b1 a2b2 a3b3... xLe réelxconstruit
par dichotomieLa version du TVI énoncée ci-dessous est nouvelle pour vous mais conceptuellement aussi importante que la précédente.
Théorème(Théorème des valeurs intermédiaires, version " image d"unintervalle »)L"image d"unINTERVALLE
par une fonction continue est unINTERVALLE.?Attention !SiIest unINTERVALLEetf:I-→?une fonction continue, cette version nouvelle du TVI affirmequef(I)
est également unINTERVALLE, mais pas queIetf(I)sont de même nature. Il se peut queIsoit ouvert etf(I)un segment,
ou bien queIsoit semi-ouvert etf(I)ouvert, etc.Un intervalle
Pas un intervalle
I f(I)??Iouvert,f(I)fermé.
I f(I)Isemi-ouvert,f(I)ouvert.
4Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
DémonstrationSoientIunINTERVALLEetf? ?(I,?). Pour montrer quef(I)est un intervalle, donnons-nous u,v?f(I)avecu?v, puisy?[u,v], et montrons quey?f(I). Ce qui est sûr, c"est queu=f(a)etv=f(b)pour certainsa,b?I, la version précédente du TVI montre donc quey=f(x)pour un certainxcompris entre
aetb. En particulierx?IcarIest un intervalle, et enfiny=f(x)?f(I).Théorème(TVI strictement monotone)Soienta,b??aveca (ii) ToutefonctionCONTINUEetSTRICTEMENT DÉCROISSANTEf:[a,b[-→?estbijectivede[a,b[surlimbf,f(a). DémonstrationDans le cas oùfest strictement croissante sur[a,b[,fest bijective de[a,b[sur son image vallesf(a),limb-fouf(a),limb-f. Peut-on avoir limb-f?f[a,b[? Il existerait dans ce cas un réelx?[a,b[ pour lequelf(x) =limb-f, et aussitôtfserait constante égale à limb-fsur[x,b[, ce qui contredirait laSTRICTE Nous avons vu que la continuité ne préserve pas la forme des intervalles en général, mais en tout un intervalle. Nous prouverons seulement quefpossède un maximum pour un minimum, remplacerfpar savons quesest la limite d"une suite d"éléments def[a,b]. Nous pouvons donc nous donner une suite(xn)n?? Si(xn)n??était convergente de limitex?[a,b], on pourrait aussitôt affirmer quef(x) =spar continuité, ce qui montrerait ques?? et donc quefest majorée mais même mieux, ques=maxf[a,b]. Le problème, c"est que(xn)n??n"a aucune raison d"être convergente. Si jamaisfatteint un maximum en deux pointsuetv distincts, on peut très bien imaginer que lesxnsont tantôt autour deu, tantôt autour dev. Il faudrait pouvoir DémonstrationOn pourrait sans doute étudier les variations def, mais les calculs à mener seraient délicats et le théorème des bornes atteintes permet de les éviter. Prolongée par continuité en 0 par la valeur 0,fest continue donc possède un minimum sur leSEGMENT[0,1]. Ce minimum est en fait atteint sur]0,1]carfest strictement DémonstrationSoientT>0 etf? ?(?,?)T-périodique. D"après le théorème des bornes atteintes,fest bornée sur leSEGMENT[0,T], donc il existe un réelK?0 pour lequel??f(x)???Kpour toutx?[0,T]. Ainsi, Il existe tout plein de normes en mathématiques, pas seulement celle que vous connaissez dans le plan ou l"espace. Définition-théorème(Norme infinie d"une fonction bornée)SoitDune partie non vide de?. Pour toute fonction BORNÉEf:D-→?, on appellenorme infinie de f sur Det on note?f?∞, ou?f?∞,Den cas d"ambiguïté, le réel : La bonne définition de la norme infinie d"une fonctionBORNÉEdécoule bien sûr de la propriété de la borne supérieure. Le théorème des bornes atteintes montre quant à lui que toutefonction continue sur unSEGMENTy est bornée, donc possède Ensuite, pour toutx?D:??λf(x)??=|λ| ×??f(x)???|λ| × ?f?∞, donc par définition de la borne supérieure :?λf?∞?|λ|×?f?∞avec égalité siλ=0. Inversement, siλ?=0, alors pour toutx?D:??f(x)??=1 λf(x)???1|λ|?λf?∞, donc?f?∞?1|λ|?λf?∞, et enfin?λf?∞=|λ|×?f?∞. Enfin, pour toutx?D:??f(x)+g(x)?????f(x)??+??g(x)????f?∞+?g?∞d"après l"inégalité triangulaire On anticipe dans l"exemple qui suit certains développements importants du chapitre " Dérivabilité ». ExempleSoienta,b??aveca2.2 LE THÉORÈME DES BORNES ATTEINTES
Théorème(Théorème des bornes atteintes)Deux versions équivalentes. (i) Toute fonction continue sur unSEGMENTy est bornée et atteint ses bornes. (ii) L"image d"unSEGMENTpar une fonction continue est unSEGMENT. ab y=f(x) 2,π2
DémonstrationMontrons (i). Soienta,b??aveca?betf? ?[a,b],?. D"après le TVI,f[a,b]est Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
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