[PDF] négation maths
[PDF] contraposée exercices corrigés
[PDF] théorème de pythagore rédaction
[PDF] salaire apprenti bp
[PDF] salaire apprenti coiffure 2017
[PDF] salaire apprenti bp coiffure
[PDF] salaire bp coiffure 2017
[PDF] salaire bp coiffure
[PDF] remuneration apprenti metallurgie 2016
[PDF] salaire apprenti convention metallurgie
[PDF] salaire apprenti métallurgie 2017
[PDF] clause de propriété intellectuelle exemple
[PDF] exemple de contrat renouvelable par tacite reconduction
[PDF] contrat d'apprentissage pour les plus de 26 ans
[PDF] contrat d'apprentissage pour les plus de 30 ans
Chapitre 1
Notions de logique
1.1
´El´ements de logique
D ´efinition 1.1.1.Uneassertionoupropositionest un´enonc´e auquel on peut attri- buer la valeur vrai ou faux.
Les propositions sont not
´ees par des lettres majusculesP,Q,R, ...
Dans ce cours nous utiliserons tout le temps le motassertionet nous r´eservons le motproposition`a un usage qui sera expliqu´e dans le chapitre suivant.
En math
´ematiques, on se situe dans le cadre d"une logique`a deux valeurs. Une assertion math ´ematiquePest soit vraie soit fausse. Si elle est vraie, nous lui attribuons la valeur 1, (ou V); si elle est fausse, nous lui attribuons la valeur logique 0, (ou F). On peut trouver des assertions toujours vraies, par exemple x2>0pourx r ´eel ou0 = 0qu"on appelle des tautologies; des assertions toujours fausses, parexemple
0 = 1etdesassertionstantˆotvraies,tantˆotfausses,parexemple
x2= 1qui est vraie pourx= 1oux=1, et fausse sinon.
Un axiome, un postulat, un th
´eor`eme sont des assertions vraies.
Apartird"assertionsdonn
teurs logique. D
´efinition 1.1.2(Connecteurs logiques).
- Lan´egation: lenon. L"assertionnonPvraie signifie que l"assertionPest fausse. On note aussi :P - Laconjonction:leet.L"assertionPetQvraiesignifiequelesdeuxassertions sont vraies en m
ˆeme temps. On la note aussi :P^Q
- Ladisjonction: leou. L"assertionPouQ, qui est vraie si l"une au moins des assertionsPouQest vraie. On la note aussi :P_Q - L"implication: On peut consid´erer que les phrases suivantes ont le mˆeme sens : 5
CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE6
- si l"assertion
Pest vraie, alors l"assertionQest vraie,
- si
PalorsQ.
-PimpliqueQ. On noteP=)Q - Une ´equivalence logiqueest la conjonction d"une assertion et de sa r´eciproque.
On note
P()Q. P()Qsignifie(P=)Q) et (Q=)P). Elle est vraie siP,Q sont simultan ´ement vraies et si elles sont simultan´ement fausses.
1.1.1 N
´egation
nous noterons (nonP) le contraire de l"assertionP, c"est-`a-dire l"assertion qui est vraie quandPest fausse et qui est fausse quandPest vraie. N aP.
1.1.2 Conjonction
Lorsque l"on a deux assertions
PetQ, on peut former une nouvelle
assertion appel ´ee laconjonctionde ces deux assertions, que l"on noteraPet Q . L"assertionPetQvraie signifie que les deux assertions sont vraies en m
0´equivaut`ax= 0ety= 0.
Commutativit
´eIl est clair que
(PetQ)()(QetP)
Table de v
´erit´e de la conjonctionPQPetQVVV
VFF FVF FFF
CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE7
1.1.3 Disjonction
Lorsque l"on a deux assertionsP,Q, on peut aussi former une assertion que l"on appelle ladisjonctionde ces deux assertions, que l"on note(PouQ), qui est vraie si l"une au moins des assertionsPouQest vraie.
Attention, ce point diff
`ere du langage courant. En math´ematiques, leouest non exclusif,c"est- vraies. Ainsi l"assertionxy= 0´equivaut`a l"assertionx= 0ou y= 0, elle est vraie quand l"un des deux nombres est nul, elle est aussi vraie quand les deux sont nuls.
Commutativit
´eIl est clair que (PouQ)()(QouP)
Table de v
´erit´e de la disjonctionPQPouQVVV
VFV FVV FFF
1.1.4 Lois de Morgan
Lemath
la n ´egation d"une disjonction, ou la n´egation d"une conjonction. N ´egation de la disjonctionD"apr`es l"inventaire des trois cas possibles pour l"as- sertion PouQ, l"assertionnon(PouQ)signifie que l"on aPfaux et Qfaux, c"est-`a-dire que l"on a l"assertionnon(P) et non(Q): non(PouQ)()non(P) et non(Q) N ´egation de la conjonctionL"assertionnon(PetQ)signifie que l"on est dans l"un des trois cas
Pfaux etQvrai,Pfaux etQfaux,Pvrai et
Qfaux, c"est-`a-dire que l"on a l"assertionnon(P) et non(Q): non(PetQ)()non(P) ou non(Q)
CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE8
R `egles de distributivit´eLa conjonction est distributive par rapport`a la disjonc- tion : (Pet (QouR)´equivaut`a ((PetQ) ou (PetR)).
La disjonction est distributive par rapport
`a la conjonction : (Pou (QetR))´equivaut`a ((PouQ) et (PouR))
On peut d
´emontrer la distributivit´e par les tables de v´erit´e. (Pou (QetR))()((PouQ) et (PouR))
1.1.5 Implication
Un th ´eor`eme qui s"´enonce sous la formesi l"hypoth`esePest vraie alors la conclusionQest vraie, s"exprime formellement sous la formePimplique Q et on note :P=)Q.
Table de v
´erit´e de l"implicationPQnonPP=)QVVFV
VFFF FVVV FFVV Une fac¸on plus ancienne, mais qu"il faut conna
ˆıtre, exprime un th´eor`eme sous
laformedeconditionn bien garde qu"un th
´eor`eme admet ces deux expressions.
Condition n
´ecessaire, condition suffisanteIl s"agit d"une autre fac¸on d"exprimer les implications. Les phrases suivantes ont le m
ˆeme sens :
P=)Q; - Pour que
Psoit vraie, il faut queQsoit vraie;
Qest une condition n´ecessaire pour queP;
- Pour que
Q, il suffit quePsoit vraie;
Pest une condition suffisante pour queQ.
La m
ˆeme implication peut dont s"´ecrire :
- soit comme une condition suffisante , pour que la conclusion soit vraie, il suffit que l"hypoth `ese soit vraie. - soit comme une condition n ´ecessaire,pour que l"hypoth`ese soit vraie, il faut que la conclusion soit vraie.
CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE9
Contrapos
´ee d"une implication.`A toute assertionP=)Q, on peut associer une assertion qu"on appelle sa contra-pos
´ee. Ces deux assertions sont vraies en
m
ˆeme temps.
(nonQ)=)(nonP)est la contrapos´ee deP=)Q.
P=)Qest la contrapos´ee de(nonQ)=)(nonP)
On a vu que les phrases suivantes sont
´equivalentes :
-P=)Q - (nonP) ouQ
L"implication
P=)Qest donc aussi´equivalente`a
(non(nonQ)) ou (nonP) c"est- `a-dire`a (nonQ)=)(nonP) D ´efinition 1.1.3.L"assertion(nonQ)=)(nonP)s"appelle lala contra-pos´ee de l"implication
P=)Q; elle lui est´equivalente.
On a donc toujours
P=)Q´equivaut`a(nonQ)=)(nonP)
Remarques
L"implication contra-pos
´ee deP=)Qn"a pas la mˆeme signification que l"implication r
´eciproque deP=)Qqui estQ=)P.
Lar´eciproquede l"assertionP=)Qest l"assertionQ=)P. Donc a toute assertion "PimpliqueQ" o`u l"hypoth`ese de la premi`ere est devenue la conclusion de la seconde et la conclusion de la premi `ere est devenue l"hy- poth `ese de la seconde. N ´egation d"une implicationComment´ecrire la n´egation de l"assertionP=) Q Pour ´ecrire la n´egation de l"assertionP=)Qon affirme la conjonction de l"hypoth `ese et la n´egation de la conclusion de l"assertion initialePet (non Q). On se trompe facilement car le connecteur "=)" n"apparaˆıt pas dans la n ´egation de l"assertion. D"apr`es le sens mˆeme de l"implication, on voit tout de suite que l"assertion "non (P=)Q)" est´equivalente`a "Pet (nonQ)"
CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE10
1.1.6
´Equivalence logique
Une
P()Qsignifie(P=)Q) et (Q=)P).
Les phrases suivantes ont le m
ˆeme sens :
- Les assertionsPetQsont´equivalentes; -(P=)Q) et (Q=)P); -P()Q; -PetQsont simultan´ement vraies, ou simultan´ement fausses; - (PetQ) ou ((nonP) et (nonQ)); - pour queP, il faut et il suffit queQ; -Pest vraie si et seulement siQest vraie; -Pest une condition n´ecessaire et suffisante pourQ. Bien entendu, dans toutes ces phrases on peut changer les r
ˆoles dePetQ.
1.2 Quantificateurs
Pour exprimer qu"une propri
´et´e est universelle ou pour exprimer l"existence d"unobjet,lesmath tificateurs. Nous allons en ´etudier les r`egles d"usage et les propri´et´es.
1.2.1 Quantificateur universel
Le quantificateur universel8se lit :pour toutouquelque soit. La phrase formelle
8x2E;P(x)affirme que la propri´et´ePest vraie pour tout les´el´ements de
l"ensembleE, qu"il n"y a pas dansEde contre exemple`a la propri´et´eP. L"assertion8x2E;P(x)ne d´epend pas dex, elle signifie exactement la mˆeme chose que8y2E;P(y). On dit que la variablexest muette.
L"usage de ces quantificateurs est tr
`es pr´ecis et diff`ere de l"usage intuitif du langage ordinaire. Cette pr ´ecision est n´ecessaire pour que les formules´ecrites avec des quantificateurs aient un sens pr
´ecis. C"est pourquoi il est important de
prendre conscience des r `egles d"utilisation de ces quantificateurs.
1.2.2 Quantificateur existentiel
Le quantificateur existentiel9se litil existe. L"assertion9x2E;P(x)veut dire que dansE, il existe au moins un´el´ementxqui v´erifie la propri´et´eP.
CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE11
Attention : il peut aussi en exister plusieurs, on affirme seulement que l"en- semble des ´el´ements qui v´erifient la propri´et´ePest non vide. L"assertion9x2E;P(x)ne d´epend pas dex, elle signifie exactement la mˆeme chose que9y2E;P(y). La variablexest une variable muette. La notation9!est utilis´ee pour :il existe un seul. ExempleSia2Z,´etudions la propri´et´e :L"´equation2x2(a+2)x+a= 0a une solution enti `ere. L" ´equation`a deux racines,x0= 1etx00=a=2. Siaest pair elles sont enti`eres toutes les deux, sinon seule la premi `ere est enti`ere. La propri´et´e est donc vraie, bien qu"il y ait quelquefois deux solutions enti `eres; elle doitˆetre comprise comme :
9x2Z;2x2(a+ 2)x+a= 0
Souventon pr
´ecisequand mˆeme:L"´equation2x2(a+2)x+a= 0aau moins une solution enti `ere, mais ce n"est pas obligatoire.
1.2.3 R
`egles d"usage des quantificateurs
Quand on
quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35
Chapitre 1 Notions de logique - Eklablog