PARIMaths
multiplication à la place du mot fois Si aucun élève ne l’évoque, le professeur devra l’introduire Cette activité est une activité de découverte laissant la place à la représentation de la multiplication que peuvent avoir les élèves en début d’apprentissage 2 L’apprentissage de la multiplication peut se faire sous deux
PARIMaths
l’addition) et la multiplication (introduction du signe u, résolution de problèmes multiplicatifs simples, calcul du produit de deux nombres dont l’un a un chiffre, calcul du produit d’un nombre entier par 10 et par 100) Elle précède l’étude de la technique usuelle de la multiplication par un nombre de deux chiffres
Les nombres complexes - Partie I
A ce stade, nous avons introduit ne nouveaux nombres mais tout cela est bien abstrait Alors que les nombres réels sont bien familiers pour nous et que l'on peut aisément se les représenter géométriquement en s'aidant d'une droite graduée, les nombres complexes pour le moment sont bien obscurs
Lire, écrire et décomposer les nombres de 0 à 999 999
Lire, écrire et décomposer les nombres de 0 à 999 999 1- Réécris ces nombres en séparant bien les classes et en enlevant les zéros inutiles Ex : 056258 : 56 258 2- Écris ces nombres en chiffres • Huit-cent-soixante-quinze-mille-trois-cent-soixante-dix-neuf :
Pour enseigner les nombres, le calcul et la résolution de
Évolution des stratégies reposent sur : grandeur des nombres, connaissances mobilisables en calcul, contraint sur l’objectif de l’activité et les connaissances et compétences visées Les problèmes multiplicatifs: permettent de construire le sens de la multiplication et de la division Cherche: le tout, une part ou le nombre de parts
Cycle4 Compétences,programmesetattendusen Mathématiques
(nombres rationnels, racine carrée) peut utilement s’appuyer sur un travail des grandeurs et mesures ou de la géométrie L’extension des procédures de calcul (addition, soustraction, multiplication, division) aux nombres rationnels et l’introduction du calcul littéral doivent s’appuyer sur des situations permettant de construire le
Chapitre : Résoudre des problèmes I
Pour obtenir les nombres d’une colonne dans un tableau de proportionnalité, on peut ajouter les nombres de deux autres colonnes Exemple 1 : retoursur l’activité d’introduction sur la hauteur d’une pile de 15 pièces Nombre de pièces 12 3 Hauteur de la pile (en mm) p = Exemple 2 : On sait que 125 $ = 100 €
Trigonométrie en 1S : Une activité pour bien démarrer
[Introduction du radian] b) A quels angles ces distances correspondent-elles ? (mettre dans un tableau) Distance parcourue, mesurée en nombres de tours 1 tour Un demi tour Un quart de tour Un sixième de tour Distance parcourue = Longueur de l'arc de cercle 2 2 1 π 3 Mesure de l'angle en radians 2 2 1
Passer de l’écriture fractionnaire aux nombres Écris ces
Lire, écrire, arrondir et décomposer les nombres décimaux 1- Entoure en bleu la partie entière des nombres 34,76 0,876 650,98 1,87 123,45
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Trigonométrie en 1S : Une activité pour bien démarrer ♠ Exercice 1 .
1) a) Quelle est la distance parcourue sur un cercle de rayon 1 à partir de si on fait 1 tour
complet ? Un demi tour ? Un quart de tour ? Un sixième de tour ? [Introduction du radian] b) A quels angles ces distances correspondent-elles ? (mettre dans un tableau)Distance parcourue, mesurée en
nombres de tours 1 tourUn demi tourUn quart de tourUn sixième de tourDistance parcourue = Longueur
de l'arc de cercle221π
3Mesure de l'angle en radians
2
21...Mesure de l'angle en degré360°180°90°≈57,3°60°
2) Charles, Thierry et Juliette vont faire une pique nique. Ils suivent un chemin circulaire dans la
forêt de rayon 1 km. Ils se donnent RV à π4 de l'entrée.
a) Thierry ne rejoint pas les deux autres. Pourquoi ? [introduire sens trigonométrique, différence entre angles géométriques et angles orientés] b) Farceurs, ils donnent RV à Enguerrand4+6π km de l'entrée. Enguerrand pique-niquera-t-
il avec eux ? [ introduire : Plusieurs mesures pour un même angle notées α+2 kπ]c) Une autre façon d'être sûrs de se retrouver est de donner les coordonnées du point de RV.
" RV au point de coordonnées (x, y) » est sans ambiguïté ! [ introduire le cos et le sinus d'un
angle]. Quelles sont les coordonnées du lieu de pique-nique ? Et celles de l'endroit où les attend
Thierry ? [ Angles associés]
COURS 1ère S Mme Helme-Guizon 1Ch 9Trigonométrie1ère STable des matièresI.Le cercle trigonométrique......................................................................2
A.enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique............................................................................2
B.Le radian..................................................................................................................................................................3
C.cosinus et sinus d'un nombre réel............................................................................................................................4
II.Angles orientés................................................................................4
A.Mesures d'un angle orienté......................................................................................................................................4
B.Cosinus et sinus d'un angle orienté..........................................................................................................................4
C.Propriétés des angles orientés..................................................................................................................................4
III.Lignes trigonométriques......................................................................6
A.Valeurs remarquables (à connaître!)........................................................................................................................6
C.Angles associés........................................................................................................................................................7
D.Équations trigonométriques.....................................................................................................................................7
E.Formules d'addition et de duplication......................................................................................................................7
IV.Repérage polaire d'un point du plan. [plus au programme].................................8Objectifs du chapitre
Cochez ce qui est acquis pour vérifier que vous êtes au point sur ce chapitre. Notions à connaître : cercle trigonométrique, radian, sens trigonométrique. Connaître les valeurs remarquables de sinus et cosinus, par exemple sin3)ou cos(π
4) Définition de la mesure d'un angle orienté.
Savoir trouver la mesure principale d'un angle orienté. Savoir utiliser le cercle trigonométrique pour déterminer les sinus et cosinus d'angles associés, par
exemple savoir exprimer cos(x+π)en fonction de cosx. Savoir utiliser le cercle trigonométrique pour résoudre dans ℝ des équations de la forme
cosx=cosa ou sinx=sina. trouver la mesure principale d'un angle orienté.I.Le cercle trigonométrique.
A.enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique Définition: Le plan est rapporté à un repère O;i,j orthonormé.Le cercle de centre O et de rayon 1 est appelé cercle trigonométrique. Le sens inverse des aiguilles d'une
montre est appelé le sens direct (positif). COURS 1ère S Mme Helme-Guizon 2 Définition : L'enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique permet de repérer chaque point M du cercle par un unique réel t de l'intervalle ]-;]. En enroulant la droite des réels sur le cercle, on se rend compte que plusieurs réels repèrent le point M, ils sont de la forme t2k avecB.Le radian
Définition: Le radian est une mesure d'angle proportionnelle au degré et caractérisée par πrad=180∘
Intérêts du radian :
•Un arc de cercle de rayon R intercepté par un angle α a pour longueur Rαà condition que
l'angle αsoit exprimé en radian. Si αsoit exprimé en degrés, la longueur de l'arc est
Rαπ
180.•La dérivée de xcosxest x-sinx condition que x soit exprimé en radian et c'est x-π
180sinxsix est exprimé en degrés. (idem pour la dérivée de sinus)
Soit l, la longueur de l'arc de cercle AM. Si l=1, on définit l'angle AOB comme mesurant 1 radian.Définition: Le radian est la mesure de l'angle au centre qui intercepte sur le cercle trigonométrique un
arc de cercle de longueur 1 unité.On a le tableau de correspondance suivant :
Longueur de l'arc
2
21...Mesure de l'angle en radians
2
21...Mesure de l'angle en degré360°180°90°≈57,3°... On remarque que sur un cercle trigonométrique, si
0x2 alors l=x.
COURS 1ère S Mme Helme-Guizon 3C.cosinus et sinus d'un nombre réel
II.Angles orientés
A.Mesures d'un angle orienté
Définition: u=OM et v=ON sont deux vecteurs non nuls. Les demi-droites [OM) et [ON) coupent
le cercle trigonométrique en A et B. Au couple OA;OB, on associe une famille de nombres de la
dans le sens direct. Chacun de ces nombres est une mesure en radians de l'angle orienté de vecteurs u;v.On note
u;v un angle de vecteurs. On écrira u;v=6mod2.
Propriété: Un angle orienté
u;v a une unique mesure appartenant à l'intervalle ]-;], on l'appelle mesure principale de l'angle.Les autres mesures sont les réels
B.Cosinus et sinus d'un angle orienté
C.Propriétés des angles orientés.
Propriété:
u, v et w sont des vecteurs non nuls.u;vv;w=u;wmod2. (Relation de Chasles)
Propriété:
u et v non nuls sont colinéaires ⇔ u;v=0mod2 ou u;v=mod2
COURS 1ère S Mme Helme-Guizon 4Propriété: u et v non nuls sont colinéaires ⇔ -u;-v=u;vmod2.
Propriété: Soit C un cercle de centre O passant par A et B. Pour tout point M (≠A et B) du cercle, on a :
Autrement dit, en divisant par 2 (y compris le modulo π !), (⃗MA;⃗MB)=12(⃗OA;⃗OB)mod(π)Démo : On a dans AMO,
MA;MOAO;AMOM;OA=mod2or
MA;MO=AO;AM (triangle isocèle) donc 2De même dans OBM, on a
or MO;MB=BM;BO (triangle isocèle) doncEn ajoutant (1) et (2), on obtient : 2
Soit 2
COURS 1ère S Mme Helme-Guizon 5III.Lignes trigonométriques.
A.Valeurs remarquables (à connaître!)
t06=30º
4=45º
3=60º
2=90º
cost1 322
2120 sint01 2 2 2 3 21
B.Propriétés
Propriétés:
cos2tsin2t=1 cost COURS 1ère S Mme Helme-Guizon 6C.Angles associés
A savoir retrouver instantanément ou presque sur le cercle trigonométrique: Les formules suivantes sont plus difficiles à retrouver sur le cercle. Si vous avez du mal à les retrouver sur le cercle, apprenez-les: cost2=-sintsint
2=cost" π
2-... inverse sin et cos. » :
cos2-t=sintsin
2-t=cost
D.Équations trigonométriques
Cas particuliers à connaître :
cosx=cosa⇔x=a+2kπ ou x=-a+2kπ sinx=sina⇔x=a+2kπ ou x=π-a+2kπ.E.Formules d'addition et de duplication
Formules d'addition
abbabacossincossin)sin(Formules de duplication (conséquence des précédentes)∀a, sin2a=2sina×cosa et cos2a=cos2a-sin2a =2cos2a-1 =1-2sin2a COURS 1ère S Mme Helme-Guizon 7Moyen mnémotéchnique:
Sinus est simple et sympa.
IV.Repérage polaire d'un point du plan. [plus au programme] Définition : Soit un point M du plan (M ≠ O) et i un vecteur unitaire. Un couple de coordonnées polaires de M dans le repère O;i est un couple r; où r est la distance OM et une mesure de l'angle orienté i;OM. C'est une autre amnière de repérer un point dans le plan.Propriété : Soit
r∈ℝ*+, ∈ℝ et i un vecteur unitaire et j un vecteur unitaire avec i;j=
2.M a pour coordonnées polaires
r; équivaut à OM=rcosirsinj.Démo :
OM=rOm donc OM=rcosisinj=rcosirsinj
Propriété : Soit
M≠O, M a pour coordonnées polaires r;, M a pour coordonnées cartésiennes
x;y, alors {x=rcos y=rsin et r= x2y2, cos=xx2y2 et sin=y x2y2.Démo :
avec la démo précédente, on a x=rcos et y=rsin. COURS 1ère S Mme Helme-Guizon 8 d'où x2y2=r2cos2sin2=r2 Donc r=x2y2 car r0et cos=x x2y2 et sin=y x2y2v Exercice 1 . Activités p 111 du livre : Fourmis et placement/VTT.•Fourmis : un est la population de la fourmilière au 1er jour du n-ième mois après le 1er janvier
2010 .
0mnnuest la suite définie par{u0=4000 un+1=un×1,05-100. •Placement/VTT : 125 euros à0,35% mensuel. vnest le capital sur le livret après n mois de
placement. 0mnnvest la suite définie par{v0=125 vn+1=vn×1,0035soit v Exercice 2 . A1,A2,....,An sont des points distincts d'un cercle c. Combien de segments peut-on former en joignant ces points 2 à 2. Objectifs : (1) Introduire la notation indicielle. (2)Une suite définie par récurrence apparaît spontanément.SOL : On note wnle nombre de segments que l'on peut former en joignant ces points 2 à 2. wn+1=wn+n
COURS 1ère S Mme Helme-Guizon 9