[PDF] Méthodes pour les équations fonctionnelles (2)



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Primitives EXOS CORRIGES - Free

Soit f la fonction définie sur \ par f ()xx=+()2ex Déterminez les nombres a et b tels que la fonction F , définie sur \ , par Fx ()=+ ( axb ) e x soit une primitive de f Exercice n°16



Fiche 9 - University of Paris-Est Marne-la-Vallée

La fonction f est définie sur R par : 3 5 3 x f ( x) Montrer que f n’a pas d’extremum Exercice 17 La fonction f est définie sur R par : f (x) = -3x² + 6 + 8 Montrer que f admet un extremum que l’on précisera Exercice 18 Les laboratoires « Belior » produisent et vendent des trousses d’urgence Le bénéfice, exprimé en



1 Soit la fonction définie sur 0; par : fx On admet qu

Si le total est négatif, la note est ramenée à 0 Soit f la fonction définie sur 4;+ par fx()= 2x +1 8 x 4 et sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan 1 Une autre expression de fx() est : fx()= 2x2 9x +12 4 x Vrai Faux 2 L’équation fx()= 5 a deux solutions de signes contraires Vrai Faux f '()x =()x +1 ()6x2 18x +12 4



TD :FONCTIONS - Généralités - Votre école sur internet

Exercice1:Soit la fonction f définie par , f x x 2 31 1)Calculer l’image de 1 et 2 et 1 par f 2)Déterminer les antécédents éventuels de 2 par f, Exercice2: a On considère la fonction définie par : x f 1 x x– 3 Parmi les valeurs suivantes, laquelle/lesquelles n’a/ont pas d’image par f ? 0 Exercice; 2 ; -3 ; 3



LIMITES – EXERCICES CORRIGES

Montrer que la droite d’équation y = x est asymptote en +∞ à la courbe représentative de la fonction f définie par fx x x ()= + 3 2 1 Exercice n°25 Montrer que la droite d’équation y =2x est asymptote pour x →+∞ à la courbe représentative de la fonction définie sur \ par fx x x()=+ −2 1 Exercice n°26 On considère la



1ere Sciences BIOF - Votre école sur internet

Exercice 16 : Soit f une fonction numérique définie sur par : f x x x 2 Démontrer que f est majorée sur Exercice 17 : Montrer que la fonction g définie sur par g x x4sin 3 Montrer est Bornée Exercice 18 : Soit f une fonction numérique tq : 2 1 1 fx x 1)Déterminer D f 2) Démontrer que f est majorée sur



Méthodes pour les équations fonctionnelles (2)

Démontrer que f est strictement positive sur ] 0 ; + ∞ [ 2 Soit g la fonction définie sur R par g (x) = ln( f (ex)) Démontrer que g est continue sur R et que g vérifie l’équation fonctionnelle de l’exercice 1 En déduire, grâce à la résolution de l’exercice 1, l’expression de g (x) pour x réel, puis celle de



Etude de fonctions

f x ax b c x =++ + 2 Calculer la dérivée de f et étudier les variations de f et dresser son tableau de variation 3 Montrer que le point I(-2 ;-1) est le centre de symétrie de C On considère de la fonction f définie sur R par : fx()=x3−+3x24 On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan 1



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MÉTHODES POUR LES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES (2)

Objectif

Dégager quelques méthodes de résolution d'équations fonctionnelles

Notions utilisées

Raisonnement par récurrence. Fonction exponentielle. Cette séquence présente, dans la continuité de la séquence précédente, d'autres méthodes de résolution d'équations fonctionnelles A. DÉTERMINATION DE LA FONCTION SUR Q, PUIS SUR R

Exercice 1

On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies sur R, continues sur R et vérifiant, pour

tout réel x, l'équation fonctionnelle : f(x y) f(x) f(y). Soit f une fonction remplissant ces conditions. Soit x un nombre réel quelconque.

1. a. Démontrer que f(0) 0 et que f(x) - f(x).

b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, f(n.x) n. f(x) c. Démontrer que pour tout entier naturel n , f(n.x) n. f(x). On a donc, pour tout entier relatif k, f(k.x) k. f(x). d. Démontrer que, pour tout entier naturel non nul p, 11 ()fxfx pp e. Démontrer que, pour tout nombre rationnel q, f(q.x) q. f(x). On pose : f(1) . Démontrer que, pour tout nombre rationnel q, f(q) q.

2. On admet que tout nombre réel x est la limite d'une suite de nombres rationnels

1 Démontrer que, pour tout réel x, on a f(x) x (on pourra poser : x lim q n , où, pour tout entier naturel n, q n est un nombre rationnel). Quelles sont les fonctions f vérifiant les conditions énoncées ? 1

Par exemple, on peut considérer la suite (u

n n N* , u n étant le nombre décimal (donc rationnel) formé des

chiffres de l'écriture décimale de x, jusqu'au n-ième chiffre après la virgule seulement. La suite (u

n ) est alors une suite de nombres rationnels admettant x pour limite. VIII - Problèmes de synthèse Méthodes pour les équations fonctionnelles (2) 1

Exercice 2

On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies sur R, continues sur R, vérifiant pour tout

réel x l'équation fonctionnelle : f(x y). f(x y) ( f(x). f(y)) 2

Soit f une fonction remplissant ces conditions.

1. a. Montrer que f(0) { 1 ; 0 ; 1 }.

b. Montrer que f(0).f(2x) [ f(x) ] 4 En déduire que, si f(0) 0, alors f est la fonction nulle. c. Montrer que, pour tout réel x, 4 (0)() 2 x ffxf En déduire que, pour tout réel x, f(x) est du signe de f(0).

2. On suppose que f(0) 0.

On veut montrer, en raisonnant par l'absurde, que, pour tout réel x, f(x) 0.

Supposons qu'il existe un réel non nul x

0 tel que f(x 0 ) = 0.

Montrer que, quel que soit l'entier naturel n,

0 0 2 n x f et en déduire f(0).

Conclure.

3. On suppose que f(0) = 1.

a. Montrer que f(1) est un nombre strictement positif A. b. Montrer que f est une fonction paire.

c. Déterminer f(2), puis f(3) en fonction de A et prouver par récurrence que pour, tout entier

naturel n, . 2 n fnA d. Soit x un nombre réel quelconque.

Grâce à un raisonnement par récurrence analogue, démontrer que pour tout entier naturel p :

2 p fpxfx e. En posant 1 x p dans l'égalité précédente, démontrer que pour tout entier naturel non nul p et tout entier naturel n : 2 n p n fA p f. Démontrer que, pour tout rationnel q, . 2 q fqA g. En déduire que, pour tout réel x, . (On pourra poser 2 x fxAx = lim q n où, pour tout entier naturel n, q n est rationnel).

h. Réciproquement, vérifier que toute fonction de cette forme vérifie bien les conditions posées

au départ.

4. Étudier le cas où f(0) 1. (On pourra considérer que g = - f)

VIII - Problèmes de synthèse Méthodes pour les équations fonctionnelles (2) 2

B. MÉTHODES DIVERSES

Exercice 1. Exploitation d'une dérivabilité

On se propose de déterminer toutes les fonctions f à valeurs réelles, définies sur 0 ; , vérifiant,

pour tout réel x, l'équation fonctionnelle : f(x.y) f(x) f(y), et qui soient de plus dérivables en 1.

Soit f une fonction remplissant ces conditions.

1. Démontrer que f(1) 0.

2. On note a le nombre f'(1).

Exprimer a comme une limite, puis démontrer que f est dérivable en tout réel x de 0 ; , et

démontrer que '() a fx x

3. En déduire toutes les fonctions vérifiant les conditions données au départ

2

Exercice 2. Méthode du changement de fonction

On se propose de déterminer toutes les fonctions f de R dans R, continues sur R, différentes de la

fonction nulle, et vérifiant, pour tout réel x, l'équation fonctionnelle f(x.y) f(x). f(y). On note S

l'ensemble des fonctions f remplissant ces conditions.

Soit f une fonction élément de S.

1. Démontrer que f ne s'annule en aucun réel x non nul. (On pourra raisonner par l'absurde).

Démontrer que f(1) 1.

Démontrer que f(1) est égal soit à 1, soit à (1). En déduire que f est soit paire, soit impaire.

Démontrer que f est strictement positive sur ] 0 ; [.

2. Soit g la fonction définie sur R par g(x) ln( f(e

x

Démontrer que g est continue sur R et que g vérifie l'équation fonctionnelle de l'exercice 1.

En déduire, grâce à la résolution de l'exercice 1, l'expression de g(x) pour x réel, puis celle de

f(x) pour x réel strictement positif.

3. Déterminer toutes les fonctions f de l'ensemble S.

2 Deux autres méthodes peuvent s'appliquer à ce même exercice :

• On peut démontrer d'abord que f est continue sur ] 0 ; [, puis à se ramener par changement de fonction

à l'exercice 1 ci-dessus. (Pour la méthode du changement de fonction, voir chapitre précédent).

• Une autre méthode, équivalente à la précédente, consiste, une fois établie la continuité de f sur R, à poser

f(e) a, puis à exprimer f(e z ) en fonction de a et de z, pour z entier, puis rationnel, puis réel. VIII - Problèmes de synthèse Méthodes pour les équations fonctionnelles (2) 3 Sujet d'étude 1. Méthode particulière (MP1, Dakar, 1971) On se propose de déterminer l'ensemble S des fonctions f définies sur R, constantes sur aucun intervalle ouvert de R et vérifiant la relation (1) : " pour tous réels x et y, 1()() fxfy fxy fxfy

Soit f un élément de S.

1. Montrer qu'il n'existe aucun réel x tel que f(x) soit égal à 1 ou 1.

2. Montrer que f prend toutes ses valeurs dans l'intervalle 1 ; 1 (on remarquera que

22
xx fxf

3. Montrer que f s'annule en 0 et que f est une fonction impaire.

4. On fait à présent l'hypothèse que f est continue à droite en 0. Montrer alors que :

a. f est continue en 0 ; b. f est continue sur R.

5. On suppose à présent que f est dérivable à droite en 0.

Montrer que f est dérivable en 0, puis que f est dérivable sur R. Établir une relation simple entre f et sa dérivée f'.

6. Soit g la fonction définie sur R par

1() 1() fx gx fx . On pose k = f(0) a. Montrer que g' = 2 k g et que g(0) = 1. b. En déduire l'expression de g(x) puis celle de f(x). c. Déterminer toutes les fonctions f de l'ensemble S. Sujet d'étude 2. Méthode particulière (Olympiades internationales 1986)

Déterminer toutes les fonctions f de 0 ; dans lui-même qui vérifient les conditions suivantes :

(1) Pour tous réels positifs x et y : f(y. f(x)). f(x) f(x y) (2) f(2) 0 (3) Pour tout réel x de 0 ; 2 , f(x) 0.

On pourra si on le souhaite chercher à partir de ce seul texte, sans lire les indications qui suivent. Si

on " sèche » trop, ou si on est impatient, on lira les indications ci-dessous.

INDICATIONS

a. Montrer que f est nulle sur 2 ; b. Déterminer f(0). c. Montrer que, si x 0 ; 2 2 2 fx x (on posera y x dans l'égalité (1)).

d. Soit x élément de l'intervalle 0 ; 2 . Démontrer qu'il existe un réel positif z tel que: x z zf(x).

Démontrer que z. f(x) 2 (on posera y z dans l'égalité (1)). En déduire que 2 2 fx x e. Conclure. VIII - Problèmes de synthèse Méthodes pour les équations fonctionnelles (2) 4quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19