Carrés magiques dordre 3

Conditions pour avoir un carré magique de somme S Lignes x 1 +x 2 +x 3 =S x 4 +x 5 +x 6 =S x 7 +x 8 +x 9 =S Carrés magiques d'ordre 3 Aimé Lachal IV Carrés d

Annexe 18 : Carrés magiques d’ordre 3 avec 9 nombres premiers

seul primitif De cette suite, nous retrouvons le meilleur carré premier parfait d’ordre 3, le carré suivant trouvé par Nelson en 1988 Sa somme magique est donc la plus petite possible (1) Carré premier parfait associé à la suite 73 780 392 Ensuite, nous regardons les suites au-delà de la suite 75 000 000 Nous avons rencontré sept

3 Les carrés magiques * carré magique densité

Un carré magique d’ordre 3 contient forcément 9 nombres Dans les exercices qui suivent, il est conseillé de vérifier les solutions après chaque exercice 1 Quelle est la densité d’un carré magique normal d’ordre 3 ? Construis-en un 2 Construis un carré magique d’ordre 3 ne contenant que des nombres pairs allant de 10 à 26 3

Les Carrés Magiques - Kandaki

Le carré d’ordre 2 Le carré magique d’ordre 3 Le Lo-Shu ou Carré de Saturne Un problème posé par Bachet de Méziriac (1612) : le casier à bouteilles et le domestique peu scrupuleux Propriétés diverses du carré d’ordre 3 Une approche logique du carré magique normal d’ordre n = 3 Un problème posé par Bachet de Méziriac

Carré magique d ordre impair

On place le 1 juste en dessous du centre du carré l 1 k 2 et c 1 k 1 Si x n’est pas un multiple de n,l x 1 1 l x mod n et c x 1 1 c x mod n Si x est un multiple de n, l x 1 2 l x mod n et c x 1 c x mod n Voyons ce que cela donne dans le cas du carré d’ordre 3 et 5 On peut directement exprimer l x et c x en fonction de x

Les carrés magiques planétaires d’Agrippa revisités

LE CARRÉ MAGIQUE DE SATURNE (ORDRE 3) La figure de la planche d’Agrippa, reproduite ci-dessus fig 2 à côté du carré magique d’Agrippa, suggère une méthode de construction de ce carré dit de Lo Shu (il apparaît en Chine, au IIe s avant J -C ): en décomposant ladite figure en

Un schema de construction des carres Magiques

magique du carré magique normal de même ordre Les couples complémentaires peuvent être placés dans un ordre quelconque dans les dominos verticaux On dénombre alors N = grilles-départs pour la construction des carrés semi-magiques d’ordre pair Ainsi pour n = 4 par exemple, on a : N = 8 = 40 320

1 Exponentiation rapide modulo m - AlloSchool

3 Carré magique Un carré magique est une matrice :V*-i contenant tous les nombres de 1 à iV z et telle que les sommes des nombres de chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale soient chacune égales à une constante Par exemple, est un carré magique d’ordre 3 3 1

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Aimé LachalCarrés magiques d'ordre 3Carrés magiques d'ordre 3Carrés magiques d'ordre 3 II

Carrés d'ordre 3Carrés d'ordre 3

et cultureet culture

I - Carrés d'ordre 3 et culture

Apparition en Chine : ~ 650 av. J.-C.

→→ Légende de " Luo Shu »Légende de " Luo Shu » (Le Livre de la rivière Luo -洛書, ~ 2200 av. J.-C.)

Carré " Lo Shu »Carré " Lo Shu »

Aimé LachalCarrés magiques d'ordre 3

I - Carrés d'ordre 3 et culture

Apparition en Chine : ~ 650 av. J.-C.

→→ Légende de " Luo Shu »Légende de " Luo Shu » (Le Livre de la rivière Luo -洛書, ~ 2200 av. J.-C.)

Aimé LachalCarrés magiques d'ordre 3

I - Carrés d'ordre 3 et culture

Apparition en Chine : ~ 650 av. J.-C.

→→ Légende de " Luo Shu »Légende de " Luo Shu » (Le Livre de la rivière Luo -洛書, ~ 2200 av. J.-C.)

Aimé LachalCarrés magiques d'ordre 3

I - Carrés d'ordre 3 et culture

Apparition en Chine : ~ 650 av. J.-C.

→→ Légende de " Luo Shu »Légende de " Luo Shu » (Le Livre de la rivière Luo -洛書, ~ 2200 av. J.-C.)

Aimé LachalCarrés magiques d'ordre 3

IIII

RésolutionRésolution

complètecomplète

II - Résolution complète Donnéesx1x2x3

x4x5x6 x7x8x9Aimé LachalCarrés magiques d'ordre 3 Conditions pour avoir un carré magique de somme SLignes x1+x2+x3=S x4+x5+x6=S x7+x8+x9=S

Colonnes

x1+x4+x7=S x2+x5+x8=S x3+x6+x9=SDiagonales x1+x5+x9=S x3+x5+x7=S II - Résolution complète

Aimé LachalCarrés magiques d'ordre 3{{

x1+x2+x3 x4+x5+x6 x7+x8+x9 x1+x4+x7 x2+x5+x8 x3+x6+x9 x1+x5+x9 x3+x5+x7E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 Système linéaire (8 équations, 9 inconnues) =S =S =S =S =S =S =S =S II - Résolution complète

Aimé LachalCarrés magiques d'ordre 3

x1+x4+x7 x2+x5+x8 x3+x6+x9 x4+x5+x6 x4+x5+x6+x7+x8+x9

2x5+x6+x8+2x9

x5-x6+x7-x9 x7+x8+x9 Permutations et combinaisons des équations =S =S =S =S =2S =2S =0 =SE1' = E4

E2' = E5

E3' = E6

E4' = E2

E5' = E1 - E4 - E5 - E6

E6' = E7+ E5 + E6 - E1

E7' = E8 - E6

E8' = E3 II - Résolution complète

Aimé LachalCarrés magiques d'ordre 3

x1+x4+x7 x2+x5+x8 x3+x6+x9 x4+x5+x6 x5-x6+x7-x9

3x6-2x7+x8+4x9

x7+x8+x9 x7+x8+x9E1" = E1'

E2" = E2'

E3" = E3'

E4" = E4'

E5" = E7'

E6" = E6'- 2xE7'

E7" = E8'

E8" = E5' - E4' Permutations et combinaisons des équations =S =S =S =S =0 =2S =S =S II - Résolution complète

Aimé LachalCarrés magiques d'ordre 3

x1+x4+x7=S x2+x5=S-x8 x3+x6=S-x9 x4+x5+x6=S x5-x6+x7=x9

3x6-2x7=2S-x8-4x9

x7=S-x8-x9

0=0E1"' = E1"

E2"' = E2"

E3"' = E3"

E4"' = E4"

E5"' = E5"

E6"' = E6"

E7"' = E7"

E8"' = E8"- E7" Inconnues 2daires : x8,x9 - Équation 2daire : E8"' - Rang=7

II - Résolution complète

Aimé LachalCarrés magiques d'ordre 3

x1=S-x4-x7 1 3 x2=S-x5-x8 1 3 x3=S-x6-x9 1 3 x4=S-x5-x6 1 3 x5=x6-x7+x9 1 3 x6=2 3S+2 3x7-1 3x8-4 3x9 x7=S-x8-x9 Résolution de x1, x2, x3, x4, x5, x6 et x7 II - Résolution complète

Aimé LachalCarrés magiques d'ordre 3

x1=2 3S-x9 x2=2 3S-x8 x3=-1

3S+x8+x9

x4=-2

3S+x8+2x9

x5=1 3S x6=4

3S-x8-2x9

x7=S-x8-x9Aimé Lachal Substitution progressive en fonction de x8 et x9 II - Résolution complète

Aimé LachalCarrés magiques d'ordre 3

→ Infinité de solutions dépendant de x8 , x9 et S2 3S-x9 2

3S-x8-1

3S+x8+x9

-2

3S+x8+2x9

1 3S4

3S-x8-2x9

S-x8-x9x8x9 II - Résolution complète

Aimé LachalCarrés magiques d'ordre 3

La somme magique S

vaut nécessairement et le terme central est S/33x5 Remarque 1

S/3 II - Résolution complète

Aimé LachalCarrés magiques d'ordre 3

Une explication en couleurs II - Résolution complète

Aimé LachalCarrés magiques d'ordre 3

⇒ Une explication en couleurs II - Résolution complète

Aimé LachalCarrés magiques d'ordre 3

Remarque 2

E8"' = E8"- E7"

= E5' - E4' - E8' = E1 + E2 + E3 - E4 - E5 - E6Équation 2daire :

D'où : E1 + E2 + E3 - E4 - E5 - E6 = 0E8"' = 0

Or II - Résolution complète

Aimé LachalCarrés magiques d'ordre 3

IIIIII

Une méthodeUne méthode

de constructionde construction

À partir du

paramètre central →→ a III - Une méthode de construction Remplissage progressif

Aimé LachalCarrés magiques d'ordre 3