Fiche exercices (avec corrig´es) - Equations diff´erentielles
5 L’´equation est y′(x)− x x2 +1 y(x) = 0 qui est une ´equation homog`ene Ici a(x) = − x x2 +1 donc une primitive est A(x) = − 1 2 ln(x2 +1) La solution g´en´erale de l’´equation (homog`ene) est y(x) = C e−A(x) = C e12 ln(x 2+1) = C (x2 +1)12 = C √ x2 +1 Exercice 2 R´esoudre les probl`emes de Cauchy suivants : MAP101 2
1 Équations di érentielles linéaires du premier ordre
Exercice 2 ( Premier ordre avec second membre : Exo 4 de la feuille 4) Déteminer les solutions maximales des équations di érentielles suivantes avec la condition initiale y(1) = 0 1 (1 + x)y0= 2 y L'équation homogène corres-pondante y0(1+x)+y= 0 qui a pour solution y(x) = 1 1+x;x6= 1 En admettant que soit une fonction de x
SOLUTIONSEXERCICES7-Équationsdifférentielleslinéairesd’ordre1
SOLUTIONSEXERCICES7-Équationsdifférentielleslinéairesd’ordre1 Exercice 1 Déterminerlessolutionsauxproblèmeshomogènessuivants: (a) y0(x) = xy(x) (b) y0(x) = 1 x
Équations différentielles linéaires
Corrigé ex 36: Équation vérifiée par une fonction 36-1) Pour chacune des fonctions yci-dessous, on cherche une équation différen-tielle homogène du second ordre dont ysoit solution générale : Fonction y= et+ e5t Un polynôme caractéristique dont les racines sont 1 et 5 est P(r) = (r 1)(r 5) = r2 6r+ 5
Exo7 - Exercices de mathématiques
2 Second ordre Exercice 7 Résoudre 1 y00 3y0+2y=0 2 y00+2y0+2y=0 3 y00 2y0+y=0 4 y00+y=2cos2 x Correction H Vidéo [006997] Exercice 8 On considère y00 4y0+4y=d
13 EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU SECOND ORDRE A
ordre Exercices corrig”s ' dpic — inpl — mai 1999 MATH13E01 y"+y'+y =x 2 +x +1(E) Equation différentielle du second ordre linéaire à coefficients constants soit y"+y'+y =0(E 0) l' équation sans second membre ou équation homogène associée et r 2 +r +1=0 l' équation caractéristique qui admet pour racines les nombres
Équations différentielles non linéaires
Exercice 24 Centrale MP 2001 On définit une suite de fonctions sur [0,1] de la manière suivante : f 0 est la fonction constante 1 et pour tout x∈ [0,1] et n∈ N, f n+1(x) = 1+
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Exo7
Équations différentielles
Fiche de Léa Blanc-Centi.
1 Ordre 1
Exercice 1Résoudre surRles équations différentielles suivantes:1.y0+2y=x2(E1)
2.y0+y=2sinx(E2)
3.y0y= (x+1)ex(E3)
4.y0+y=xex+cosx(E4)
Déterminer toutes les fonctionsf:[0;1]!R, dérivables, telles que8x2[0;1];f0(x)+f(x) =f(0)+f(1)
1.Résoudre l"équationdifférentielle(x2+1)y0+2xy=3x2+1surR. Tracerdescourbesintégrales. Trouver
la solution vérifianty(0) =3. 2.Résoudre l"équation dif férentielley0sinxycosx+1=0 sur]0;p[. Tracer des courbes intégrales.
Trouver la solution vérifianty(p4
) =1. de la constante :1.y0(2x1x
)y=1 sur]0;+¥[2.y0y=xkexp(x)surR, aveck2N
3.x(1+ln2(x))y0+2ln(x)y=1 sur]0;+¥[
On considère l"équation différentielle
y0exey=a
Déterminer ses solutions, en précisant soigneusement leurs intervalles de définition, pour 1 1.a=02.a=1 (faire le changement de fonction inconnuez(x) =x+y(x))
Dans chacun des cas, construire la courbe intégrale qui passe par l"origine.Pour les équations différentielles suivantes, trouver les solutions définies surRtout entier :
1.x2y0y=0(E1)
2.xy0+y1=0(E2)
Exercice 7Résoudre
1.y003y0+2y=0
2.y00+2y0+2y=0
3.y002y0+y=0
4.y00+y=2cos2x
On considèrey004y0+4y=d(x). Résoudre l"équation homogène, puis trouver une solution particulière
lorsqued(x) =e2x, puisd(x) =e2x. Donner la forme générale des solutions quandd(x) =12 ch(2x). Résoudre sur]0;p[l"équation différentielley00+y=cotanx, où cotanx=cosxsinx.Résoudre les équations différentielles suivantes à l"aide du changement de variable suggéré.
1.x2y00+xy0+y=0, sur]0;+¥[, en posantx=et;
2.(1+x2)2y00+2x(1+x2)y0+my=0, surR, en posantx=tant(en fonction dem2R).
3 Pour aller plus loin
Exercice 11Équations de Bernoulli et Riccatti1.Équation de Bernoulli (a)Montrer que l"équation de Bernoulli
y0+a(x)y+b(x)yn=0n2Zn6=0;n6=1
se ramène à une équation linéaire par le changement de fonctionz(x) =1=y(x)n1. (b) T rouverles solutions de l"équation xy0+yxy3=0.2.Équation de Riccati
(a) Montrer que si y0est une solution particulière de l"équation de Riccati y0+a(x)y+b(x)y2=c(x)
alors la fonction définie paru(x) =y(x)y0(x)vérifie une équation de Bernoulli (avecn=2). (b) Résoudre x2(y0+y2) =xy1 en vérifiant d"abord quey0(x) =1x est une solution. 1. Montrer que toute solution sur Rdey0+ex2y=0 tend vers 0 en+¥. 2.Montrer que toute solution sur Rdey00+ex2y=0 est bornée. (Indication :étudier la fonction auxiliaire
u(x) =y(x)2+ex2y0(x)2.) 1.Résoudre sur ]0;+¥[l"équation différentiellex2y00+y=0 (utiliser le changement de variablex=et).
2. T rouvertoutes les fonctions de classe C1surRvérifiant8x6=0;f0(x) =f1x
Indication pourl"exer cice2 NUne telle fonctionfest solution d"une équation différentielley0+y=c.Indication pourl"exer cice3 N1.xest solution particulière
2. cos est solution particulière Indication pourl"exer cice4 NSolution particulière : 1.12x 2. xk+1k+1exp(x) 3. lnx1+ln2(x)Indication pourl"exer cice5 N1. C"est une équation à variables séparées.Indication pour
l"exer cice6 N1.une infinité de solutions
2. une solution Indication pourl"exer cice8 NPour la fin: principe de superposition.Indication pour
l"exer cice9 NUtiliser la méthode de variation de la constante.
Indication pour
l"exer cice11 N1.(a) Se ramener à
11nz0+a(x)z+b(x) =0.
(b)y=1plx2+2xouy=0. 2. (a)Remplacer yparu+y0.
(b)y=1x +1xlnjxj+lxouy=1x .4Correction del"exer cice1 N1.Il s"agit d"une équation dif férentiellelinéaire d"ordre 1, à coef ficientsconstants, a vecsecond membre.
Oncommenceparrésoudrel"équationhomogèneassociéey0+2y=0: lessolutionssontlesy(x)=le2x, l2R.Il suffit ensuite de trouver une solution particulière de(E1). Le second membre étant polynomial de degré
2, on cherche une solution particulière de la même forme:
y0(x) =ax2+bx+cest solution de(E1)
() 8x2R;y00(x)+2y0(x) =x2 () 8x2R;2ax2+(2a+2b)x+b+2c=x2 Ainsi, en identifiant les coefficients, on voit quey0(x) =12 x212 x+14 convient.Les solutions de(E1)sont obtenues en faisant la somme de cette solution particulière et des solutions de
l"équation homogène: y(x) =12 x212 x+14 +le2x(x2R) oùlest un paramètre réel. 2.Il s"agit d"une équation dif férentiellelinéaire d"ordre 1, à coef ficientsconstants, a vecsecond membre.
Les solutions de l"équation homogène associéey0+y=0 sont lesy(x) =lex,l2R.Il suffit ensuite de trouver une solution particulière de(E2). Le second membre est cette fois une fonction
trigonométrique, on cherche une solution particulière sous la forme d"une combinaison linéaire de cos et
sin: y0(x) =acosx+bsinxest solution de(E2)
() 8x2R;y00(x)+y0(x) =2sinx () 8x2R;(a+b)cosx+(a+b)sinx=2sinx Ainsi, en identifiant les coefficients, on voit quey0(x) =cosx+sinxconvient.Les solutions de(E2)sont obtenues en faisant la somme de cette solution particulière et des solutions de
l"équation homogène: y(x) =cosx+sinx+lex(x2R) oùlest un paramètre réel. 3.Les solutions de l"équation homogène associée y0y=0 sont lesy(x)=lex,l2R. On remarque que le
second membre est le produit d"une fonction exponentielle par une fonction polynomiale de degréd=1:
or la fonction exponentielle du second membre est la même (ex) que celle qui apparaît dans les solutions
de l"équation homogène. On cherche donc une solution particulière sous la forme d"un produit deexpar
une fonction polynomiale de degréd+1=2: y0(x) = (ax2+bx+c)exest solution de(E3)
() 8x2R;y00(x)y0(x) = (x+1)ex () 8x2R;(2ax+b)ex= (x+1)ex Ainsi, en identifiant les coefficients, on voit quey0(x) = (12 x2+x)exconvient.Les solutions de(E3)sont obtenues en faisant la somme de cette solution particulière et des solutions de
l"équation homogène: y(x) = (12 x2+x+l)ex(x2R) oùlest un paramètre réel. 54.Les solutions de l"équation homogène associée y0+y=0 sont lesy(x) =lex,l2R. On remarque que
le second membre est la somme d"une fonction polynomiale de degré 1, d"une fonction exponentielle(différente deex) et d"une fonction trigonométrique. D"après le principe de superposition, on cherche
donc une solution particulière sous la forme d"une telle somme: y0(x) =ax+b+mex+acosx+bsinxest solution de(E4)
() 8x2R;y00(x)+y0(x) =xex+cosx () 8x2R;ax+a+b+2mex+(a+b)cosx+(a+b)sinx=xex+cosx Ainsi, en identifiant les coefficients, on voit que y0(x) =x112
ex+12 cosx+12 sinx convient.Les solutions de(E4)sont obtenues en faisant la somme de cette solution particulière et des solutions de
l"équation homogène: y(x) =x112 ex+12 cosx+12 sinx+lex(x2R)oùlest un paramètre réel.Correction del"exer cice2 NUne fonctionf:[0;1]!Rconvient si et seulement si
•fest dérivable •fest solution dey0+y=c •fvérifief(0)+f(1) =c(oùcest un réel quelconque)Or les solutions de l"équation différentielley0+y=csont exactement lesf:x7!lex+c, oùl2R(en effet,
on voit facilement que la fonction constante égale àcest une solution particulière dey0+y=c). Évidemment
ces fonctions sont dérivables, etf(0)+f(1) =l(1+e1)+2c, donc la troisième condition est satisfaite si et
seulement sil(1+e1) =c. Ainsi les solutions du problème sont exactement les f(x) =l(ex1e1)pourl2R.Correction del"exer cice3 N1.Comme le coef ficientde y0ne s"annule pas, on peut réécrire l"équation sous la forme
y 0+2xx2+1y=3x2+1x
2+1 (a)Les solutions de l"équation homogène associée sont les y(x) =leA(x), oùAest une primitive de
a(x) =2xx2+1etl2R. Puisquea(x)est de la formeu0u
avecu>0, on peut choisirA(x) = ln(u(x))oùu(x) =x2+1. Les solutions sont donc lesy(x) =leln(x2+1)=lx 2+1. (b)Il suf fitensuite de trouv erune solution particulière de l"équation a vecsecond membre: on remarque
quey0(x) =xconvient. (c)Les solutions sont obtenues en f aisantla somme:
y(x) =x+lx2+1(x2R)
oùlest un paramètre réel. 6 (d)y(0) =3 si et seulement sil=3. La solution cherchée est doncy(x) =x+3x 2+1. Voici les courbes intégrales pourl=1;0;:::;5.011 2.On commence par remarquer que y0(x) =cosxest une solution particulière. Pour l"équation homogène:
sur l"intervalle considéré, le coefficient dey0ne s"annule pas, et l"équation se réécrit
y