SOMMES PRODUITS COEFFICIENTS BINOMIAUX

1 2 Linéarité et changement d’indice Propriété 2 : Changement d’indice L’expression à l’aide du symbole ∑ n’est pas unique On peut écrire une somme avec des indices différents Les changements d’indices k → k +p (translation) k → p − k (symétrie) sont les plus fréquents : n ∑ k=1 a k = n+p ∑ k=p+1 a k−p = p

Je sais faire - Sommes, produits, coefficients binomiaux

˙ Je sais écrire le produit de deux sommes comme une somme double 1 Écrire comme une somme double le produit : Xn k=1 p k × Xn k=1 1 p k pour tout n ∈ N∗ ˙ Je sais effectuer un changement d’indice dans une somme 2 Effectuer pour tout n ∈ N∗ le changement d’indice : j =i +1 dans la somme : X2n i=n+1 1 i 3

Récurrence, somme, produit

On dit alors qu'on a e ectué le changement d'indice i= k+ m Propriété 1 3 (Changement d'indice) Pour passer de la première somme à la deuxième, on a pose i= k+ mou k= i m Il y a deux types de changements à véri er : 1)Dans leterme général de la somme: on remplace tous les kpar i m 2)Dansles bornes: on ré échit aux aleursv des

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©LaurentGarcin MPSILycéeJean-BaptisteCorot Méthode Changementd’indice Onpeutprocéderàunchangmentd’indicepourdeuxtypesderaison •Sil’onveutchangerl’indicedanslestermesàsommer Parexemple,

Sommaire 1 Somme simple - HEC Montréal

2 Double somme Dans certaines situations, l’utilisation d’une double somme s'avère nécessaire Il s’agit alors d’appliquer successivement la définition Exemple Soit T1 3, T2 5, T3 1 U1 2, U2 4 Nous utiliserons l’indice i pour les termes de T et l’indice j pour les termes de U Í Í T Ü U Ý 6

Récurrence, sommes, produits

Ce résultat se retrouve également par changement d'indice : Xn k=p qk j==k p nX p j=0 qj+p = qp nXp j=0 qj = qp 1 qn+1 p 1 q: 2 5 Sommes doubles Lorsqu'on a une somme double où les indices des deux sommes ne dépendent pas l'un de l'autre, on peut intervertir

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Propri et es de la somme 1 Changement d’indice Xn i=1 a i= nX 1 j=0 a j+1 = Xn i=0 a i+1; Xn i=m a i= nX m j=0 a m+j; 2 commutativit e : Xn i=1 a i= Xn i=1 a n i+1 3 lin earit e Xn i=1 a i+ b i= X a i+ X b i; P a i= P a i 4 Relation de chasles si m

Cours de mathématiques Partie I – Les fondements

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2013/2014 Cours de mathématiques Partie I – Les fondements MPSI 4 Alain TROESCH Version du: 12 octobre 2013