coordonnées : (x,y,z) - Unisciel
opérateurs dans différents systèmes de coordonnées 1) Gradient : Si l'on utilise la définition du gradient d'une fonction scalaire U(M) à partir des coordonnées cartésiennes du point M : si U = U(x,y,z) alors : gradU M U x ux U y uy U z ( )= + +uz ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ on constate immédiatement que : gradU M dM U x dx U y dy U z
© Dunod, Paris, 2010 ISBN 978-2-10-056030-1
Coordonnées cartésiennes Un point M est repéré par ses coordonnées (x,y,z) telles que −−→ OM = x −→ u x + y −→ u y + z −→ u z (cf Figure 1 2) Coordonnées cylindriques Un point M est repéré par ses coordonnées (r,θ,z) telles que −−→ OM = r −→ u r + z −→ u z Coordonnées sphériques Un
x, y, z t =y ()y() y densité de probabilité de présence
A une particule en mouvement est associée une onde dont l'amplitude y dépend des coordonnées d'espace et de temps de la particule y(x, y,z,t) est appelée fonction d'onde de la particule 1 y n'a pas de sens physique mais elle contient toute l'information concernant la particule ˘ ˇ ˆ
Chapitre 1 : 2D Courbes Paramétrées et coordonnées polaires
x, u y) Le point O est le pole et l’axe (O,u x) l’axe polaire, pour le système de coordonnées polaires Les coordonnées cartésiennes x et y s’exprimenten fonction des coordonnées polaires r et θ: =????cos????, =????sin????
Les coordonnées cartésiennes cylindriques et sphériques pdf
les coordonnées de Cartesy est écrit dans ce cas: « x » péché φ cos « y » péché φ péché « z » cos φ « displaystyle 'begin’cases' x’rho sin'' varphi’co theta’y’rho 'sin’varphi' theta 'theta' i’z’rho 'cos’end-cases' convention radius-longitude-latitude Un point repéré dans les coordonnées
Mathematical Association of America
pondent les coordonnées x+dx, & a+dz Les trois viteffes de cet élément felon les dire&ions des trois axes feront done exprimées par les quantités v, aprés qu'on y aura fubfžitué x+dx, & ; ou après qu'on y aura ajouté leurs différentiels en pofant le terns t conftant Or entant qu ' on met x+dx lieu de x, les incrémens de v, & w, :
Formules de changement de repère
M a pour coordonnées x y; dans le repère R donc OM xi y j (1) M a pour coordonnées X Y; dans le repère R ' donc O'M X I Y J D’après la relation de Chasles, on a : O'M OO' O'M Donc O'M x i y j X ai b j Y ai b j 0 0
Système de coordonnées - univ-rennes1fr
de coordonnées polaires est utilisé pour donner une description plus simple de certaines courbes (et surfaces) La figure nous permet de nous Souvenir de la relation entre coordonnées polaires et cartésiennes Si le point P a (x, y) pour coordonnées cartésiennes et (r, θ) comme coordonnées polaires alors x = r cos θ y = r sin θ
Calculs topométriques - UPHF
Les coordonnées calculées du point d'arrivée et les coordonnées connues du point d'arrivée Ces quantités s'appellent écarts de fermeture planimétrique selon les axes de la projection, respectivement (f x) selon l'axe des abscisses X et (f y) selon l'axe des ordonnées Y
PYTHON AU LYCÉE - Exo7
Un autre exemple est l’affichage graphique à l’écran qui nécessite de bien maîtriser les coordonnées (x, y), la trigonométrie L’informatique accompagne à merveille les mathématiques L’ordinateur devient indispensable pour mani-puler de très grands nombres ou bien tester des conjectures sur de nombreux cas Tu découvriras
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8 A une particule en mouvement est associée une onde dont l"amplitudey dépend des coordonnées d"espace et de temps de la particule. ),,,(tzyxy est appelée fonction d"onde de la particule.
1 y n"a pas de sens physique mais elle contient toute l"information concernant la
particule. Contrairement à la mécanique classique déterministe2, la mécanique quantique est dite
probabiliste. En effet, la position exacte d"une particule n"est pas directement calculable. Par contre, on peut facilement exprimer la probabilité de la trouver dans un volume centré sur un point de coordonnées (x, y, z) à une date t. ()()yy=Le produit
y*y est appelé densité de probabilité de présence. La particule devant se trouverdans l"espace, l"intégration des probabilités de présence sur tout l"espace doit être égale à 1.
La fonction
y doit donc vérifier la relation (1) : yy= (1) Dans la suite, nous n"utiliserons que des fonctions réelles, c"est pourquoi nous noterons cette condition : y= Cette relation est appelée condition de normalisation. équivalent à la relation fondamentale de la dynamique en mécanique classique :1 ypeut être une fonction complexe. y* est la fonction conjuguée de y.
2 En mécanique classique, connaissant les positions et vitesses initiales, il est possible de prévoir l"évolution du
système. 9Dans cette équation, H est l"hamiltonien du système. Cet opérateur représente l"énergie du
système, qui se décompose en deux termes : T représentant l"énergie cinétique, et V son
énergie potentielle :
H = T + V (3)
Nous admettrons que l"opérateur hamiltonien est linéaire. On a donc les relations suivantes : H(l y) = lH(y) et H(yi + yj) = H(yi) + H(yj) Nous ne nous intéresserons, dans la suite, qu"aux solutions stationnaires qui ne dépendent pas du temps.Dans cette hypothèse, on considère que l"hamiltonien ne dépend pas du temps, la séparation
temps (4) : yyEH= (4)La résolution de cette équation revient à trouver les valeurs propres E de l"hamiltonien H, qui
correspondent aux énergies possibles du système, et les fonctions d"onde y qui leur sont associées. fonctions d"onde du système.On appelle recouvrement de deux fonctions
yi et yj, l"intégrale calculée sur tout l"espace du produit de yi par yj. yy Muni de ce produit scalaire, il est possible de munir l"espace d"une base normée et orthogonale vérifiant : yy=si¹ et
yy= 10 L"atome d"hydrogène est constitué d"un électron et d"un noyau comportant un seul proton.Nous allons traiter le problème dans le référentiel barycentrique (galiléen dès lors que le
système est isolé), compte tenu du fait que l"électron est beaucoup plus léger que le proton
(1836 fois), le centre de masse sera confondu avec le noyau qui est alors immobile. Nousconsidèrerons que le noyau fixe constitue l"origine du repère (l"énergie cinétique du noyau est
ainsi nulle). Dans ces conditions, l"électron est soumis à un champ électrostatique central créé
par le noyau. Dans ce référentiel, l"utilisation des coordonnées sphériques (r, q, F) définies sur le schéma suivant est plus adaptée à l"étude d"un tel système. q F+e-e r x yz L"opérateur hamiltonien du système est composé de l"Ec(noyau), de l"Ec(électron) et de l"Ep(électron). Le premier terme est nul car le noyau est immobile dans le référentielbarycentrique. Il ne reste plus que les termes relatifs à l"électron : l"énergie cinétique de
l"électron (de masse m) et l"attraction coulombienne entre l"électron (de charge -e) et le noyau
(de charge +e) : 3 pe=-D- expression dans laquelle: p=, où h est la constante de Planck (h = 6,62.10-34 J.s) m : masse de l"électron (m = 9,1.10 -31 kg)3Nous utiliserons par la suite un système de coordonnées sphériques où r représente la distance électron-noyau,
et q et F les deux angles correspondants. 11 r : distance séparant l"électron du noyau. propre y caractérise un état de l"électron appelée orbitale atomique. A chacun de ces états(orbitales atomiques) est associée une valeur propre E représentant l"énergie de l"électron
décrite par la fonction d"onde y correspondante.n"apporterait rien à notre exposé. Nous ne nous intéresserons donc pas à cette résolution mais
aux principaux résultats qui en découlent.L"énergie des états stationnaires ne peut prendre que certaines valeurs discrètes. Les fonctions
d"onde associées à la situation d"un électron dans un atome d"hydrogène sont ainsi quantifiées.
Elles sont définies par trois nombres quantiques n, l et m définis de la façon suivante : n : nombre quantique principal. n est un entier strictement positif. n = 1, 2, 3, 4 ... l : nombre quantique secondaire ou azimuthal, c"est un entier positif qui ne peut prendre que des valeurs strictement inférieures à n. m : nombre quantique magnétique. m peut prendre toutes les valeurs entières comprises entre -l et +l. Pour une valeur de l donnée, il y a donc (2l+1) valeurs de m possibles. Ces trois nombres quantiques permettent de définir une orbitale()yqF. Plutôt que de désigner les orbitales atomiques par le triplet (n, l, m), l"usage veut que l"on utilise les notations s, p, d...(d"origine spectroscopique) précédées du nombre quantique 12 principal n. Ces lettres correspondent aux différentes valeurs de l. Le tableau ci-dessous présente les premières fonctions d"onde : n l M Fonction Nomenclature n = 1 l = 0 m = 0 y1,0,0 1s n =2 l = 0 l = 1 m = 0 m = -1 m = 0 m = 1 y2,0,0 y2,1,-1 y2,1,0 y2,1,1 2s 2p x, 2py, 2pz n = 3 l = 0 l = 1 l = 2 m = 0 m = -1 m = 0 m = 1 m = -2 m = -1 m = 0 m = 1 m = 2 y3,0,0 y3,1,-1 y3,1,0 y3,1,1 y3,2,-2 y3,2,-1 y3,2,0 y3,2,1 y3,2,2 3s 3p x, 3py, 3pz3dxy, 3dyz, 3dxz,
3dx2-y2, 3dz2
L"expression de l"hamiltonien d"un système hydrogénoïde montre qu"il est possible de séparer
les variables : ()yqqF=FLe premier terme
est appelé partie radiale de la fonction propre car elle ne dépend que de la seule variable r. Le second terme qFest la partie angulaire de la fonction 13 d"onde.4 Chaque terme est normalisable ce qui assure la normalisation de la fonction totale. Dans la suite, nous nous intéresserons surtout à leur représentation graphique. discrets E n qui ne dépendent que du nombre quantique principal n (nombre entier qui varie de1 à l"infini) :
avec R y, constante de Rydberg, qui a la dimension d"une énergie et vaut 13,6 eV.5Par convention, E = 0 correspond à l"énergie associée à un électron libre de vitesse nulle dans
le référentiel choisi. Ainsi, lorsque l"électron est lié au noyau, son énergie est négative.