coordonnées : (x,y,z) - Unisciel
opérateurs dans différents systèmes de coordonnées 1) Gradient : Si l'on utilise la définition du gradient d'une fonction scalaire U(M) à partir des coordonnées cartésiennes du point M : si U = U(x,y,z) alors : gradU M U x ux U y uy U z ( )= + +uz ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ on constate immédiatement que : gradU M dM U x dx U y dy U z
© Dunod, Paris, 2010 ISBN 978-2-10-056030-1
Coordonnées cartésiennes Un point M est repéré par ses coordonnées (x,y,z) telles que −−→ OM = x −→ u x + y −→ u y + z −→ u z (cf Figure 1 2) Coordonnées cylindriques Un point M est repéré par ses coordonnées (r,θ,z) telles que −−→ OM = r −→ u r + z −→ u z Coordonnées sphériques Un
x, y, z t =y ()y() y densité de probabilité de présence
A une particule en mouvement est associée une onde dont l'amplitude y dépend des coordonnées d'espace et de temps de la particule y(x, y,z,t) est appelée fonction d'onde de la particule 1 y n'a pas de sens physique mais elle contient toute l'information concernant la particule ˘ ˇ ˆ
Chapitre 1 : 2D Courbes Paramétrées et coordonnées polaires
x, u y) Le point O est le pole et l’axe (O,u x) l’axe polaire, pour le système de coordonnées polaires Les coordonnées cartésiennes x et y s’exprimenten fonction des coordonnées polaires r et θ: =????cos????, =????sin????
Les coordonnées cartésiennes cylindriques et sphériques pdf
les coordonnées de Cartesy est écrit dans ce cas: « x » péché φ cos « y » péché φ péché « z » cos φ « displaystyle 'begin’cases' x’rho sin'' varphi’co theta’y’rho 'sin’varphi' theta 'theta' i’z’rho 'cos’end-cases' convention radius-longitude-latitude Un point repéré dans les coordonnées
Mathematical Association of America
pondent les coordonnées x+dx, & a+dz Les trois viteffes de cet élément felon les dire&ions des trois axes feront done exprimées par les quantités v, aprés qu'on y aura fubfžitué x+dx, & ; ou après qu'on y aura ajouté leurs différentiels en pofant le terns t conftant Or entant qu ' on met x+dx lieu de x, les incrémens de v, & w, :
Formules de changement de repère
M a pour coordonnées x y; dans le repère R donc OM xi y j (1) M a pour coordonnées X Y; dans le repère R ' donc O'M X I Y J D’après la relation de Chasles, on a : O'M OO' O'M Donc O'M x i y j X ai b j Y ai b j 0 0
Système de coordonnées - univ-rennes1fr
de coordonnées polaires est utilisé pour donner une description plus simple de certaines courbes (et surfaces) La figure nous permet de nous Souvenir de la relation entre coordonnées polaires et cartésiennes Si le point P a (x, y) pour coordonnées cartésiennes et (r, θ) comme coordonnées polaires alors x = r cos θ y = r sin θ
Calculs topométriques - UPHF
Les coordonnées calculées du point d'arrivée et les coordonnées connues du point d'arrivée Ces quantités s'appellent écarts de fermeture planimétrique selon les axes de la projection, respectivement (f x) selon l'axe des abscisses X et (f y) selon l'axe des ordonnées Y
PYTHON AU LYCÉE - Exo7
Un autre exemple est l’affichage graphique à l’écran qui nécessite de bien maîtriser les coordonnées (x, y), la trigonométrie L’informatique accompagne à merveille les mathématiques L’ordinateur devient indispensable pour mani-puler de très grands nombres ou bien tester des conjectures sur de nombreux cas Tu découvriras
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Coordonnées
COORDONÉES POLAIRES (rappel)
En géométrie plane, le système
de coordonnées polaires est utilisé pour donner une description plus simple de certaines courbes (et surfaces).La figure nous permet de nous
Souvenir de la relation entre coordonnées polaires et cartésiennes. Si le point Pa (x, y) pour coordonnées cartésiennes et (r, ș)comme coordonnées polaires alors x= rcos șy = r sin ș r2= x2+ y2tan ș= y/xCOORDONNÉES CYLINDRIQUES
En dimension 3 il y a un système de coordonnées, appelé coordonnées cylindriques, qui :Est similaire aux coordonnées polaires.
Donne une description simple de nombreux domaines (surfaces, volumes). Dans le système de coordonnées cylindriques, un point Pde -D) est représentéPar le triplet (r, ș, z), où :
ret șsontles coordonnées polairesdelaprojection de P sur le plan xy, zestla distance orientéedu plan xyàP.Pour convertir des coordonnées cylindriques en
cartésiennes, on utilise : x= rcos ș y= rsin ș z= z Pour convertir des cartésiennes en cylindriques, on utilise: r2= x2+ y2 tan ș= y/x z = zCOORDONNÉES CYLINDRIQUES
Exemple
a.Placer le point de coordonnéescylindriques(2, 2ʌ/3, 1)et donner sescoordonnéesrectangulaires. b.Donner les coordonnéescylindriquesdu point de coordonnéesrectangulaires(3, 3, 7).Solution
a) Le point de cylindriquescoordonnées (2, 2ʌ/3, 1)estplacésur la figure.Sescoordonnéesrectangulairessont
Le point a doncpour coordonnéesrectangulaires(1, , 1). 3212cos 2 132
232sin 2 332
1 x y z SSolution (b)
On a :
Un jeude coordonnéescylindriquesestdonc:
Un autre:
Commepour les coordonnéespolaires, ily a uneinfinite de choixpossibles.223 ( 3) 3 2
37tan 1, so 234
7 r n z T T S (3 2,7 /4, 7)(3 2, /4, 7)Coordonnéescylindriques
Les coordonnéescylindriquessontutilesdansles problèmes oùexisteunesymétrieaxiale. On choisitalorsdes z de façonà cecoincide avec cetaxe de symétrie. Par exemple, pour le cylindreà base circulaire, z, ila pour équationcartésiennex2+ y2= c2. Encoordonnéescylindriques, cecylindrea commeéquation: r= c(beaucoup plus simple!).
Exercice
z= ren coordonnées cylindriquesSolution
z de la surface) est la même que r(distance de ce point à z).Comme ș
z. Donc, toute section horizontale de la surface par un plan z= k (k> 0) est a cercle de rayon k. Ceci suggère que la surface est coordonnées rectangulaires.On a : z2= r2= x2+ y2, cette équation
(z2= x2+ y2équation cartésienne z.SYSTÈME DE COORDONNÉES SPHERIQUES (3D)
Le systèmede coordonnéessphériquesestun autresystèmede coordonéesutile entroisdimensions. Il simplifieenparticulierles calculstriples sur des volumes limitéspar des portions de sphèresoude cônes. Les coordonnéessphériques(ȡ, ș, ĭ) Pde sont:ȡ= |OP|, ladistance deO
à P(ȡ0)
ș,le mêmeangle
coordonnéescylindriques.ĭ, entre les vecteurszet
OP. l'angle formé par les vecteurs zet OPest appelé colatitude le plan équatorial et OP).Notons que la première coordonnée (la
distance entre Oet P) est toujours positive, et que la colatitudeest comprise entre 0 et ,En physique, les notations șet ĭsont
Généralement interverties, comme sur la
figure ci-contre.La distance est souvent notée r.
REMARQUE TRÈS IMPORTANTE
Notations "physiques»
Notations "mathématiques»
COORDONNÉES SPHÈRIQUES
Utiliser un système de coordonnées sphériques peut être particulièrement utile pour résoudre des problèmes présentant origine du système. ca alors une équation très simple :ȡ= c.
Our= c en
Le grapheéquationș= c
(= c ennotations physiques) estun demi plan verticalcontenant Oz.équationĭ= c(ș= c en
notations physiques) représenteun demi-cône z.COORDONNÉES SPHÈRIQUES
La relation entre coordonnéescartésiennesand sphériquesse déduitde la figure.COORDONNÉES SPHÈRIQUES & CARTÉSIENNES
Considéronslestriangles OPQ
et, ona: z= ȡcos ĭ, r= ȡsin ĭEt comme,
x= rcos ș, y= rsin șOn obtientles formulesde
conversion : x= ȡsin ĭcos ș y= ȡsin ĭsin ș z= ȡcos ĭAvec les notations physiques, la relation
de passage aux coordonnées cartésiennes s'écritdonc :COORDONNÉES SPHÈRIQUES & CARTÉSIENNES
Exercice :
Le point (r= 2, = ʋ/3, = ʋ/4) est donné en coordonnées schéma et calculer ses cordonnées cartésiennes.Solution
Coordonnéescartésiennes:
1 23 1 3sin cos 2sin cos 23 4 2 22
3 1 3sin sin 2sin sin 23 4 2 22
cos 2cos 2 13 x x z U I TSSU I T
SUI x y zLa formuledonnantla distance indiqueque :
r2= x2+ y2 + z2 Onutilise cetteéquation pourconvertirles coordonnées cartésiennes en coordonnéesspheriques. Exercice: Le point estdonnéencoordonnées cartésiennes. Caculerdes coordonnéessphériquespour cepoint.0,2 3, 2
COORDONNÉES SPHÈRIQUES & CARTÉSIENNES
On a :
Doncon a : r = 4, ߠ
ଷ(colatitude), ߮Solution
Considérons M de coordonnées
sphériques (r, , ).Le vecteur position de Mest :
OM= rur
urest le vecteur unitaire radial.Repèrecomobile
Les coordonnées cartésiennes de Msont :
On aura donc pour ur: ߠ...߮ǡߠ߮ǡ...ߠ