Les symboles somme et produit - Lycée dAdultes
1 2 Linéarité et changement d’indice Propriété 2 : Changement d’indice L’expression à l’aide du symbole ∑ n’est pas unique On peut écrire une somme avec des indices différents Les changements d’indices k → k +p (translation) k → p − k (symétrie) sont les plus fréquents : n ∑ k=1 a k = n+p ∑ k=p+1 a k−p = p
Récurrence, somme, produit
On dit alors qu'on a e ectué le changement d'indice i= k+ m Propriété 1 3 (Changement d'indice) Pour passer de la première somme à la deuxième, on a pose i= k+ mou k= i m Il y a deux types de changements à véri er : 1)Dans leterme général de la somme: on remplace tous les kpar i m 2)Dansles bornes: on ré échit aux aleursv des
Je sais faire - Sommes, produits, coefficients binomiaux
Écrire comme une somme double le produit : Xn k=1 p k × Xn k=1 1 p k pour tout n ∈ N∗ ˙ Je sais effectuer un changement d’indice dans une somme 2 Effectuer pour tout n ∈ N∗ le changement d’indice : j =i +1 dans la somme : X2n i=n+1 1 i 3 Expliquer pourquoi le changement d’indice : j =i2 est incorrectement mené dans l
des réels La somme se note aussi
On dit qu'on a une somme télescopique 2 1 3 Changements d'indices Remarque : Lorsqu'on a une somme X n k=p a k, on peut réaliser pour convenance deux types de changements d'indice : un changement par décalage d'indice : on pose ‘= k+j()k= ‘ joù kest un entier xé un changement où on inverse l'ordre d'énumération : on pose ‘= n k
Notations - mathscpgefileswordpresscom
Propri et es de la somme 1 Changement d’indice Xn i=1 a i= nX 1 j=0 a j+1 = Xn i=0 a i+1; Xn i=m a i= nX m j=0 a m+j; 2 commutativit e : Xn i=1 a i= Xn i=1 a n i+1 3 lin earit e Xn i=1 a i+ b i= X a i+ X b i; P a i= P a i 4 Relation de chasles si m
Sommesetproduits - GitHub Pages
©LaurentGarcin MPSILycéeJean-BaptisteCorot Méthode Changementd’indice Onpeutprocéderàunchangmentd’indicepourdeuxtypesderaison •Sil’onveutchangerl’indicedanslestermesàsommer Parexemple,
SOMMES PRODUITS COEFFICIENTS BINOMIAUX
Changement d’indice k =n− p p n−1 n−2 ··· 1 0 k 0 1 2 ··· n−1 n Nous verrons parfois des changements d’indice plus compliqués Ce qu’il faut toujours garantir, c’est qu’on n’a ni supprimé ni ajouté aucun terme à la somme initiale — on a juste changé le nom de l’indice
Sommes, produits, récurrence
• faire un changement d'indice : Xi=n i=1 a i = j=Xn−1 j=0 a j+1 (on a posé j = i−1) Remarque 2 enTter de simpli er d'une façon ou d'une autre Xi=n i=0 a ib i est par contre une très bonne manière de s'attacher la rancoeur tenace de votre professeur; les sommes et produits ne font pas bon ménage 2 Démonstration par récurrence
Exo7 - Cours de mathématiques
3 Le fait de calculer la somme d’une série à partir de k = 0 est purement conventionnel On peut toujours effectuer un changement d’indice pour se ramener à une somme à partir de 0 Une autre façon pour calculer la même série +X1 k=3 1 3k que précédemment est de faire le changement d’indice n = k 3 (et donc k = n+3) : +X1 k=3 1
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k=11 = 100;100? k=01 = 101 ????? ??? ?? ?? ?????vn+1vn? p k=1(vk+1vk) = (v2v1) + (v3v2) ++ (vp+1vp) =vp+1v1 n? k=pa k=21k1=p1? `=11` = 1 +12 +13 ++1p1 ???n1? k=01nk=n? `=11` k=0k=n(n+ 1)2;n k=0k2=n(n+ 1)(2n+ 1)6;n k=0k3=?n(n+ 1)2 2 =n2(n+ 1)24 k=0k=n(n+ 1)2 k=0k= 0 =0(0 + 1)2 ? ????P(0)??? ?????? n+1? k=0k=(n+ 1)(n+ 2)2 n+1? k=0k=n? k=0k+ (n+ 1)??= n(n+ 1)2 + (n+ 1) = (n+ 1)?n2 + 1? =(n+ 1)(n+ 2)2 k=0k2=n(n+ 1)(2n+ 1)6 k=0k2= 0 =0(0 + 1)(0 + 1)6 ? ????P(0)??? ?????? n+1? k=0k2=(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3)6 n+1? k=0k2=n? k=0k2+ (n+ 1)2??= n(n+ 1)(2n+ 1)6 + (n+ 1)2= (n+ 1)? n+ 1 +n(2n+ 1)6 = (n+ 1)2n2+ 7n+ 66 =(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3)6 k=0k3=n2(n+ 1)24 k=0k3= 0 =02(0 + 1)24 ? ????P(0)??? ?????? n+1? k=0k3=(n+ 1)2(n+ 2)24 n+1? k=0k3=n? k=0k3+ (n+ 1)3??= n2(n+ 1)24 + (n+ 1)3= (n+ 1)2?n24 +n+ 1? =(n+ 1)2(n+ 2)24 p+up+1+up+2++un1+un=n? k=pu k=(up+un)(np+ 1)2 n k=pu k=(??? ?????+??????? ?????)(?????? ?? ??????)2 n ?????? ???? ????n2N?P(n)? ?n? k=0qk=1qn+11a?? k=0qk= 1 =1q1q? ????P(0)??? ?????? n+1? k=0qk=1qn+21q? ????? n+1? k=0qk=n? k=0qk+qn+1??=