Site Chapitre 1 Les vecteurs - Rosamaths
Seconde Chapitre 1 : Les vecteurs (1) Page 1 sur 6 1 I ) Translation : Activité : Une télécabine se déplace le long d’un câble de A vers B Dessiner ci – dessus la télécabine lorsqu’elle sera arrivée au terminus B
Les Vecteurs ( En seconde ) - Vincent obaton
2007 – 2008 Les vecteurs Classe de seconde 1 D´efinition d’un vecteur Les vecteurs apparaissent lorsque l’on aborde les transformations g´eom´etriques que l’on nomme les glissements ou translation Pour faire glisser un objet, on utilise trois donn´ees : Une longueur, une direction et un sens
Seconde ACTIVITE sur les translations 07/01/2013
Déplacer une figure par translation, c’est faire glisser cette figure sans la faire tourner Pour décrire ce déplacement, il faut donc donner la direction, le sens et la longueur de ce parcours Pour cela, on va utiliser un nouvel outil mathématique : les vecteurs Activité 2:
Activité : les vecteurs
Activité : les vecteurs Sur le quadrillage ci-dessus : 1 Fais « glisser » l’objet (qu’on appellera figure 1) de 8 carreaux vers la droite et 2 vers le haut (on appellera
Mathématiques en lycée
Les vecteurs I- Translation et vecteur 1) Activités d’introduction a) Activité 1 A et Bdeux points du plan Nous allons découvrir une nouvelle transformation du plan transformant A en B, appelée translation Pour transformer un point M en son image M′, on applique l’algorithme suivant : • Construire le milieu I de [BM]
1 Rappel:Translations - MathsAuLycee - Seconde
ChapitreG3 Translations,vecteurs Seconde 3 Sommededeuxvecteurs Activité Cette activité consiste à étudier l’enchaînement de deux translations sur un damier de carreaux Zellige, un carrelage décoratif originaire de l’Antiquité Méditerranéenne et du Moyen Orient 40 30 20 10 41 31 21 11 42 32 22 12 43 33 23 13 44 34 24 14 45 35 25
Niveau : Seconde Lycée Joubert/Ancenis Vecteurs partie 1
Vecteurs partie 1 / Activités - corrigé 4 Activité 2: Construire la somme de 2 vecteurs, en utilisant un quadrillage Sur les trois figures ci-dessous, placer le point M tel que AM = u + v Activité 3: Construire la somme de 2 vecteurs, sans quadrillage VE3 : Connaître et utiliser la relation de Chasles Activité 1: La relation de Chasles
1 sur 17 TRANSLATION ET VECTEURS
Somme de vecteurs 1 Définition Exemple : Soit t 1 la translation de vecteur u et t 2 est la translation de vecteur v Appliquer la translation t 1 puis la translation t 2: t 1 t 2 M M 1 M 2 revient à appliquer la translation t de vecteur w : t M M 2 Propriété : La composée (ou l’enchaînement) de deux translations est une translation
Seconde GEOMETRIE ACTIVITES Activité 1
Seconde GEOMETRIE ACTIVITES Activité 1 : Activité 2 : Activité 3 : Pour caractériser une translation, on va utiliser une « flèche » appelé mathématiquement vecteur Par exemple ⃗AB (lire vecteur AB) représente ci-contre une translation de 9 carreaux vers la droite a) Tracer la figure F2, image de la figure F1 par la
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Seconde Chapitre 1 : Les vecteurs (1) Page 1 sur 6 1
I ) Translation
Activité :
Une télécabine se déplace le long d'un câble de A vers B. Dessiner ci - dessus la télécabine lorsqu'elle sera arrivée au terminus B. On appelle ce déplacement une ................................. de A vers B.A retenir :
Déplacer une figure par
translation , c'est faire glisser cette figure sans la faire tourner .Pour décrire ce déplacement , il faut donc donner la direction , le sens et la longueur de ce parcours . Pour cela , on va
utiliser un nouvel outil mathématique : les vecteurs .II) Vecteurs :
1) Qu'est - ce qu'un vecteur ?
Définition
Un vecteur ( non nul ) est la donnée de trois éléments :1) une
direction ( une droite , deux droites parallèles ont la même direction )2) un
sens de parcours de cette direction .3) une
longueur ( appelée norme ) .Exemples
1) Le vecteur formé de la direction݀݁ቘ, de sens " de ݀ vers
݁ » et de longueur AB est noté ݀݁2) Les vecteurs
et AB CD???? ????ont la même direction et le même sens mais pas la même longueur3) Les vecteurs
et AB BA???? ????ont la même direction et la même longueur mais pas le même sens.Remarque :
Dans l'activité précédente , on parle de la translation de vecteur AB????.On dit que
A est l'origine du vecteur et que B est son extrémité .On dit que
le point B est l'image du point A par la translation de vecteur AB????. Seconde Chapitre 1 : Les vecteurs (1) Page 2 sur 6 22) Vecteurs égaux :
Définition :
On dit que deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur .Exemple
AB CD=???? ???? signifie que :
1)AB CD=???? ???? ont la même direction, c'est-à-dire que les droites ()ABet ()CD sont parallèles.
2)AB CD=???? ???? ont le même sens, c'est-à-dire que le sens est le même de A vers B que de C vers D.
3) AB CD=???? ????ont la même longueur, c'est-à-dire que AB CD=
3) Notation ࢸ
La translation de vecteur AB???? transforme le point C enD, le point E en F.
On aAB CD EF= =???? ???? ????.
On dit alors que
, et AB CD EF???? ???? ????sont des représentants d'un même vecteur que l'on peut noter génériquement u?.On dit que
AB???? est le représentant du vecteur u?
d'origine A.4) Vecteurs particuliers :
Définition :
Soit A un point quelconque
du plan.Le vecteur
AA???? est appelé vecteur nul et noté 0?. Il n'a pas de direction, ni de sens et sa longueur est nulle.
Remarque :
0AB=???? ? si et seulement si A et B sont confondus.
Définition :
Soit u? un vecteur non nul . L'opposé du vecteur u? est le vecteur noté ൣ ࢸՃ ayant la même direction, le sens contraire et la même norme.
Seconde Chapitre 1 : Les vecteurs (1) Page 3 sur 6 3 Représentation graphique de ൣ ݮՃ :Remarque :
L'opposé du vecteur AB???? est le vecteur BA????. On écrit donc que : BA AB= -???? ????.5) Vecteurs égaux et parallélogramme :
Propriété :
Soient
݀ , ݁ , ݂ et ݃ quatre points du plan distincts deux à deux . AB DC=???? ???? si et seulement si ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati) .Remarque :
On a aussi , et BA CD AD BC DA CB= = =???? ???? ???? ???? ???? ????Exercice n° 2 feuille 1 :
application ( dans les deux sens ) .6) Vecteurs égaux et milieu d'un segment :
Propriété : Le point ݈ est le milieu du segment ቛࢊࢋቜ si et seulement si ࢊՃ ൩ ࢋՃ.
Remarque :
On a aussi ࢋՃ ൩ ࢊՃ
Seconde Chapitre 1 : Les vecteurs (1) Page 4 sur 6 4III) Somme de vecteurs :
1) Somme vectorielle :
Relation de Chasles :
On définit la somme vectorielle
AB BC+???? ???? comme étant le vecteur AC????.
Remarque :
Ce vecteur somme correspond à la translation " bilan » que l'on obtient en faisant successivement les
translations de vecteursAB???? puis de vecteur BC????.
" Aller de A vers B, puis de B vers C, revient à aller directement de A vers C ».Plus généralement :
Etant donnés deux vecteurs quelconques
et u v? ?, on définit la somme vectorielle u v+? ? comme étant le vecteurégal à
AC????, où A est un point quelconque du plan et Cson image par les translations successives de vecteurs
respectifs et u v? ?.Remarques
La somme vectorielle ne dépend pas du point A choisi. Comme pour la somme des nombres, la somme vectorielle est commutative, c'est-à-dire u v v u+ = +? ? ? ? et associative, c'est-à-dire ()()u v w u v w+ + = + +? ? ? ? ? ?, ce que l'on peut simplement noter u v w+ +? ? ?.2) Construction géométrique de ܺՃൢ ܻ
1er cas : Vecteurs " bout à bout »
Quels que soient les points ݀ , ݁ et ݂ , on a larelation de Chasles : ࢊࢋՃൢ ࢋࢌՃ൩ ࢊࢌՃ
Exemple :
Voir figure précédente
2nd cas : Vecteurs quelconques
On déplace l'un ou l'autre ou les deux vecteurs pour se ramener à la configuration " bout à bout » précédente.Pour construire
AB CD+???? ????, on place le point E
tel que BE CD=???? ????. Comme : AB CD AB BE+ = +???? ???? ???? ???? , d'après la relation de Chasles,AB CD AE+ =???? ???? ????.
Seconde Chapitre 1 : Les vecteurs (1) Page 5 sur 6 53) Somme de vecteurs et configurations :
Propriété : Parallélogramme
Si ABCD
est un parallélogramme alors AB AD AC+ =???? ???? ????.Démonstration :
Si ABCD
est un parallélogramme alors AB DC=???? ????.On a alors
AB AD DC AD AD DC AC+ = + = + =???? ???? ???? ???? ???? ???? ????.Propriété
: Médiane Si [AI] est la médiane issue de A dans le triangle ABC, alors2AB AC AI+ =???? ???? ???.
Propriété
: Milieu I est le milieu de [AB] si et seulement si 0IA IB+ =??? ??? ?.Remarque
: On a aussi : 0AI BI+ =??? ??? ?4) Différence de deux vecteurs :
Définition :
On appelle
différence entre et u v? ?, le vecteur noté u v-? ? défini par : ()u v u v- = + -? ? ?. Remarque : On retrouve le " soustraire, c'est ajouter l'opposé ».Construction géométrique de u v-? ?
Seconde Chapitre 1 : Les vecteurs (1) Page 6 sur 6 6Configuration :
Dans un parallélogramme, les deux diagonales correspondent à la somme et la différence des vecteurs des côtés :
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