Fiche méthode 2 : Montrer qu’un ensemble est un espace
F HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015 Fiche méthode 2 : Montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel 1 La théorie
1 Montrer qu’un espace est (ou n’est pas) un espace vectoriel
E n’est pas un espace vectoriel, on peut montrer que 0 ∈/ E, ou qu’il existe a et b dans E avec a + b non dans E, ou en montrant qu’il existe a ∈ E avec λa /∈ E pour un certain λ ∈ R Exercice 1 Montrez que les espaces suivants ne sont pas des espaces vectoriels :
1 Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels
Pour montrer qu’un ensemble E est un e v , il suffit g´en´eralement La dimension d’un (sous-)espace vectoriel est le cardinal de l’une de ses
Chapitre 1 Espaces vectoriels - UMR 5582
Exemple : R2 est un sous-espace vectoriel de R3 Pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel, il suffit souvent de montrer que c’est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel connu Pour cela, on utilise le th´eor`eme suivant Th´eor`eme (Caract´erisation des sous-espaces) Soit E un espace vectoriel Soit F un ensemble
La structure d’espace vectoriel - Free
pratique, pour montrer qu’un sous-espace vectoriel Fest egal a f0g, on se contente de montrer que Fˆf0g, sans m^eme mentionner l’inclusion r eciproque M ethode : pour montrer qu’un ensemble Fest un K-espace vectoriel, il est pratique lorsque c’est possible, de trouver un ensemble E, que l’on sait d ej a ^etre un K-espace
TD 19 Les espaces vectoriels - heb3org
Exercice 17 : [corrigé] Montrer que l’ensemble des fonctions affines A est un sous-espace vectoriel de RR Puis, donner une base de cet ensemble Exercice 18 : [corrigé] (Q 1) Montrer que l’ensemble des solutions de l’équation différentielle y′ − xy = 0est un sous-espace vectoriel de F(R, R)
Espaces vectoriels
1°) Montrer que est un sous-espace vectoriel de ℝ3 2°) Déterminer une famille génératrice de et montrer que cette famille est une base 3°) Montrer que { , } est une base de
Chapitre III Espaces vectoriels
est un sous espace vectoriel de si et seulement si ou Démonstration : À voir en TD Remarque : Le complémentaire d’un sous espace vectoriel de n’est jamais un sous-espace vectoriel de En effet, par définition, { ⃗ } , ce qui fait que { ⃗ } 4 Sous-espaces vectoriels engendrés par une partie
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F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015
Fiche méthode 2 :
Montrer qu"un ensemble est un espace vectoriel
1 La théorie
On ne montre jamais directement qu"un ensemble est un espace vectoriel. On montre que c"est un sous-espace
vectoriel d"un espace vectoriel de référence.1.1 Espaces vectoriels de référence
•pour toutn>1,Rnest un espace vectoriel (de dimension finien, la base canonique étantf~e1;:::; ~en)où
~e1= (1;0;:::;0); ~e2= (0;1;0:::;0);:::; ~en= (0;:::;0;1));
•pour tousn>etp>1,Mn;p(R)est un espace vectoriel (de dimension finienp, la base canonique étant
fE1;1;:::;E1;p;E2;1;:::;E2;p;:::;En;1;:::;En;pgoù, pour touti;j,Ei;jest la matrice deMn;p(R)dont tous
les coefficients sont égaux à0, sauf celui à lai-ième ligne etj-ième colonne qui vaut 1.
•l"ensembleR[X]des polynômes (ou des fonctions polynomiales) est un espace vectoriel (de dimension infinie).
[Peu utile!]•pour toutn>0, l"ensembleRn[X]des polynômes (ou des fonctions polynomiales)de degré inférieur ou égal
ànest un espace vectoriel (de dimensionn+ 1, la base canonique étant(e0;e1;:::;en)oùe0:x7!1; e1:
x7!x; e2:x7!x2;:::; en(x) =xn).1.2 Méthode 1 : La méthode générique
On montre queFest un sous-espace vectoriel d"un espace vectoriel en montrant que :1.FE. En général, c"est évident (on travaille soit avec des vecteurs deRn, soit des matrices, soit des
fonctions...)2.Fest non vide. Pour cela, on montre que~02F.
3.Fest stable par combinaison linéaire, c"est-à-dire que si~x;~ysont deux vecteurs deFet quea;bsont
deux réels, alors le vecteura~x+b~yappartient àF. (On peut aussi montrer séparément que~x+~y2F
et quea~x2F.)1.3 Méthode 2 : La méthode accélérée (qui marche surtout pour les exercices
avec des matrices)On montre queFest un espace vectoriel en en exhibant une famille génératrice : on trouve (on l"invente!) une
famille(~e1;:::; ~en)de vecteurs tels que tout vecteur~xdeFs"écrive comme combinaison linéaire des vecteurs
(~e1;:::; ~en), autrement dit qu"il existex1;:::;xntels que~x=x1~e1++xn~en.1.4 Méthode 3 : La méthode astucieuse (qui marche parfois)
On exhibe une application linéairetelle queF=Ker(). AlorsFest un sous-espace vectoriel deEparceque le cours dit que le noyau d"une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l"ensemble de départ.
1/?? F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-20152 Les exemples
2.1 Un exemple classique, d"après Ecricome 2009.
À tout triplet(a;b;c)de réels, on associe la matriceM(a;b;c)définie par :M(a;b;c) =0
@a a a 0b b 0 0c1 A On désigne parEl"ensemble des matricesM(a;b;c)oùa,b,csont des réels. Ainsi :E=fM(a;b;c)aveca;b;créelsg:
Montrer queEforme un espace vectoriel.
Solutionpar la méthode accélérée :
Une matriceNappartient àEsi et seulement si elle s"écritN=M(a;b;c) =a0
@1 1 1 0 0 00 0 01
A +b0 @0 0 0 0 1 10 0 01
A +c0 @0 0 0 0 0 00 0 11
Aautrement dit si et seulement si elle est combinaison linéaire des trois matricesA:=M(1;0;0),B:=M(0;1;0)
etC:=M(0;0;1). Ainsi, par définition,Eest l"espace vectoriel engendré par les trois matricesA,B,C:
E=Vect(A;B;C). C"est donc un espace vectoriel. CommeE M3(R),Eest bien un sous-espace vectoriel deM3(R).
Solutionpar la méthode générique :
•Par définition,E M3(R); •la matrice nulle estM(0;0;0)2EdoncEest non vide; •siN1:=M(a;b;c)etN2:=M(a0;b0;c0)sont dansEet que;sont deux réels, alorsN1+N22Ecar ce n"est autre que la matriceM(a+a0;b+b0; c+c0).Ainsi,Eest bien un sous-espace vectoriel deM3(R).
2.2 Un autre exemple classique, d"après EDHEC 2006
SoitNune matrice deM3(R). On noteCNl"ensemble des matrices deM3(R)qui commutent avecN. (Une matriceAdeCNest donc une matrice vérifiantAN=NA.) Montrer queCNest un sous-espace vectoriel de M 3(R).Solution(par la méthode générique puisqueNn"est pas explicitement donnée, voir le cours pour l"utilisation
d"une bonne application linéaire!) : •SiMest telle queMN=NM, alorsM2 M3(R)pour que les deux produitsMNetNMaient un sens.Ainsi,CN M3(R).
•La matrice nulleOvérifieON=NO=O, donc appartient àCN. Ainsi,CNest non vide.•SoientA;Bdeux matrices deCNeta;bdeux réels. On veut montrer queaA+bB2 CN, c"est-à-dire que
(aA+bB)N=N(aA+bB). Développons le premier membre :(aA+bB)N=aAN+bBN. CommeA2 CN, AN=NA. De même, commeB2 CN,BN=NB. Ainsi,aAN+bBN=aNA+bNB. CommeN(aA+bB)est également égal (en développant) àaNA+bNB, on a bien montré que(aA+bB)N=N(aA+bB), donc
aA+bB2 CN. Finalement,CNest bien un sous-espace vectoriel deN.