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Universit
´e Antilles-Guyane - UFR Sciences Exactes et Naturelles D ´epartement Scientifique Interfacultaire (campus de Schoelcher) MIAS-1 / Maths 2 : Memento pratique en alg`ebre lin´eaire
1 Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels
1. Pourmontrer qu"un ensembleEest un e.v., il suffit g´en´eralement
de montrer queEest un s.e.v. d"un autre e.v. bien connu (ex. : fonctions ayant une certaine propri´et´e, matrices d"une forme particuli`ere, ...)
2. Pourmontrer queEest s.e.v., onpeututiliser le crit`ere de s.e.v. :
?u,v?E,?λ?K:u+λv?E ou une variante (u+v?Eetλu?E, ou :λu+μv?E). Il faut alors utiliser lad´efinitiondeE, afin d"exprimer les proposi- tionsu?Eetv?Eau d´epart, etu+λv?E`a"l"arriv´ee», plus concr`etement comme propri´et´e portant suruetv(lien entre les com- posantes d"un vecteur, ´equation v´erifi´ee, ...)
3. Parfois il estplus facilede m.q.Eest s.e.v. en montrant que
(a)E= kerf, c-`a-d.Eest le noyaud"une certaine application lin´eairef: par exemple,{x?R3|x1+ 2x2= 0,x2=x3} est le noyau def:R3→R2; (x,y,z)?→(x+ 2y,y-z). Attention : il faut aussi montrer que l"application est en effet lin´eaire (voir ci-dessous), sauf si c"est ´evident. (Soyez honnˆetes!) =?on utilise ici leThm.: le noyau d"une app. lin. est un s.e.v. (b)E= [u,v,w,...] = vect{u,v,w...}, c-`a-d.Eest ´egal `a l"ensemble de toutes les combinaisons lin´eaires de certains ´el´ements (vecteurs, matrices, fonctions...). =?on utilise ici leThm.: l"ensemble des comb. lin. d"une partie ou familleest un s.e.v.(´egal au s.e.v. engendr´e par cette partie) Moins souvent, on utilisera aussi les Thm.s affirmant que (c)Eest s.e.v. siEest l"intersectionde certains autres s.e.v. (d)Eest s.e.v. siEestsommed"autres s.e.v. (Attention : lar´eunionde s.e.v. n"est pas s.e.v. en g´en´eral!) Famille libre, g´en´eratrice, base et dimension d"un s.e.v. Ladimensiond"un (sous-)espace vectoriel est le cardinal de l"une de ses bases, c-`a-d. d"une famille qui engendre cet espace et qui est libre.
Une famille (v1,...,vn) estlibressi :
1v1+···+λnvn=o=?λ1= 0, λ2= 0,...,λn= 0.
1 En g´en´eral, la r´esolution de cette ´equation vectorielle n"est pas ´evidente. (Pourvi?Rm, chacune desmcomposantes donne une ´equation pour lesn inconnuesλi.) Or, si la famille (vi) est echelonn´ee, c-`a-d. par exemple v
1= (1,?,?,?,...), v2= (0,0,1,?,?,?,...),..., vn= (0,...,0,1,?),
alors il est imm´ediat queλ1v1+···+λnvn=oimplique, en vue de la 1e composante, queλ1= 0; puis, la 3ecomposante donneλ2= 0, et ainsi de suite jusqu"`aλn= 0, la famille est donc libre. Si par contre le dernier vecteur de la famille est le vecteur nul, on peut prendreλn?= 0, et la famille est li´ee : •une famille qui contient le vecteur nul est toujours li´ee, •une famille ´echelonn´ee est libre si elle ne contient pas le vecteur nul. La m´ethode du pivot de Gauss permet, pour tout syst`eme denvecteurs de R m, de trouver un syst`eme ´echelonn´e ´equivalent, qui engendre le mˆeme s.e.v. Les vecteurs non-nuls de la famille ´echelonn´ee sont alors une base du s.e.v. engendr´e, leur nombre sa dimension.
Dans un espace de dimensiond:
•une famille deplus dedvecteursest toujoursli´ee, •une famillelibrepeut avoirau plusdvecteurs, •pour une famille dedvecteurs,libre??g´en´eratrice??base. Ainsi, si un sous-espaceFdeEest de la mˆeme dimension queE, toute base deFest base deE, d"o`u :F=E! En particulier : sif?L(Rm,Rn) v´erifie rgf=n(voir ci-dessous), alors imf=Rn...mais : on n"a pasrgf=k=?imf=Rksik < n!!: imfest toujours un ensemble de vecteurs `ancomposantes (´el´ements deRn), quel que soit rgf!).
2 Application lin´eaires
Pourmontrer qu"une applicationf:E→Fest lin´eaire, onpeututiliser la d´efinition, ?u,v?E,?λ?K:f(u+v) =f(u) +f(v), f(λu) =λf(u) ou une variante ´equivalente :f(u+λv) =f(u) +λf(v), ou encorecomparer au crit`ere de s.e.v. - diff´erences? f(λu+μv) =λf(u) +μf(v). Il faut alors calculer le vecteur sommeu+v, appliquer la d´efinition def, et voir si ce r´esultat est ´egal `a la somme des vecteursf(u) etf(v). Dans le cas fr´equent o`uE=Rn, il estplus rapided"´ecriref(x1,x2,...,xn) sous la forme f(x1,x2,...,xn) =x1?v1+x2?v2+· · ·+xn?vn 2 avec (comme on constatera!)?vi=f(ei) :?v1=f(1,0...0),...,?vn=f(0...0,1). et on sait qu"une application de cette forme est lin´eaire : c"est l"application lin´eaire attach´e `a la famille (?v1,...,?vn), lin´eaire d"apr`es une Prop. du cours. P.ex. l"application du1.(3a) s"´ecritf(x,y,z) =x(1,0) +y(2,1) +z(0,-1), c"est donc l"app. lin. attach´ee `a la famille ((1,0),(2,1),(0,-1)), dc lin´eaire.
Image et noyau
Cette ´ecriture defmontre aussi que l"imagedefest ´egal `a l"ensemble des combinaisons lin´eaires des vecteurs?v1,...,?vn(voir le cours `a ce sujet aussi : [(vi)] = Ψ(vi)!), soit : imf= [f(e1),...,f(en)] , o`u (e1,...,en) est une base deE=Df; on en d´etermine une base en utilisant la m´ethode du pivot de Gauss. Avec cette base, on connaˆıt rgf= dimimf, d"o`u aussi (Thm.du rang!) dimkerf=n-rgf ,(n= dimE= dimDf), informationutile pour d´eterminerkerf: sidimkerf= 0, alors kerf= {o};sidimkerf= 1, alors kerf= vect{v}avecvn"importe quel vecteur non-nul tel quef(v) =o;sidimkerf= 2, alors une base de kerfest donn´ee par deux vecteurs non proportionnels annulantf. P.ex. pourfci-dessus, on a imf=R2=?rgf= 2 =?dimkerf= 1, on trouve (d´ef. au1.(3a))f(x,y,z) = 0??y=zetx=-2y, donc kerf= vect{(-2,1,1)}. Le calcul matriciel fournit une m´ethode g´en´erale et efficace pour trouver le noyau d"une application lin´eaire : concernant le cours... L"int´erˆet du coursest double : il donne des th´eor`emes utiles dans les applications (si!), mais en mˆeme temps c"est un recueil d"exercices corrig´es! En effet, les Propositions et Th´eor`emes sont les exercices :"montrer que...», les d´emonstrations sont les solutions; elles illustrent comment on utilise les notions (d´efinitions) et les th´eor`emes rencontr´es auparavant. 3quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25
Fiche méthode 2 : Montrer qu’un ensemble est un espace