DENOMBREMENTS, COMBINATOIRE EXERCICES CORRIGES
Exercice n°1 Combien de menus différents peut-on composer si on a le choix entre 3 entrées, 2 plats et 4 desserts ? Exercice n°2 Une femme a dans sa garde-robe 4 jupes, 5 chemisiers et 3 vestes Elle choisit au hasard une jupe, un chemisier et une veste De combien de façons différentes peut-elle s’habiller ? Exercice n°3
DENOMBREMENTS, COMBINATOIRE EXERCICES CORRIGES
Exercice n° 1 Combien de menus différents peut-on composer si on a le choix entre 3 entrées, 2 plats et 4 desserts ? Exercice n° 2 Une femme a dans sa garde-robe 4 jupes, 5 chemisiers et 3 vestes Elle choisit au hasard une jupe, un chemisier et une veste De combien de façons différentes peut-elle s’habiller ? Exercice n° 3
TD 15 Dénombrement - heb3org
Exercice 12 : [indications] [corrigé] 1 Déterminer à la main le nombre de surjections de [[1,3]]vers [[1,2]] 2 Soit n∈ N∗ Déterminer le nombre de surjections de [[1,n+1]]vers [[1,n]] Des formules démontrées grâce à des problèmes de dénombrement Exercice 13 : [solutions] Dans une urne, on place nboules blanches et une noire
4s - Dénombrements (analyse combinatoire)
Exercice 1 On lance 10 fois un dé à jouer et on prend note des résultats successivement obtenus, par dénombrement, combinatoire, arrangement, combinaison
Corrigés des exercices de dénombrement
Exercice 2 Exercice 3 Pour les pages de 1 à 9 : 9 chiffres Pour les pages de 10 à 99 : 90 × 2 soit 180 chiffres Pour les pages de 100 à 350 : 251 x 3 soit 753 chiffres Total : 942 chiffres Remarque : Quand on écrit tous les nombres entiers consécutifs en commençant au nombre n et en s'arrêtant au nombre p, on obtient p - n + 1
Corrigé : Dénombrement
Exercice 4 On suppose qu’une personne ne peut avoir plus de 2000000 de cheveux Il y avait, en2013,66 millionsd’habitantsenFrance Regardonsl’applicationf qui,àunepersonne,associe sonnombredecheveux Elleestàvaleursdans J0;2000000K S’iln’estpaspossibledetrouver 30
Entiers, ensembles finis, dénombrement
Entiers, ensembles finis, dénombrement Exercice 159 Montrer que pour tout n P Nzt1u, l’entier 5n ´3n n’est pas un nombre premier Corrigé 159 Soit n ě 1 On a 5n ´3n = (5´3) nÿ´1 k=0 5k3n´1´k = 2 nÿ´1 k=0 5k3n´1´k, donc 5n ´3n n’est pas premier Exercice 160 Soient a et b deux entiers naturels de même parité
Dénombrement - Sésamath
Remarque : Cet exercice pourrait aussi être traité en utilisant un diagramme comme dans l'exercice 1, ou un tableau comme dans l'exercice 2 Solution Notons V l'ensemble de tous les véhicules, F l'ensemble des véhicules présentant un défaut de freinage,
Feuille d’exercices : Dénombrement PROF: ATMANI NAJIB
Dénombrement– Corrigé de quelques exercices Exercice 6 — 1 On compte de deux façons différentes le nombre de tirages de kboules : • 1re façon On tire simultanément kboules dans une urne contenant n+mboules On sait qu’il y a en tout n+m k possibilités • 2e façon On procède par disjonctions de cas
TD1 : Probabilités et dénombrement - Corrigé
FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 22 06 – TD 1 - Corrigé Page 1 TD1 : Probabilités et dénombrement - Corrigé Exercice 1 : On complète un premier tableau (en gras les valeurs de l’énoncé, les autres s’obtiennent par soustraction) Employés Syndiqué Non syndiqué Total Marié 208 216 424 Non marié 144 232 376
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Feuilled"exercices:DénombrementUnpeudedénombrementpurExercice1-Alacantinedulycée,ilyalechoixentre3entrées,2platset4desserts.Combiendemenus(secomposantd'uneentrée,d'unplatetd'undessert)sontpossibles.Exercice2-Onconsidèrel'ensembleE=fa;b;c;dg.Ecrire:1.Lescombinaisonsde3élémentsdeE.2.Lesarrangementsde3élémentsdeE.3.Lestrois-listesd'éléméntsdeE(onpourranepastouslesécrire).Exercice3-Uneanagrammeestunmot(ayantounonunsens)forméenchangeantdeplaceleslettresd'unautremot.Combiend'anagrammespeut-onformeràpartirdesprénoms:NICOLAS,SOLENE,CLEMENCE?Exercice4-Oneffectuecinqtiragesd'uneboule,successivementetavecremise,dansuneurnecontenantneufboulesnumérotéesde1à9.1.Combieny-a-t-ildetiragespossibles?2.Dénombrerl'ensembledestiragescontenant:a)(Exactement)deuxfoislaboule2.b)Aumoinsunefoislaboule9.c)Troisfoislaboule3etunefoislaboule1.3.a)Quelestlenombredetiragestelsqueladeuxièmebouletiréeestlaboule1?b)Quelestlenombredetiragestelsquelaboule1aitététiréeunedeuxièmefoisenpositiontrois?Exercice5-Dansunebibliothèque,vingtlivressontexposéssuruneétagèrerectiligneetrépartisauhasard.Parmicesvingtlivres,quatresontdumêmeauteurA,lesautresétantd'auteurstousdifférents.DéterminerlenombredefaçonderangercesvingtslivrespourquelesquatrelivresdeAseretrouventcôteàcôte.Exercice 6Identité de Vandermonde.-Une urne contientmboules rouges etnboules blanches.1.En calculant de deux manières différentes le nombre de tirages dekboules de l'urne, montrer quekPj=0mjnkj=n+mk.2.En déduirenPk=0nk2.Exercice 7 -Le directeur d'un zoo dispose dencages pour y enfermer les animaux malades. Par mesure d'hygiène ilchoisit de mettre au plus un animal par cage et de ne jamais remplir deux cages voisines. On s'intéresse au nombreundemanières différentes de placer des animaux dans cesncages en suivant cette règle.1.Montrer que pour toutn2N; un+2=un+1+un.2.Exprimerunen fonction den. (On conviendra queu0= 1).Dénombrement en probabilitéExercice 8 -Une urne contient neuf boules distinctes : deux vertes, trois blanches et quatre rouges. On tire au hasard,successivement et sans remise quatre boules de l'urne.1.Préciser l'univers associé à cette expérience, ainsi que son cardinal.2.Quelleestlaprobabilitéd'obtenir:a)Au moins une boule verte?b)Uniquement des boules d'une même couleur?c)Deux boules vertes, une rouge et une blanche sachant que l'on a tiré au moins une boule verte?3.Reprendre les questions 1 et 2 lorsque le tirage est simultané, puis lorsque les tirages sont successifs et avec remise.Exercice 9 -Un joueur de poker reçoit une " main » de cinq cartes choisies au hasard dans un jeu de 32 cartes.1.Préciser l'univers associé à cette expérience ainsi que son cardinal.2.Quelle est la probabilité d'obtenir :a)Un carré?b)Un full?c)Un brelan (fulls exclus)?d)Seulement une paire (et trois autres cartes de hauteurs différentes et différentes entre elles)?e)Exactement deux paires?Pour les non initiés :dans un jeu de 32 cartes, il y a huit " hauteurs » qui sont 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As, de quatre" couleurs » qui sont Pique, Coeur, Carreau et Trèe.Un carré = quatre cartes de même hauteurUne paire = deux cartes de même hauteur (et pas trois)Un brelan = trois cartes de même hauteur (et pas quatre) Un full = un brelan et une paireExercice 10 -On considère une classe deNélèves. On suppose qu'aucun élève n'est né un 29 février et que, pour chaqueélève, tous les autres jours de l'année ont la même probabilité d'être le jour de son anniversaire. Quelle est la probabilitéqu'au moins deux élèves soient nés le même jour?Exercice 11 -Dans une urne se trouventnboules rouges etnboules blanches. On tire deux par deux, sans remise, lesboules jusqu'à vider l'urne. Quelle est la probabilité que l'on tire deux boules de chaque couleur à chaque tirage?1PROF: ATMANI NAJIB
Dénombrement-CorrigédequelquesexercicesExercice 6 -1.On compte de deux façons différentes le nombre de tirages dekboules :•1refaçon.On tire simultanémentkboules dans une urne contenantn+mboules. On sait qu"il y a entoutn+mkpossibilités.•2efaçon.On procède par disjonctions de cas. Pourj2~0;kfixé, le nombre de tirages dekboules formésdejboules rouges etkjblanches est dekmkjn.Le nombre total de tirages dekboules est donckPj=0kmkjn.On en déduit quen+mk=kPj=0kmkjn.2.On applique la formule dans le cask=m=n. Cela donne2nn=nPj=0njnnj=nPj=0njnj=nPj=0nj2.Exercice 7 -1.Soitn2N. Pour placer les animaux dansn+2cases, procédons à une disjonction de cassuivant la composition de la première cage :•1repossibilité : la première case est vide.Dans ce cas il y aun+1façons de placer les animaux dans lesn+1cages restantes.•2epossibilité : la première case est pleine.Dans ce cas la deuxième cage est vide selon le protocole. Pourremplir lencages suivantes, il y a doncunpossibilités.On en déduit queun+2=un+1+un.2.La suite(un)n2Nest récurrente linéaire d"ordre 2. L"équation caractéristique associée s"écritx2x1 = 0.Elle est de discriminant 5>0 donc admet deux racines réellesr1=1p52etr2=1+p52.Il existe donc;2Rtels que :8n2N; un=rn1+rn2.Pourn= 0 on au0= 1 (par convention). Pourn= 1 on au1= 2 (la cage peut être vide ou pleine).On obtient(+= 1r1+r2= 2et donc(+= 1(r2r1) = 2r1.Tous calculs faits, on obtient=3+p52p5et=3+p52p5.Exercice 11 -Pour touti2~1;n, on noteEi:" On obtient deux boules de couleurs différentes auietirage ».OncherchedoncP(nTi=1Ei).ParlaformuledesprobabilitéstotalesonaP(nTi=1Ei) =P(E1)PE1(E2)PE1\E2\\En1(En).Au 1ertirage, on est en situation d"équiprobabilité et il y a2n2tirages possibles donc,P(E1) =Card(E1)2n2=n22n2De même, pouri2~1;n1, au tiragei+1, on aPE1\\Ei(Ei+1) =(ni)22(ni)2.AinsiP(n\i=1Ei) =n22n2(n1)22(n1)21 =2n22n(2n1)2(n1)2(2n2)(2n3)1 =2n(n(n1):::1)22n(2n1)1=2n(n!)2(2n)!:PROF: ATMANI NAJIB
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