[PDF] Terminale S - Loi uniforme Loi exponentielle



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Terminale S - Loi uniforme Loi exponentielle

II) Loi exponentielle 1) Définition Soit λ un réel strictement positif Une variable aléatoire ???? suit une loi exponentielle de paramètre λ lorsque sa densité de probabilité est la fonction ???? la fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [ par : ???? ( ???? ) = λ ????−λ???? Remarque :



Probabilités Loi exponentielle Exercices corrigés

densité de probabilité est définie sur par Remarque importante : Une loi exponentielle de paramètre est également appelée loi de durée de vie sans vieillissement La variable aléatoire continue suit une loi exponentielle de paramètre sur l’intervalle



LOIS DE PROBABILITE A DENSITE - Plus De Bonnes Notes

LOIS DE PROBABILITE A DENSITE Probabilités partie 2 Loi uniforme, loi exponentielle, lois normales Lois de probabilité à densité LO I UN IF O R M E , LO I E X PO N E N T IE LL E , LO IS N O R M A LE S



P3 – LOI EXPONENTIELLE

Mots-clés :loi exponentielle, simulation 1 Objectifs • Calculer à partir de la loi exponentielle • Simuler avec la calculatrice un échantillon de réalisations d’une variable aléatoire de loi exponentielle • Comparer l’histogramme des fréquences et la courbe de la densité de probabilité d’une loi exponentielle 2 Mise en



Variable Aléatoire Continue, Loi à densité

Loi à Densité, Loi Uniforme, Loi Exponentielle Lorsqu’une variable aléatoire X, est continue à valeurs les réels d’un intervalle I de R, sa loi de probabilité, dite continue n’est plus associée à la probabilité de chacune des valeurs En effetP(X = a) = 0 pour tout a 2 I On caractérise la loi de probabilité de X, par la



Variable Aléatoire Continue, Loi à densité

TSSI 2019/2020 Complété Cours Ch12 Loi à Densité, Loi Uniforme, Loi Exponentielle 3 Loi Exponentielle de paramètre > 0, E( ) : • Définition: Une variable aléatoire continue X, suit une loi exponentielle de paramètre , avec > 0, notée E( ) lorsque sa fonction de densité est la fonction f définie par {f(t) = e t si t 2 [0;+1[f(t



Terminale S - Lois de probabilités à densité - Exercices

Déterminer le réel k pour que f soit une densité de probabilité sur l’intervalle [0 ;3] 2 On considère une variable aléatoire X suivant la loi de probabilité définie par la densité f (a) Calculer P(1≤X≤2) (b) Déterminer le réel a de [0 ;3] tel que P(0≤X≤a)=P(a≤X≤3) Exercice 5



Lois de probabilité à densité Loi normale

On contourne cette difficulté en associant à la variable X un intervalle de R et en définissant une densité de probabilité 1 2 Densité de probabilité et espérance mathématique Définition 1 : On appelle densité de probabilité d’une variable aléatoire continue X, toute fonction f continue et positive sur un intervalle I ([a;b



La loi exponentielle ou loi sans mémoire

probabilité que l'appareil fonctionne encore h années supplémentaires sachant qu'il fonctionne à l'instant t, ne dépend pas de t On admettra que la loi exponentielle est la seule loi sans vieillissement Ceci est valable si l'appareil n'est pas sujet à un phénomène d'usure



Fonction de repartition´ et densit´e - POLARIS

Loi exponentielle E( ) La loi exponentielle de parametre` > 0 est la loi de densit´e f(x) = ˆ 0 si x < 0; e x sinon : et de fonction de r´epartition F(x) = ˆ 0 si x < 0; (1 e x) sinon : Notons que la loi exponentielle jouit aussi d’une propriet´ e´ importante pour les applications (propriet´ ´e de

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Loi uniforme. Loi exponentielle

I) Loi uniforme de probabilité sur [a : b]

La loi de probabilité qui admet

pour densité la fonction ࢌ constante

égale à

sur [ࢇ ; ࢈], est appelée loi uniforme sur [ࢇ ; ࢈]

Soit [ࢉ ; ࢊ] un intervalle inclus dans [ࢇ ; ࢈] et ࢄ une variable aléatoire

suivant la loi uniforme sur [ࢇ ; ࢈], alors : ࡼ ( ࢉ ൑ࢄ ൑ࢊ )= ׬

Propriétés :

Si ܺ est une loi de probabilité suivant une loi uniforme sur l'intervalle [ܾ ;ܽ signifie que ܺ sur [ܾ ; ܽ L'espérance mathématique d'une variable aléatoire

ܾ ; ܽ] est ܧ(ܺ

Exemples :

1) Dans une ville (idéale) les autobus passent à chaque arrêt exactement toutes les

20 minutes. On appelle ܺ

ܺsur l'intervalle [0 ; 20], on a

donc : ( 5 ൑ܺ et ܲ( ܺ ൒12 )= ܲ ( 12 ൑ܺ enfin le temps d'attente moyen qui est égal à ܧܺ soit 10 minutes. 2) La fonction " alea » d'une calculatrice affiche au hasard un nombre réel appartenant à ]0 ; 1[. Soit ܺ le nombre affiché, ܺ une loi uniforme sur ]0 ; 1[. On a donc : ( 0,15 ൑ܺ = 0,25 et ܲ( ܺ ൒0,8 ) = ܲ ( 0,8 ൑ܺ =0,2

Remarque :

Si

ܺ suit une loi uniforme sur [ܾ ;ܽ

répartition de ܺ

Pour tout ݔג

ܨ (ݔ)=ܲ( ܺ ൑ݔ )= 0 si ݔ ൑ܽ si ܽ൑ݔ൑ܾ

1 si ݔ ൒ܾ

II) Loi exponentielle

1) Définition

Soit un réel strictement positif. Une variable aléatoire ࢄ suit une loi exponentielle de paramètre lorsque sa densité de probabilité est la fonction ࢌ la fonction définie sur [ 0 ; + [ par :

Remarque :

On peut vérifier que ݂ est bien une densité de probabilité sur [0 ; + [ en effet :

ł݂ est continue et positive sur [0 ; + [

= 1 - ݁ donc lim

݂(ݔ)݀ݔ=1

Ce qui signifie que l'aire sous la courbe de

݂ sur [0 ; + [ est égale à 1

Résultats :

Soit ܺ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre , et ܽ et ܾ deux réels positifs ou nuls ,alors on a: = 1 - ݁

ܽ ) = 1 - ܲ ( ܽ ܺ

Exemples :

Exemple 1 : La durée de vie d'un ordinateur portable exprimée en années est une variable aléatoire ܺ suivant la loi exponentielle de paramètre ߣ La probabilité que la durée de vie de cet ordinateur portable dépasse 5 ans est ( ܺ ൒5)=1െ ׬ ൎ0,535 La probabilité que la durée de vie de cet ordinateur portable soit inférieure à 3 ans est ܲ( ܺ ൑3)= ׬ =1െ݁ ൎ0,313 Exemple 2 : Le temps d'attente exprimé en minutes au guichet d'une banque est une variable aléatoire T suivant la loi exponentielle de paramètre ߣ probabilité qu'un client attende moins de 8 minutes est égale à 0,7. a) Calculer une valeur approchée à 0,0001 de ߣ = 0,7

De là ݁

ൎ0,1505 b) Calculer la probabilité qu'un client attende entre 15 et 20 minutes ൎ0,055

2) Propriétés

a) Espérance mathématique d'une loi exponentielle

Soit ܺ

> 0 ),alors :

Démonstration :

La fonction ܩ

a pour dérivée ܩ (ݐ)= t݁ d'où = lim

0= lim

Comme on sait que lim

=0 et que lim =0 on a ܧ(ܺ Remarque : E(ܺ) représente la valeur moyenne de la variable aléatoire de ܺ

Exemple :

Si ܺ est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre ߣ sa valeur moyenne soit égale à 20, alors on peut écrire que =20 d'où ߣ b) Probabilité conditionnelle

Démonstration :

Soit ܺ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre ߣ et ܽ deux réels strictement positifs. On cherche la probabilité que ܺ supérieure ou égale à ܽ + ݐ sachant que ܺ est supérieure à ܽ

D'où

D'où le nom de " loi de durée de vie sans vieillissement » donné quelquefois à la loi exponentielle.

Exemple :

La durée de vie d'un ordinateur portable exprimée en années est une variable aléatoire ܺ suivant la loi exponentielle de paramètre ߣ La probabilité que la durée de vie de cet ordinateur portable dépasse 5 ans sachant qu'il fonctionne depuis déjà 2 ans est égale à ( ܺ ൒5 )= ܲ( ܺ ൎ0,687 c) Fonction de répartition Si ࢄ est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre

ࣅ, on définit la fonction ࡲ appelée fonction de répartition de ࢄ de la façon

suivante :

Pour tout

0 si ࢞൑૙

si ࢞൒ 0quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12