Lois de probabilité à densité Loi normale

II) Loi exponentielle 1) Définition Soit λ un réel strictement positif Une variable aléatoire ???? suit une loi exponentielle de paramètre λ lorsque sa densité de probabilité est la fonction ???? la fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [ par : ???? ( ???? ) = λ ????−λ???? Remarque :

Probabilités Loi exponentielle Exercices corrigés

densité de probabilité est définie sur par Remarque importante : Une loi exponentielle de paramètre est également appelée loi de durée de vie sans vieillissement La variable aléatoire continue suit une loi exponentielle de paramètre sur l’intervalle

LOIS DE PROBABILITE A DENSITE - Plus De Bonnes Notes

LOIS DE PROBABILITE A DENSITE Probabilités partie 2 Loi uniforme, loi exponentielle, lois normales Lois de probabilité à densité LO I UN IF O R M E , LO I E X PO N E N T IE LL E , LO IS N O R M A LE S

P3 – LOI EXPONENTIELLE

Mots-clés :loi exponentielle, simulation 1 Objectifs • Calculer à partir de la loi exponentielle • Simuler avec la calculatrice un échantillon de réalisations d’une variable aléatoire de loi exponentielle • Comparer l’histogramme des fréquences et la courbe de la densité de probabilité d’une loi exponentielle 2 Mise en

Variable Aléatoire Continue, Loi à densité

Loi à Densité, Loi Uniforme, Loi Exponentielle Lorsqu’une variable aléatoire X, est continue à valeurs les réels d’un intervalle I de R, sa loi de probabilité, dite continue n’est plus associée à la probabilité de chacune des valeurs En effetP(X = a) = 0 pour tout a 2 I On caractérise la loi de probabilité de X, par la

Variable Aléatoire Continue, Loi à densité

TSSI 2019/2020 Complété Cours Ch12 Loi à Densité, Loi Uniforme, Loi Exponentielle 3 Loi Exponentielle de paramètre > 0, E( ) : • Définition: Une variable aléatoire continue X, suit une loi exponentielle de paramètre , avec > 0, notée E( ) lorsque sa fonction de densité est la fonction f définie par {f(t) = e t si t 2 [0;+1[f(t

Terminale S - Lois de probabilités à densité - Exercices

Déterminer le réel k pour que f soit une densité de probabilité sur l’intervalle [0 ;3] 2 On considère une variable aléatoire X suivant la loi de probabilité définie par la densité f (a) Calculer P(1≤X≤2) (b) Déterminer le réel a de [0 ;3] tel que P(0≤X≤a)=P(a≤X≤3) Exercice 5

Lois de probabilité à densité Loi normale

On contourne cette difﬁculté en associant à la variable X un intervalle de R et en déﬁnissant une densité de probabilité 1 2 Densité de probabilité et espérance mathématique Définition 1 : On appelle densité de probabilité d’une variable aléatoire continue X, toute fonction f continue et positive sur un intervalle I ([a;b

La loi exponentielle ou loi sans mémoire

probabilité que l'appareil fonctionne encore h années supplémentaires sachant qu'il fonctionne à l'instant t, ne dépend pas de t On admettra que la loi exponentielle est la seule loi sans vieillissement Ceci est valable si l'appareil n'est pas sujet à un phénomène d'usure

Fonction de repartition´ et densit´e - POLARIS

Loi exponentielle E( ) La loi exponentielle de parametre` > 0 est la loi de densit´e f(x) = ˆ 0 si x < 0; e x sinon : et de fonction de r´epartition F(x) = ˆ 0 si x < 0; (1 e x) sinon : Notons que la loi exponentielle jouit aussi d’une propriet´ e´ importante pour les applications (propriet´ ´e de

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Lois de probabilité à densité

Loi normale

Table des matières

1 Lois à densité2

1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Densité de probabilité et espérance mathématique. . . . . . . . . . 2

1.3 Loi uniforme : densité homogène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.2 Espérance mathématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.3 Application : méthode de Monte-Carlo. . . . . . . . . . . . 4

1.4 Loi exponentielle : loi sans mémoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.2 Loi sans mémoire ou sans vieillissement. . . . . . . . . . . . 6

1.4.3 Espérance mathématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.4 Un exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.5 Application à la physique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Lien entre le discret et le continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 La loi normale9

2.1 Du discret au continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 La loi normale centrée réduite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 La densité de probabilité de Laplace-Gauss. . . . . . . . . . 9

2.2.2 Loi normale centrée réduite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.3 Calcul de probabilités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.4 Espérance et variance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.5 Probabilité d"intervalle centré en 0. . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Loi normale générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1 Loi normale d"espéranceμet d"écart typeσ. . . . . . . . . 13

2.3.2 Influence de l"écart type. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.3 Approximation normale d"une loi binomiale. . . . . . . . . 15

2.3.4 Théorème Central-Limit (hors programme). . . . . . . . . . 17

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TABLE DES MATIÈRES

1 Lois à densité

1.1 Introduction

Lorsque l"on s"intéresse à la durée d"une communication téléphonique, à la durée

de vie d"un composant électronique ou à la température de l"eau d"un lac, la va- riablealéatoireXassociée au temps ou à la température, peut prendre une infinité de valeurs dans un intervalle donné. On dit alors que cette variableX est continue (qui s"oppose à discrète comme c"est le cas par exemple dans la loi binomiale). On ne peut plus parler de probabilité d"événements car les événements élémen- On contourne cette difficulté en associant à la variable X un intervalle deRet en définissant une densité de probabilité.

1.2 Densité de probabilité et espérance mathématique

Définition 1 :On appelledensité de probabilitéd"une variable aléatoire continue X, toute fonctionfcontinue et positive sur un intervalle I ([a;b],[a;+∞[ ouR) telle que :

P(X?I) =?

(I)f(t)dt=1 Pour tout intervalle J= [α,β]inclus dans I, on a :P(X?J) =?

αf(t)dt

D"autre part la fonctionFdéfinie par :F(x) =P(X?x)est appelée lafonction de répartitionde la variableX

F(x) =?

x af(t)dtou lima→-∞? x af(t)dt

Remarque :

Comme la fonctionfest continue et

positive, la probabilitéP(X?I)cor- respond à l"aire sous la courbeCf.

Elle vaut alors 1 u.a.

La probabilitéP(X?J), avec J=

[α;β], correspond à l"aire du domaine délimité parCf, l"axe des abscisse et les droites d"équationx=αety=β. 1

P(X?J)P(X?I)

1 u.a.

Cf βO Comme la probabilité que X prenneune valeur isolée est nulle,que l"in- tervalle J soit ouvert ou fermé im- porte peu. Ainsi :

P(X?[α,β]) =P(X?[α,β[)

=P(X?]α,β]) =P(X?]α,β[) 1 F(x)C f x O

PAULMILAN2 TERMINALES

1. LOIS À DENSITÉ

L"écriture(X?I)est une notation abusive carXn"est pas un nombre, mais la fonction qui associe une issue à un nombre. Elle prolonge la notation déjà utilisée pour des variables discrètes(X=a) Définition 2 :L"espérance mathématique d"une variable aléatoire continue X, de densitéfsur I, est :

E(X) =?

(I)t f(t)dt

1.3 Loi uniforme : densité homogène

1.3.1 Définition

Définition 3 :Une variable aléatoire X suit une loi uniforme dans l"intervalle I= [a,b], aveca?=b, lorsque la densitéfest constante sur cet intervalle. On en déduit alors la fonctionf: f(t) =1 b-a ConséquencePour tout intervalle J= [α,β]inclus dans I, on a alors :

P(X?J) =β-α

b-a=longueur de Jlongueur de I

La probabilité est donc proportionnelle

à la longueur de l"intervalle considéré.

1 b-a aαβbP(X?J) O

1 u.a.

Exemple :Onchoisitunnombreréelauhasarddansl"intervalle[0;5].Onassocie àXle nombre choisi. Quelle est la probabilité que ce nombre soit supérieur à 4? compris entreeetπ?

P(X>4) =1

5P(e?X?π) =π-e5?0,085

1.3.2 Espérance mathématique

Théorème 1 :SiXsuit une loi uniforme sur un intervalle I= [a;b], aveca?=b, alors son espérance mathématique vaut :

E(X) =a+b

2 Démonstration :D"après la définition de l"espérance, on a :

E(X) =?

b at b-adt=?t22(b-a)? b a =b2-a22(b-a)=(b-a)(b+a)2(b-a)=b+a2

PAULMILAN3 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

Remarque :Dans notre exemple précédent, on trouve : E(X) =2,5 ce qui n"a rien de surprenant!

1.3.3 Application : méthode de Monte-Carlo

Méthode de Monté-Carlo: méthode probabiliste très utilisée pour la résolution approchée de problèmes variés allant de la théorie des nombres à la physique mathématique en passant par la production industrielle. Application: Calcul d"une valeur approchée du nombreπ

Par la méthode du rejet :On admet,

lors du tirage au hasard d"un point dans un carré de côté 1, que la pro- babilité de tirer un point dans un do- portionnelle à l"aire de ce domaine.

Comme il s"agit du carré unité, cette

probabilité est donc égale à l"aire du domaine.1

1Zonede rejet

zone d"acceptation y?⎷ 1-x2 O On tire un grand nombre de points (par exemple 10 000). D"après laloi des grands nombres, la probabilitépd"avoir un point dans la zone d"acceptation vaut : p=nombre de points dans la zone d"acceptation nombre total de points pcorrespond à l"aire du quart du cercle unité soitπ 4

On peut alors écrire l"algorithme suivant :

Variables:N,D,I: entiers

X,Y: réels dans [0; 1]

Entrées et initialisation

Effacer l"écran

LireN

0→D

Traitement

pourIde 1 àNfaire random(0,1)→X random(0,1)→Y siY?⎷

1-X2alors

D+1→D

Tracer le point(X,Y)

fin fin

Sorties: AfficherD, 4×D

On obtient le graphe suivant pour

N=10 000 :

On trouve les résultats suivants :

D=7 893π?3,157 2

La précision est de l"ordre de

1 ⎷N?0,01

PAULMILAN4 TERMINALES

1. LOIS À DENSITÉ

Par laméthode de l"espérance:

On choisit au hasardNvaleurs de

l"abscisseXd"un point M dans [0;1].

On calcule la sommeSdesNvaleurs

prises parf(X) =⎷ 1-X2.

La moyenne desNvaleurs def(X)

est une valeur approchée de la va- leur moyenneμdefdonc de l"aire du quart de cercle.

On trouve alors pourN=10 000 :

π?3,151 5

Variables:N,I: entiers

X,S,préels

Entrées et initialisation

LireN

0→S

Traitement

pourIde 1 àNfaire random(0,1)→X

S+⎷

1-X2→S

fin

S/N→p

Sorties: Afficher 4p

Poura=0,b=1 etf(t) =⎷1-t2

μ=1

b-a? b af(t)dt?μ=? 1

0?1-t2dt=π4?N∑

i=1f(xi)N

1.4 Loi exponentielle : loi sans mémoire

1.4.1 Définition

Définition 4 :Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre réelλ>0 lorsque sa densité est la fonctionfdéfinie sur[0;+∞[par : f(t) =λe-λt

ConséquenceOn peut vérifier que :

la fonction de répartitionFvaut :F(x) =P(X?x) =1-e-λxcar

F(x) =P(X?x) =?

0λe-λtdt=?

-e-λt?x

0=-e-λx+1

fest bien une densité de probabilité, car la fonctionfest continue, positive et : lim x→+∞F(x) =limx→+∞1-e-λx=1

P(X?a) =F(a) =1-e-λa

Par l"événement contraire, on a :P(X>a) =1-P(X?a) =1-F(a) =e-λa Si X se trouve dans[a,b], on a :P(a?X?b) =F(b)-F(a) =e-λa-e-λb

P(X?a)

P(a?X?b)P(X>b)

O ab

PAULMILAN5 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

1.4.2 Loi sans mémoire ou sans vieillissement

Théorème 2 :La loi exponentielle est une loisans mémoirec"est à dire que : ?t>0 eth>0 on aPX?t(X?t+h) =P(X?h) ROCDémonstration :On applique la formule des probabilités conditionnelles : P

X?t(X?t+h) =P(X?tet X?t+h)

P(X?t)=P(X?t+h)P(X?t)

e-λ(t+h) e-λt=e-λt×e-λhe-λt =e-λh=P(X?h) Remarque :On dit que la durée de vie d"un appareil est sans mémoire ou sans vieillissement lorsque la probabilité que l"appareil fonctionne encorehannées supplémentaires sachant qu"il fonctionne à l"instantt,ne dépend pas det. On admettra que la loi exponentielle est la seule loi sans vieillissement Ceci est valable si l"appareil n"est pas sujet à un phénomène d"usure. On retrouve cette propriété en ce qui concerne la durée de vie d"un noyau radioactif.

1.4.3 Espérance mathématique

Théorème 3 :Si X suit une loi exponentielle de paramètreλalors son espé- rance mathématique vaut :E(X) =1 ROCDémonstration :D"après la définition, en posantg(t) =tf(t) =λte-λt, on a :

E(X) =limx→+∞?

0g(t)dt

Il faut trouver une primitive de la fonctiong, pour cela on dérive la fonctiong g ?(t) =λe-λt-λ2te-λt=λe-λt-λg(t)?g(t) =e-λt-1

λg?(t)

On a alors :

0g(t)dt=?

x 0? e -λt-1

λg?(t)?

dt=? -1λe-λt-1λg(t)? x 0 1 λ?-e-λx-g(x) +1+g(0)?=1λ?-e-λx-λxe-λx+1? On pose :Y=-λx, d"où six→+∞alorsY→ -∞

On a alors : lim

x→+∞e-λx=limY→-∞eY=0 et limx→+∞λxe-λx=limY→-∞-YeY=0

Par somme et produit, on a alors : lim

x→+∞? x

0g(t)dt=1

PAULMILAN6 TERMINALES

1. LOIS À DENSITÉ

1.4.4 Un exemple

La durée de vie, en année, d"un composant électronique est une variable aléatoire notéeTqui suit une loi sans vieillissement de paramètreλ. Une étude statistiquequotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

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Lois de probabilité à densité

Loi normale

Table des matières

1 Lois à densité2

1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Densité de probabilité et espérance mathématique. . . . . . . . . . 2

1.3 Loi uniforme : densité homogène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.2 Espérance mathématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.3 Application : méthode de Monte-Carlo. . . . . . . . . . . . 4

1.4 Loi exponentielle : loi sans mémoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.2 Loi sans mémoire ou sans vieillissement. . . . . . . . . . . . 6

1.4.3 Espérance mathématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.4 Un exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.5 Application à la physique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Lien entre le discret et le continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 La loi normale9

2.1 Du discret au continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 La loi normale centrée réduite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 La densité de probabilité de Laplace-Gauss. . . . . . . . . . 9

2.2.2 Loi normale centrée réduite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.3 Calcul de probabilités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.4 Espérance et variance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.5 Probabilité d"intervalle centré en 0. . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Loi normale générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1 Loi normale d"espéranceμet d"écart typeσ. . . . . . . . . 13

2.3.2 Influence de l"écart type. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.3 Approximation normale d"une loi binomiale. . . . . . . . . 15

2.3.4 Théorème Central-Limit (hors programme). . . . . . . . . . 17

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TABLE DES MATIÈRES

1 Lois à densité

1.1 Introduction

1.2 Densité de probabilité et espérance mathématique

P(X?I) =?

αf(t)dt

F(x) =?

Remarque :

Comme la fonctionfest continue et

Elle vaut alors 1 u.a.

La probabilitéP(X?J), avec J=

P(X?J)P(X?I)

1 u.a.

P(X?[α,β]) =P(X?[α,β[)

PAULMILAN2 TERMINALES

1. LOIS À DENSITÉ

E(X) =?

1.3 Loi uniforme : densité homogène

1.3.1 Définition

P(X?J) =β-α

La probabilité est donc proportionnelle

à la longueur de l"intervalle considéré.

1 u.a.

P(X>4) =1

5P(e?X?π) =π-e5?0,085

1.3.2 Espérance mathématique

E(X) =a+b

E(X) =?

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TABLE DES MATIÈRES

1.3.3 Application : méthode de Monte-Carlo

Par la méthode du rejet :On admet,

Comme il s"agit du carré unité, cette

1Zonede rejet

On peut alors écrire l"algorithme suivant :

Variables:N,D,I: entiers

X,Y: réels dans [0; 1]

Entrées et initialisation

Effacer l"écran

0→D

Traitement

1-X2alors

D+1→D

Tracer le point(X,Y)

Sorties: AfficherD, 4×D

On obtient le graphe suivant pour

N=10 000 :

P(X?I) =?

Comme la fonctionfest continue et

La probabilitéP(X?J), avec J=

Par la méthode du rejet :On admet,

Par laméthode de l"espérance:

P(X?a) =F(a) =1-e-λa