Daniel ALIBERT Etude globale des fonctions : Fonctions

Dérivabilité

Exercice 342 Déterminer l’ensemble des fonctions f dérivables sur R vérifiant, pour toutx P R, xf1(x)´2f(x) = x4 Corrigé 342 Analyse Soit f une telle fonction L’équation différentielle est en particulier vérifiée surR‹ + On a alors xy1 ´2y = x4 ðñ y1 ´ 2 x y = x3

DÉRIVATION ET ÉTUDE DE FONCTIONS CORRECTION DES EXERCICES

Exercice 3 : Déterminons dans chacun des cas, l’ensemble de dérivabilité de la fonction, puis calculons sa dérivée 1 f :x → 5x+3 x−2 Le dénominateur de la fonction f s’annule pour x =2et le numéra-teur est déﬁnie sur R donc la fonction f est déﬁnie sur l’intervalle]−∞,2[∪]2,+∞[

Terminale S - Continuité et dérivabilité - Exercices

Exercice 10 Exercice 11 Soit f la fonction définie par : f (x)=√x2−x3 1 Déterminer l’ensemble de définition Df de f 2 Démontrer que f est continue sur Df 3 Etudier la dérivabilité de f en 0

Dérivation - Lecture graphique - Corrigé

Dérivation - Lecture graphique - Corrigé Exercice 1 Soit une fonction définie sur et représentée par la courbe ci-contre a) Déterminer les nombres dérivés et est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point est le coefficient directeur de la tangente au point

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires

Limites, continuité dérivabilité Pascal Lainé 2 Exercice 7 : Calculer si elles existent 1 lim →+∞ ln(1+ 2 ) T 2 lim →0

Daniel ALIBERT Etude globale des fonctions : Fonctions

Daniel Alibert – Cours et Exercices corrigés – Volum e 5 1 Daniel ALIBERT Etude globale des fonctions : Fonctions continues, dérivables

Série dexercices Math corrigés

1 Angles orientés 3ème Maths 09 – 10 www espacemaths com Exercice n°1 : Sur un cercle trigonométrique C, on considère deux points A et B tels que : ( ) [ ] 5,2 6 OIOA p

Corrigé - DS n°0

Corrigé - DS n°0 Exercice 1 Pour tout n P N, posons Hn: « un = 2 3n 2n 1 3n 2n 1 On a 2 30 2 1 30 2 1 2 1 2 1 1 2 = 4 1 2 1 = 3; et u0 = 3, donc H0 est vraie

Mathématiques Cours, exercices et problèmes Terminale S

Daniel ALIBERT

Etude globale des fonctions : Fonctions continues, dérivables. Fonctions usuelles. Convexité.

Objectifs :

Savoir utiliser les propriétés des fonctions continues sur un intervalle de R. Savoir utiliser les propriétés des fonctions dérivables sur un intervalle de R. Connaître les propriétés les plus importantes des fonctions usuelles (exponentielle, logarithme, fonctions trigonométriques circulaires ou hyperboliques). Reconnaître une fonction convexe et savoir utiliser ses propriétés. Savoir utiliser un logiciel de calcul (Maxima) pour atteindre les objectifs précédents. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 5 2

Organisation, mode d"emploi

Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu, dans son format comme dans son contenu, en vue d"un usage pratique simple. Il s"agit d"un livre d"exercices corrigés, avec rappels de cours. Il ne se substitue en aucune façon à un cours de mathématiques complet, il doit au contraire l"accompagner en fournissant des exemples illustratifs, et des exercices pour aider à l"assimilation du cours. Ce livre a été écrit pour des étudiants de première et seconde années des Licences de sciences, dans les parcours où les mathématiques tiennent une place importante. Il est le fruit de nombreuses années d"enseignement auprès de ces étudiants, et de l"observation des difficultés qu"ils rencontrent dans l"abord des mathématiques au niveau du premier cycle des universités : - difficulté à valoriser les nombreuses connaissances mathématiques dont ils disposent lorsqu"ils quittent le lycée, - difficulté pour comprendre un énoncé, une définition, dès lors qu"ils mettent en jeu des objets abstraits, alors que c"est la nature même des mathématiques de le faire, - difficulté de conception et de rédaction de raisonnements même simples, - manque de méthodes de base de résolution des problèmes. L"ambition de cet ouvrage est de contribuer à la résolution de ces difficultés aux côtés des enseignants.

Ce livre comporte quatre parties.

Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 5 3 La première, intitulée "A Savoir", rassemble les définitions et résultats qui sont utilisés dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni démonstration, ni exemple. La seconde est intitulée "Pour Voir" : son rôle est de présenter des exemples de toutes les définitions, et de tous les résultats de la partie précédente, en ne faisant référence qu"aux connaissances qu"un étudiant abordant le chapitre considéré a nécessairement déjà rencontré (souvent des objets et résultats abordés avant le baccalauréat). La moitié environ de ces exemples sont développés complètement, pour éclairer la définition ou l"énoncé correspondant. L"autre moitié est formée d"énoncés intitulés "exemple à traiter" : il s"agit de questions permettant au lecteur de réfléchir de manière active à d"autres exemples très proches des précédents. Ils sont suivis immédiatement d"explications détaillées. La troisième partie est intitulée "Pour Comprendre et Utiliser" : des énoncés d"exercices y sont rassemblés, en référence à des objectifs. Ces énoncés comportent des renvois de trois sortes : ☺) pour obtenir des indications pour résoudre la question, ) lorsqu"une méthode plus générale est décrite, ) renvoie à une entrée du lexique. Tous les exercices sont corrigés de manière très détaillée dans la partie

3 - 2. Au cours de la rédaction, on a souvent proposé au lecteur qui

souhaiterait approfondir, ou élargir, sa réflexion, des questions complémentaires (QC), également corrigées de façon détaillée. La quatrième partie, "Pour Chercher", rassemble les indications, les méthodes, et le lexique. Certains livres d"exercices comportent un grand nombre d"exercices assez voisins, privilégiant un aspect "entraînement" dans le travail de l"étudiant Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 5 4 en mathématiques. Ce n"est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à traiter, les exercices et les questions complémentaires proposés abordent des aspects variés d"une question du niveau du L1 L2 de sciences pour l"éclairer de diverses manières et ainsi aider à sa compréhension. Le lecteur est invité, à propos de chacun d"entre eux, à s"interroger sur ce qu"il a de général (on l"y aide par quelques commentaires) Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 5 5

Table des matières

1 A Savoir ........................................................................... 6

1-1 Fonctions continues ......................................... 6

1-2 Fonctions dérivables........................................ 9

1-3 Fonctions usuelles ......................................... 11

1-4 Fonctions convexes ....................................... 21

2 Pour Voir ....................................................................... 23

2-1 Fonctions continues ....................................... 23

2-2 Fonctions dérivables...................................... 33

2-3 Fonctions usuelles ......................................... 40

2-4 Fonctions convexes ....................................... 50

3 Pour Comprendre et Utiliser ......................................... 56

3-1 Énoncés des exercices ................................... 56

3-2 Corrigés des exercices ................................... 68

3-3 Corrigés des questions complémentaires .... 113

4 Pour Chercher .............................................................. 127

4-1 Indications pour les exercices ..................... 127

4-2 Méthodes ..................................................... 132

4-3 Lexique ........................................................ 135

Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 5 6

1 A Savoir

Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales définitions et les principaux énoncés utilisés. Vous devrez vous référer à votre cours pour les démonstrations. Vous trouverez des exemples dans la partie 2*Pour Voir.

1-1 Fonctions continues sur un

intervalle de R On considère dans ce paragraphe une fonction f : I --. R, I étant un intervalle de R, soit ]a , b[, [a , b], ... a ou b pouvant être, lorsque cela a un sens, infini.

Définition (rappel)

On dit que f est continue en c Î I, si f a une limite en c dans I.

Cette limite est alors f(c).

On dit que f est continue sur I si elle est continue en tout point de I.

Théorème

Soit f : I → R une application d"un intervalle I dans R. Si f est monotone, et f(I) est un intervalle de R, alors f est continue sur I.

Théorème

Soit f : I →. R une application d"un intervalle I dans R. Si f est continue, alors J = f(I) est un intervalle de R. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 5 7

Corollaire

Valeurs intermédiaires.

Soit f : I

→ R une application continue d"un intervalle dans R. Il existe alors un élément de [a , b], soit c, tel que f(c) = z.

Variantes :

Dans la situation ci-dessus, si f ne s"annule pas sur [a , b], alors elle a un signe fixe sur cet intervalle. que f(c) = 0.

Théorème

Soit f : I → R une application continue d"un intervalle I dans R. Si f est injective, alors f est strictement monotone.

Corollaire

Soient I et J des intervalles de R, et f : I → J une application continue et bijective.

Alors l"application réciproque de f :

f-1 : J → I est continue. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 5 8

Théorème

Soit I = [a , b] un intervalle réel, fermé et borné, et f : I → R une application continue. Alors f a un minimum et un maximum définis par : min(f) = min({f(x) | x Î I}), max(f) = max({f(x) | x Î I}). De plus l"image de I par f est un intervalle fermé et borné : f(I) = [min(f) , max(f)].

Définition

Soit f une application d"une partie de R dans R.

On dit que f est lipschitzienne s"il existe un réel positif k tel que pour tout x et tout x´ de l"ensemble de définition de f l"inégalité suivante est vérifiée Si l"on veut préciser k, on dira que la fonction est k-lipschitzienne. Les fonctions lipschitziennes sont continues. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 5 9

1-2 Fonctions dérivables

Théorème

(Théorème de Rolle)

Soit f : [a , b]

→ R une fonction continue, dérivable sur ]a , b[.

On suppose que f(a) et f(b) sont égaux.

Alors il existe un élément c de ]a , b[, tel que f´(c) = 0.

Théorème

(Egalité des accroissements finis)

Soit f : [a , b]

→ R une fonction continue, dérivable sur ]a , b[. Il existe un élément c de ]a , b[, tel que : f(b) - f(a) = f´(c) (b - a).

Corollaire

Soit f : [a , b] → R une fonction continue, dérivable sur ]a , b[. S"il existe un réel k positif tel que pour tout x de ]a , b[ : alors f est lipschitzienne sur [a , b].

Corollaire

Soit f : [a , b] → R une fonction dérivable. On suppose de plus que f´ est également continue sur [a , b].

Alors f est lipschitzienne sur [a , b].

(rappel) Une telle fonction (dérivable à dérivée continue) est dite de classe C 1. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 5 10

Corollaire

Soit I = [a , b] un intervalle de R et f : I → R une fonction continue, dérivable sur ]a , b[.

1) Si f´(x) ≥ 0 pour tout x de ]a , b[, alors f est croissante sur I.

3) Si f´(x) = 0 pour tout x de ]a , b[, alors f est constante sur I.

Proposition

Formule de Taylor-Lagrange.

Soit f : [a , b]

→ R une fonction de classe Cn. On suppose que f admet une dérivée d"ordre n + 1 sur l"intervalle ]a , b[. Alors il existe un élément c de ]a , b[ tel que : f(b)=f(a)+(b-a)¢ f (a)+¼+(b-a) n n!f(n)(a)+(b-a) n+1 (n+1)!f(n+1)(c).

Variante.

On peut remplacer la conclusion par la suivante : Alors il existe un réel q, appartenant à l"intervalle ]0 , 1[ tel que : f(b)=f(a)+(b-a)¢ f (a)+¼+(b-a) n n!f(n)(a)+(b-a) n+1 (n+1)!f(n+1)(a+q(b-a)) Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 5 11

1-3 Fonctions usuelles

On rappelle d"abord les principales propriétés des fonctions, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus, tangente, à l"aide des tableaux de variations et des graphes de ces fonctions, puis on en introduit de nouvelles : fonctions hyperboliques, fonctions réciproques ... Fonction exponentielle : exp(x) ou ex.

Le tableau des variations est :

x - ex 0 +∞

Le quotient ex

xn tend vers l"infini quand x tend vers +∞, quelle que soit la valeur de l"exposant n : x n est négligeable devant ex. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 5 12 Fonction logarithme : log(x) ou ln(x).

Le tableau des variations est :

x 0 +

log(x) -∞ +∞

Le quotient log(x)

xa tend vers 0 quand x tend vers +∞ quel que soit l"exposant a strictement positif : log(x) est négligeable devant x a. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 5 13 Fonctions hyperboliques : sh(x), ch(x), th(x). * sinus hyperbolique : sh(x)=e x-e-x 2.

Cette fonction est impaire.

Le tableau des variations est :

x -

sh(x) -∞ +∞

* cosinus hyperbolique : ch(x)=e x+e-x 2.

Cette fonction est paire.

Le tableau des variations est :

x -

∞ 0 +∞

ch(x) +∞ 1 +∞ Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 5 14 Les fonctions sh, ch, sont dérivables sur R, et : sh

´(x) = ch(x),

´(x) = sh(x).

On a des relations algébriques entre ces deux fonctions, analogues à celles qui existent entre les fonctions trigonométriques (mais pas exactement les mêmes). Par exemple, un calcul direct permet de vérifier : ch

2(x) - sh2(x) = 1,

sh(x + x´) = sh(x) ch(x´) + sh(x´) ch(x). tangente hyperbolique : th(x)=sh(x)ch(x)=e x-e-x ex+e-x=e 2x-1 e 2x+1.

Cette fonction est impaire.

Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 5 15

Le tableau des variations est :

x -

∞ 0 +∞

th(x) -1 0 1 sinus et arcsinus : La fonction sinus est monotone, et continue, sur l"intervalle -p

2 , p

2 donc admet une fonction réciproque continue, arcsinus : arcsin : [- 1 , 1] → -p

2 , p

2 Soit t un réel compris entre -1 et 1, le réel arcsin(t) est "l"unique arc compris entre -p

2 et p

2 dont le sinus est égal à t".

La fonction arcsin est monotone croissante, comme sin. La fonction sin est dérivable, sa dérivée est différente de 0 pour x différent de -p

2 et p

2, donc la bijection réciproque :

Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 5 16 arcsin : [- 1 , 1] → -p

2 , p

2 est continue, et dérivable sauf en -1 et +1. La dérivée est : arcsi¢ n (x)=1 1-x2 Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 5 17 cosinus et arccosinus. On définit de la même façon une fonction réciproque à la fonction cosinus : arccos : [- 1 , 1] → [0 , p].

Cette fonction est décroissante et continue.

Sa dérivée, pour x

≠ 1, x ≠ -1, est : arcco¢ s (x)=-1 1-x2. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 5 18 tangente et arctangente. La fonction arctan (ou arctg) est définie sur R:quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

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Daniel ALIBERT

Objectifs :

Organisation, mode d"emploi

Ce livre comporte quatre parties.

3 - 2. Au cours de la rédaction, on a souvent proposé au lecteur qui

Table des matières

1 A Savoir ........................................................................... 6

1-1 Fonctions continues ......................................... 6

1-2 Fonctions dérivables........................................ 9

1-3 Fonctions usuelles ......................................... 11

1-4 Fonctions convexes ....................................... 21

2 Pour Voir ....................................................................... 23

2-1 Fonctions continues ....................................... 23

2-2 Fonctions dérivables...................................... 33

2-3 Fonctions usuelles ......................................... 40

2-4 Fonctions convexes ....................................... 50

3 Pour Comprendre et Utiliser ......................................... 56

3-1 Énoncés des exercices ................................... 56

3-2 Corrigés des exercices ................................... 68

3-3 Corrigés des questions complémentaires .... 113

4 Pour Chercher .............................................................. 127

4-1 Indications pour les exercices ..................... 127

4-2 Méthodes ..................................................... 132

4-3 Lexique ........................................................ 135

1 A Savoir

1-1 Fonctions continues sur un

Définition (rappel)

Cette limite est alors f(c).

Théorème

Théorème

Corollaire

Valeurs intermédiaires.

Soit f : I

Variantes :

Théorème

Corollaire

Alors l"application réciproque de f :

Théorème

Définition

Soit f une application d"une partie de R dans R.

1-2 Fonctions dérivables

Théorème

Soit f : [a , b]

On suppose que f(a) et f(b) sont égaux.

Théorème

Soit f : [a , b]

Corollaire

Corollaire

Alors f est lipschitzienne sur [a , b].

Corollaire

1) Si f´(x) ≥ 0 pour tout x de ]a , b[, alors f est croissante sur I.

3) Si f´(x) = 0 pour tout x de ]a , b[, alors f est constante sur I.

Proposition

Formule de Taylor-Lagrange.

Soit f : [a , b]

Variante.

1-3 Fonctions usuelles

Le tableau des variations est :

Le quotient ex

Le tableau des variations est :

Le quotient log(x)

Cette fonction est impaire.

Le tableau des variations est :

Cette fonction est paire.

Le tableau des variations est :

´(x) = ch(x),

´(x) = sh(x).

2(x) - sh2(x) = 1,

Cette fonction est impaire.

Le tableau des variations est :

2 , p

2 , p

2 et p

2 dont le sinus est égal à t".

2 et p

2, donc la bijection réciproque :

2 , p

Cette fonction est décroissante et continue.

Sa dérivée, pour x