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Dérivabilité

Attention : La réciproque est fausse La fonction Valeur Absolue est continue en 0, Non dérivable en 0 (b) Dérivabilité sur un intervalle : • Définition: Une fonction f est dérivable sur un intervalle I, lorsqu’elle est dérivable en tout x 2 I Dans ce cas, on définit, la fonction dérivée def sur I, on note f′: x 7f′(x)

c Christophe Bertault - MPSI Dérivabilité

Théorème (La dérivabilité implique la continuité) Soient f : I −→ R une application et a ∈ I Si f est dérivable en a, alors f est continue en a $ Attention La réciproque est totalement fausse Pensez à la fonction valeur absolue en 0 C’est contre-intuitif,

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VALEUR ABSOLUE D’UN RÉEL 6 Ainsi, la valeur absolue est un exemple (parmi les plus simples) de fonction continue mais non dérivable Remarque On sait par ailleurs que toute fonction dérivable est continue On vient donc de voir que la réciproque est fausse – Correction des exercices – Exercice 1

Continuité et dérivabilité d’une fonction

La fonction valeur absolue x 7→ x est continue mais pas dérivable en 0 1 6 Continuité et équation Théorème 3 : Théorème des valeurs intermédiaires Soit une fonction continue sur un intervalle I =[a,b] Pour tout réel k compris entre f(a)et f(b), il existe un réel c ∈ I tel que f(c)=k Remarque : Ce théorème est admis

1 Nombre dérivé et tangente à une courbe

3x −6 Déterminer l’ensemble de dérivabilité de f, puis sa fonction dérivée 3 4 Fonction valeur absolue x→ x Déﬁnition 7 La valeur absolue d’un nombre réel x est égale à x si x est positif, à −x si x est négatif La valeur absolue du nombre x, notée x est : x = ˆ x si x >0 −x si x 60 −4 −3 −2 −1 0 1 2

Limites, Continuité, Dérivabilité - AlloSchool

• Un cas de non dérivabilité se rencontre lorsqu’en un point la dérivée à droite est différente de la dérivée à gauche Sur la courbe, on observe alors un point angu-leux C’est le cas par exemple de la fonc-tion valeur absolue en 0 Le nombre dérivé à droite vaut 1 et à gauche −1 1 2 3 −3 −2 −1 O 1 2 3

Nombre dérivé Fonction dérivée Applications

On étudie la dérivabilité de cette fonction en 0 Nous avons, pour tout h6= 0 : j0 + hjj 0j jhj = jhj h: Or la quantité jhj h n’a pas de limite en 0 En effet : lim h0+ jhj h = lim h0+ h h = 1 et lim h0 jhj h = lim h0 h h = 1: L’accroissement moyen de la fonction fn’a pas de limite en 0 Par conséquent la fonction valeur absolue

LE CÔNE ET LA SPHÈRE

Chapitre 3 – Dérivabilité - Continuité Dérivabilité – Définitions Soit f une fontion d’ensemle de définition D f et a un réel de D f f est dérivable en a : si lim x→a f(x)=f(a)ou si lim x→0 f(a+h)−f(a) h est finie τ(h)= f(a+h)−f(a) h est le taux d’aroissement de f en a et est noté f’(a), nombre dérivé de la

AN 1 Inégalités, fonctions, calcul différentiel et intégral

1 2 Valeur absolue La valeur absolue est l’outil au fondement des notions de convergence et de limite Déﬁnition 1 6 La valeur absolue Pour tout réel x, on note jxj˘ (x si x ˚0 ¡x si x ˙0 La valeur absolue permet de déﬁnir la distance jx ¡yj entre deux nombres réels x et y Cette distance permet des interprétations géo-

Programme du 12 octobre au 16 octobre

au choix du colleur (on demande la preuve de la dérivabilité et le calcul de l’expression de la fonction dérivée) Programme du 12 octobre au 16 octobre Généralités sur les fonctions Parties de R : inégalités, intervalles de réels, valeur absolue d’un réel, parties bornées de R

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