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LES SPIRALES - numerisationiremuniv-mrsfr

elle est aussi appelée « la spirale de Théodo-re » Il se pourrait ainsi que cette spirale, tout en étant une découverte récente, soit la plus ancienne des spirales 2 2 Construction de la spirale de Théodore La spirale de Théodore est une spirale dis-crète Pour la tracer, nous construisons un tri-angle rectangle et isocèle (OA 1A

Corrigé de l’exercice 1 - F2School

est une spirale logarithmique Corrigé de l’exercice 2 Pour tracer le portrait de phase, on calcule d’abord le lagrangien, ensuite on détermine le moment conjugué, un seul degré de liberté puisque le problème est à une dimension, et enfin on calcule le hamiltonien en fonction de la coordonnée généralisée, x, et de son moment

CliffordÊAÊPickover LeÊ M 250 eauÊLivre desÊ ths

1638 Spirale logarithmique 140 1963 Spirale d’Ulam 424 1982 Tracer un triangle sur un ballon 476

Visualisations sur lordinateur

Tracer la courbe > restart:with(plots): Calculer la longueur de l’arc de la spirale logarithmique r = exp(-t) entre les points de paramètre 0 et 1 Calculer

STABILITE DES OUVRAGES EN TERRE, DEVELOPPEMENT DUNE METHODE

la surface en forme de spirale logarithmique fournissent des résultats nettement plus pessimistes Egalement, les exemples traités de remblais de Narbonne et de Lanester (Raulin et al , 1973) montrent que l'hypothèse de la rupture circulaire peut conduire à une surévaluation non négligeable du facteur de sécurité

fi - Dunod

1636 Spirale de Fermat 138 1637 Dernier théorème de Fermat 140 1637 La Géométrie de Descartes 142 1637 Cardioïde 144 1638 Spirale logarithmique 146 1639 Géométrie projective 148 1641 Trompette de Torricelli 150 1654 Triangle de Pascal 152 1657 Longueur de la parabole semi-cubique de Neile 154 ~ 1665 Découverte du calcul infinitésimal 156

La Géométrie Sacrée

spirale Cette forme en spirale est responsable de la puissance de reproduction de l'ADN La spirale qui est un type spécial du groupe des spirales régulières, est le résultat de proportions géométriques fixes, ainsi que nous allons le voir plus tard avec beaucoup plus de détails Ces proportions

Lecture au sujet du : « Nombre dOr - FreeHostia

On peut représenter cette spirale (appelée la spirale d’or) en la construisant à partir du rectangle d’Or: si longueur a et largeur b, on dessine un carré de côté b; en prenant le milieu de la base comme centre, on trace un cercle passant par les sommets opposés à la base (ci-dessous fig 1)

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LES SPIRALES

André STOLL

Irem de Strasbourg

REPERES - IREM . N° 39 - avril 2000

73

1.Introduction

Les spirales ? Elles sont présentes partout.

Dans le monde animal ou végétal, admirez la

forme superbe d'un nautile ou d'une coquille d'escargot. Admirez également la fleur de la marguerite. Celle-ci est composée d'une cen- taine de fleurons élémentaires jaunes, disposés en son coeur selon une double gerbe de spirales droites ou gauches. Vous en trouverez égale- ment dans les tableaux de Léonard de Vinci, de Dürer et autres artistes peintres, en archi- tecture, en ferronnerie, en mécanique... Sur une pellicule photo, un banal escalier hélicoïdal devient une spirale. En astronomie, nul ne peut ignorer les galaxies en forme de spirale.

Cette figure est présente dans toutes

les cultures. Elle est chargée de signification symbolique. C'est un motif ouvert et opti- miste. Elle représente les rythmes répétés de la vie, le caractère cyclique de l'évolu- tion. Ce texte est un résumé de la conférence donnée le 28 mars 1998 à la régionale Alsace de l"APMEP. " Quelle spirale, que l"être de l"homme. Dans cette spirale, que de dynamismes qui s"inver- sent. On ne sait plus tout de suite si l"on court au centre ou si l"on s"en évade. »

BACHELARD, Poétique de l"espace.

LÈonard de Vinci : l'Annonciation

REPERES - IREM . N° 39 - avril 2000

LES SPIRALES

Paradoxalement pourtant, dans la langue

française, on ne parle d'elles que pour évoquer un échec, une crise... la spirale du chômage, la spirale de la violence...

Paradoxalement encore, si ces courbes

sont si présentes dans notre environnement, elles sont presque complètement oubliées dans l'enseignement des mathématiques.

Pourquoi ? Difficile de répondre de manière

précise à cette question. Certains disent qu'elles sont trop difficiles à tracer. C'est évi- demment une fausse raison. D'ailleurs à l'ère des calculatrices graphiques et autres tra- ceurs de courbes cette raison ne peut pas expliquer leur absence.

Dans l'histoire des mathématiques, ces

figures sont intervenues comme solutions de problèmes fondamentaux et extrêmement variés. Et très souvent, elles apparaissent là où on ne les attendait pas !Au cours de l'article ci-dessous, je sou- haiterais d'une part présenter quelques spi- rales en les remettant dans leur contexte his- torique et d'autre part, montrer ce que l'étude de ces courbes peut apporter à un enseignant de mathématiques. et, encore de nos jours, les spéculations conti- nuent. Une réponse, pleine d'imagination, a été don- née, il y a environ 70 ans par un mathéma- ticien allemand, J.H. Anderhub. Celui-ci ima- gina que Théodore construisit , , à l'aide d'une suite de triangles rectangles dont l'un des côtés de l'angle droit mesure une unité et l'autre côté de l'angle droit est l'hypo- ténuse du triangle rectangle précédent, le premier triangle étant rectangle et isocèle (voir plus loin, figure 1.) ⎷5 ⎷3 ⎷2

2.1. De l"incommensurabilité de la diagonale

du carré à la spirale de Théodore.

Dans l'ouvrage de Platonqui porte son nom,

Théétèteaffirme que son maître, Théodore, a

étudié l'irrationalité des nombres ,

,,...jusqu'à , et qu'il a construit ces nombres devant lui (voir encadré de la page suivante). Comment ? Pourquoi Théodore s'est-il arrêté à ? Nous ignorons les réponses à ces questions. Depuis plus de 2 millénaires, les mathématiciens et les historiens se posent ces questions ⎷17 ⎷17 ⎷5 ⎷3 ⎷2

2. Die "Quadratwurzelschnecke»

1 ou spirale de Théodore de Cyrène.

1 Die "Quadratwurzelschnecke": l"escargot de la racine

carrée 74

REPERES - IREM . N° 39 - avril 2000

75

LES SPIRALES

Il est aisé de démontrer à l'aide du théo- rème de Pythagore que les hypoténuses des triangles ainsi construits mesurent , ,,... J.H. Anderhub observa que est l'hypoténuse du dernier triangle rectangle avant que la figure ne se superpose à elle-même.

En poursuivant la construction, nous obtenons

une spirale que J.H. Anderhub dénomma "die Quadratwurzelschnecke » c'est-à-dire "l'escargot de la racine-carrée » pour rappe- ler que l'hypoténuse du n-ième triangle est . En l'honneur de Théodore de Cyrène, elle est aussi appelée " la spirale de Théodo- re ». Il se pourrait ainsi que cette spirale, tout en étant une découverte récente, soit la plus ancienne des spirales.

2.2.Construction de la spirale

de Théodore.

La spirale de Théodore est une spirale dis-

crète. Pour la tracer, nous construisons un tri- angle rectangle et isocèle (OA 1 A 2 ) puis, par récur- rence, les points A 3 , A 4 , A 5 ,... tels que : - les angles sont droits : = = = ... = 1 droit, - les côtés [A n A n+1 ] ont tous même longueur : OA 1 = A 1quotesdbs_dbs2.pdfusesText_4