Corrigé de l’exercice 1

elle est aussi appelée « la spirale de Théodo-re » Il se pourrait ainsi que cette spirale, tout en étant une découverte récente, soit la plus ancienne des spirales 2 2 Construction de la spirale de Théodore La spirale de Théodore est une spirale dis-crète Pour la tracer, nous construisons un tri-angle rectangle et isocèle (OA 1A

Corrigé de l’exercice 1 - F2School

est une spirale logarithmique Corrigé de l’exercice 2 Pour tracer le portrait de phase, on calcule d’abord le lagrangien, ensuite on détermine le moment conjugué, un seul degré de liberté puisque le problème est à une dimension, et enﬁn on calcule le hamiltonien en fonction de la coordonnée généralisée, x, et de son moment

CliffordÊAÊPickover LeÊ M 250 eauÊLivre desÊ ths

1638 Spirale logarithmique 140 1963 Spirale d’Ulam 424 1982 Tracer un triangle sur un ballon 476

Visualisations sur lordinateur

Tracer la courbe > restart:with(plots): Calculer la longueur de l’arc de la spirale logarithmique r = exp(-t) entre les points de paramètre 0 et 1 Calculer

STABILITE DES OUVRAGES EN TERRE, DEVELOPPEMENT DUNE METHODE

la surface en forme de spirale logarithmique fournissent des résultats nettement plus pessimistes Egalement, les exemples traités de remblais de Narbonne et de Lanester (Raulin et al , 1973) montrent que l'hypothèse de la rupture circulaire peut conduire à une surévaluation non négligeable du facteur de sécurité

fi - Dunod

1636 Spirale de Fermat 138 1637 Dernier théorème de Fermat 140 1637 La Géométrie de Descartes 142 1637 Cardioïde 144 1638 Spirale logarithmique 146 1639 Géométrie projective 148 1641 Trompette de Torricelli 150 1654 Triangle de Pascal 152 1657 Longueur de la parabole semi-cubique de Neile 154 ~ 1665 Découverte du calcul infinitésimal 156

La Géométrie Sacrée

spirale Cette forme en spirale est responsable de la puissance de reproduction de l'ADN La spirale qui est un type spécial du groupe des spirales régulières, est le résultat de proportions géométriques fixes, ainsi que nous allons le voir plus tard avec beaucoup plus de détails Ces proportions

Lecture au sujet du : « Nombre dOr - FreeHostia

On peut représenter cette spirale (appelée la spirale d’or) en la construisant à partir du rectangle d’Or: si longueur a et largeur b, on dessine un carré de côté b; en prenant le milieu de la base comme centre, on trace un cercle passant par les sommets opposés à la base (ci-dessous fig 1)

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Université Cadi AyyadAnnée Universitaire 2013/2014

Faculté des Sciences

Semlalia-Marrakech

Département de Physique

TD de Mécanique Analytique

Corrigé de la série N° 2

Parcours Physique Moderne : Portrait de phase. Formalisme de Hamilton.

Corrigé de l"exercice 1

Une particule de masse?évolue à une dimension?. Elle est soumise à la force

F(?) =-?? - γ??

??? ? >0?γ >0? La force dépend d"une seule variable?. Le problème est à une seule dimension.

1. La force se compose de deux termes : le terme-??est la force de rappel ou élastique,

elle est conservative. Le deuxième terme est-??=-??et il correspond à la force de frottement visqueux, qui est une force dissipative.

2. Pour appliquer le PFD, calculons l"accélération. Soit?(O????) un référentiel galiléen.

Comme le problème est à une dimension alors

V= ???et?γ= ¨????la force est?F=-(?? - γ?)?

Alors le PFD donne

??γ=?F=? ?¨?=-?? - γ? comme?=??et?=?¨?=-?? - γ?=-?? - γ? ?, on peut écrire 01 ce qui implique que A=? 01

3. Chercher les directions principales dans l"espace de phases, revient à chercher les directions

dans lesquellesAest diagonale et donc à diagonaliser la matriceA. Les vecteurs propres définissent les directions principales. Notons parDla matrice diagonalisée associée àA D=? 10

0λ2?

oùλ??(?= 1?2) sont les valeurs propres? alors? Stel queD=S-1AS. Notons parV1?2les vecteurs propres. Soit (X?P)Tles coor- doonées dans la base des vecteurs propres. Alors, =S? X P? et?X P? 10

0λ2??

X P? 1 ce qui donne comme solutions

X=λ1X=??X

X=λ1??=? X(?) =X(0)?λ1?

P=λ2P=??P

P=λ2??=? P(?) =P(0)?λ2??

Retrouvons les valeurs propresλ?. Pour ce faire, résolvons le polynôme caractéristique associé àA: det(A - λI) = 0 =?????-λ1 = 0 =? λ(λ+γ?) +??= 0 dont le descriminant Δ = γ2 ?2-4??et donc

1?2=-γ

γ2 ?2-4??

2=-γ2?±?

γ2

4?2-??

dont les valeurs dépendent du signe de discriminant Δ que nous allons discuter. Les éléments de la matrice de passageS1peuvent être calculés en déterminant les vecteurs propresV1etV2que l"on donne sans calcul V 1=? -2?? etV2=? -2?? et pour la matrice de passageS=? -2?-2?? - Δ>0 =?γ >2⎷??: les racinesλ1?2sont réelles et négatives puisqueγ?>⎷Δ. Ainsi les solutionsXetPsont L?? ?X(?) X(0)? =λ1?=??=L???X(?)X(0)? 1 λ1

P(?) =P(0)?λ2L??(X(?)

X(0))1λ1=P(0)?L??(X(?)X(0))λ

2λ1=KX(?)λ

2λ1

avecλ2/λ1>1. Rappelons que le portrait de phase donné parP=P(X) est représenté dans la baseV1?2des vecteurs propres.

Analyse :

Commeλ1etλ1sont négatives, alorsP(?)→0 etX(?)→0 quand?→+∞.

Le rapportλ2/λ1>1 carλ2< λ1<0.

Ainsi le portrait de phase est représenté dans la figure .... . - Δ<0 siγ <2⎷??: on pose Δ =??|Δ|=?ω=?λ1?2=-γ2?±?ωavecλ1=λ?2avec

X(?) =X(0)?(-γ

2?+?ω)?=|X(0)|??φ0?(-γ2?+?ω)?etP(?) =P(0)?(-γ2?-?ω)?=|P(0)|??φ0?(-γ2?-?ω)?.

La partie réelle desλ?,-γ

2?est responsable de l"amortissement alors que la partie

imaginaire l"est pour les oscillations et donc la fréquenced"oscillations estν=2π

ω=2π⎷|Δ|.

1. Nousaurons besoin de cette matrice s"il fallait réexprimer les solutions dans la base d"origine, c"est à dire réexprimer les

solutions en terme de?=?(?). 2

Les vecteurs propres sont dans ce cas sont

V 1=? -2?? 0? etV2=? -2?? 0? =V?1quotesdbs_dbs2.pdfusesText_4

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