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Alg ebre lin eaire - Puissance Maths

Structure d’espaces vectoriels 7 1 K est un K-ev (la loi interne est l’addition dans K, la loi externe est la multiplication dans K) 2 (K[X],+, ) est un K-ev, K[X] ´etant l’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans K

Linear Algebra: Algèbre linéaire: Vocabulary Vocabulaire

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ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices

Soit E l’ensemble défini par E { (x ,x ,x ) R /x 1 2x 2 x3 0} 3 = 1 2 3 ∈ + − = Montrer que E est un sev de R3 Exercice 2 : Soit E un ev sur K et F1 et F 2 deux sev de E Montrer que F1 IF2 est un sev de E 3 Somme de 2 sev Théorème : Soit F 1 et F 2 deux sev de E On appelle somme des sev F 1 et F 2 l’ensemble noté (F 1 + F2

Algorithmique pour lalgèbre linéaire creuse

L is a lower triangular matrix, and U is an upper triangular matrix I Forward-backward substitution : Ly = b then Ux = y F A is symmetric : I A = LDLT or LLT F A is rectangular m nwith m nand min x kAx bk 2: I A = QR where Q is orthogonal (Q 1 = QT and R is triangular) I Solve : y = QTb then Rx = y Abdou Guermouche Algorithmique pour l’alg

CPGE- Lyc ee technique Exos corrig es alg ebre lin eaire Math

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ENTREE A L UNIVERSITE RESSOURCES EN LIGNE

- l'entrée à l'université, et en particulier les di fficultés que pose l'enseignement de l'algèbre liné aire au début de l'université ; - l'emploi de ressources en ligne pour l'apprentiss

Lycee´ Thiers

b) En considérant l’endomorphisme f canoniquement associé à A;calculer A2: 1 condition nécessaire et su sante 2 La sous-algèbre de L(E) engendrée par f 2L(E) est l’ensemble des polynômes en f:

Séminaire Claude Chevalley

Supposons inversement G affine, alors A(G) est une algèbre à engendrement fini, et compte tenu de lemme 2 il existe donc un sous-espace vectoriel V de dimension finie de A(G) , engendrant l algèbre A(G) , et invariante sous les R Soit u la représentation rationnelle de G dans V définie par les R ,

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ISPB, Faculté de Pharmacie de Lyon Année 2014 - 2015

Filière ingénieur

3

ème année de pharmacie

ALGEBRE LINEAIRE

Cours et exercices

L. Brandolese

M-A. Dronne

Cours d"algèbre linéaire

1. Espaces vectoriels

2. Applications linéaires

3. Matrices

4. Déterminants

5. Diagonalisation

1

Chapitre 1

Espaces vectoriels

1. Définition

Soit K un corps commutatif (K = R ou C)

Soit E un ensemble dont les éléments seront appelés des vecteurs. On munit E de : · la loi interne " + » (addition vectorielle) : E)yx(,E)y,x(2Î+Î" · la loi externe " . » (multiplication par un scalaire) :

E)x.( K,λE,xÎlÎ"Î"

(E, +, .) est un espace vectoriel (ev) sur K (K-ev) si :

1) (E,+) est un groupe commutatif

· l"addition est associative : )zy(xz)yx(,E)z,y,x(3++=++Î"

· l"addition est commutative :

xyy x,E)y,x(2+=+Î"

· Il existe un élément neutre

E0EÎ tq x0 xE,xE=+Î"

E0x"x"x x tqE x"! E,x=+=+Î$Î" (x" est appelé l"opposé de x et se note (-x))

2) la loi externe doit vérifier :

2E)y,x( K,λÎ"Î",y.x.)yx.(l+l=+l

Ex ,K),λ(2

21Î"Îl",x.x.x).(2121l+l=l+l

Ex ,K),λ(2

21Î"Îl",x)..()x..(2121ll=ll

x1.x E,x=Î"

Propriétés :

Si E est un K-ev, on a :

1)

KλE,xÎ"Î",

EE0ou x0λ0λ.x

2) )x.()x.(x).(-l=l-=l-

Exemple :

Soit K = R et E = Rn. (Rn,+, . ) est un R-ev

1) loi interne :

)x..., ,x,(x x,Rxn21n=Î" et )y..., ,y,(yy ,Ryn21n=Î" )yx..., ,yx,y(xyxnn2211+++=+

2) loi externe :

)x..., ,x,x(.x : R ,Rxn21nlll=lÎl"Î" 2

2. Sous espace vectoriel (sev)

Définition :

Soit E un K-ev et

EFÌ. F est un sev si :

· F ¹ AE

· la loi interne " + » est stable dans F :

F)yx(,F)y,x(2Î+Î"

· la loi externe " . » est stable dans F :

F)x.( K,λF,xÎlÎ"Î"

Remarque : Si E est un K-ev, {}E0 et E sont 2 sev de E

Exercice 1 :

Soit E l"ensemble défini par {}0xx2x/R)x,x,x(E3213

321=-+Î=

Montrer que E est un sev de R

3

Exercice 2 :

Soit E un ev sur K et F

1 et F2 deux sev de E. Montrer que 21FFI est un sev de E

3. Somme de 2 sev

Théorème :

Soit F

1 et F2 deux sev de E. On appelle somme des sev F1 et F2 l"ensemble noté (F1 + F2) défini par :

{}2121Fyet Fy / xxFFÎÎ+=+

On peut montrer que F1 + F2 est un sev de E

Somme directe de sev :

Définition :

On appelle somme directe la somme notée F

1 + F2

E2121

210FFFFFFFF

I Remarque : Si F = E, on dit que F1 et F2 sont supplémentaires

Propriété :

F = F

1 + F2 ssi FzÎ", z s"écrit de manière unique sous la forme z = x + y avec 1FxÎ et 2FyÎ

Exercice 3 :

{}R xavec ,0,0)(xF111Î= et {}2

32322R)x,(x avec )x,x(0,FÎ=

Montrer que F

1 et F2 sont supplémentaires de R3 c"est-à-dire F1 + F2 = R3

3

4. Combinaisons linéaires, familles libres, liées et génératrices

Définition :

Soit E un K-ev et

{}IiixÎ une famille d"éléments de E. On appelle combinaison linéaire de la famille {}IiixÎ, l"expression ∑ Îl

Iiiix avec KiÎl

Définition :

On dit que la famille

{}IiixÎ est libre si Ii 00xiEIiiiÎ"=l⇒=l∑

Définition :

On dit que la famille

{}IiixÎ est liée si elle n"est pas libre : ()()EIiiip10xλ tq0,...,0,...,=¹ll$∑

Définition :

On appelle famille génératrice de E une famille telle que tout élément de E est une combinaison

linéaire de cette famille : ()∑

IiiiIiixλ x tqλ ,Ex

Définition :

On dit que la famille

{}IiixÎ est une base de E si {}IiixÎ est une famille libre et génératrice

Propriété :

On dit que la famille

{}IiixÎ est une base de E ssi ExÎ", x s"écrit de manière unique ∑

Iiiixλx

Démonstration (1) ⇒ (2) (D1)

Exercice 4 :

Soit 2

1R)0,1(eÎ= et 2

2R)1,0(eÎ=. La famille {}21e,e est-elle une base ?

Remarque :

La famille {}n21e,...,e,e avec )1,...,0,0(e),...,0,...,1,0(e),0,...,0,1(en21=== constitue la base canonique

de Rn

Propriétés :

{}x est une famille libre 0x¹Û · Toute famille contenant une famille génératrice est génératrice · Toute sous-famille d"une famille libre est librequotesdbs_dbs7.pdfusesText_5