TOUS LES EXERCICES DALGEBRE ET DE GEOMETRIE MP
TOUS LES EXERCICES DÕALGéBRE ET DE G OM TRIE MP Pour assimiler le programme, sÕentra ner et r ussir son concours El-Haj Laamri Agr g en math matiques et ma tre de conf rences Nancy-Universit
Exercices dalgèbre générale
exercices (faux amis, réciproques, recherche d’exemples ou de contre-exemples), incitent à la faute, suggèrent un raisonnement faux Eh bien, la meilleure façon de résoudre ces exercices est de faire la faute suggérée, puis de l’analyser et de la corriger « Souvent il est aussi important de pouvoir
ALGÈBRE 1
CHAPITRE I GROUPES 1 Généralités sur les groupes 1 1 Définition — Un groupe est la donnée d’un ensemble G muni d’une loi de compo- sition G£G G (g1,g2) 7 g1g2et d’un élément neutre e 2G satisfaisant les propriétés suivantes
DEUX CENT DIX-NEUF EXERCICES D’ALGÈBRE POUR LA LICENCE DE
On trouvera d’autres exercices dans les livres [5, 2, 3, 1, 6, 7] (dans lesquels certains de ceux présentésiciontétécopiés)notamment 0 Basesduraisonnement,ensembles,relationsd’équivalence— exercicesdevérification Cettepremièreséried’exercicesestun«échauffement» Assurez-vousqu’aucundesexercices(étoi-
Cours de mathématiques - Exo7 : Cours et exercices de
Fiche d'exercices ⁄ Logique, ensembles, raisonnements Quelques motivations • Il est important d’avoir un langage rigoureux La langue française est souvent ambigüe Prenons l’exemple de la conjonction « ou »; au restaurant « fromage ou dessert » signifie l’un ou l’autre mais pas les deux
ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices
ISPB, Faculté de Pharmacie de Lyon Année 2014 - 2015 Filière ingénieur 3ème année de pharmacie ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices
Exercice atomistique s1 pdf
mpsi general chemistry review s1 pdf summary thermomimi s1 pdf smpc chemical binding s2 exercises corrected qcm atomic corrected pdf course algebre smpc s1 smpc pdf atomic s1 corrigé exercices pdf course thermodynamique s1 fsr atomistic ensa summary point s1 smpc mécanique chimie générale atomique Le cours
[PDF] livre automatisme industriel pdf
[PDF] cours d'automatisme et informatique industrielle pdf
[PDF] cours de base automatisme
[PDF] automatisme cours et exercices corrigés pdf
[PDF] cours automatisme grafcet pdf
[PDF] introduction sur l'automatisme industrielle
[PDF] exercices corrigés automatisme industriel pdf
[PDF] cours automatisme debutant
[PDF] cours d'économie d'entreprise 2ème année
[PDF] économie d'entreprise définition
[PDF] economie et organisation des entreprises s1 - cours complet s1
[PDF] introduction ? l'économie du développement pdf
[PDF] introduction sur le developpement economique
[PDF] théorie du développement économique
ALGÈBRE
COURS DE MATHÉMATIQUES
PREMIÈRE ANNÉEExo7
À la découverte de l"algèbreLa première année d"études supérieures pose les bases des mathématiques. Pourquoi se lancer dans une
telle expédition? Déjà parce que les mathématiques vous offriront un langage unique pour accéder à une
multitude de domaines scientifiques. Mais aussi parce qu"il s"agit d"un domaine passionnant! Nous vous
proposons de partir à la découverte des maths, de leur logique et de leur beauté.Dans vos bagages, des objets que vous connaissez déjà : les entiers, les fonctions... Ces notions en apparence
simples et intuitives seront abordées ici avec un souci de rigueur, en adoptant un langage précis et en
présentant les preuves. Vous découvrirez ensuite de nouvelles théories (les espaces vectoriels, les équations
différentielles,...).Ce tome est consacré à l"algèbre et se divise en deux parties. La première partie débute par la logique
et les ensembles, qui sont des fondamentaux en mathématiques. Ensuite vous étudierez des ensembles
particuliers : les nombres complexes, les entiers ainsi que les polynômes. Cette partie se termine par l"étude
d"une première structure algébrique, avec la notion de groupe.La seconde partie est entièrement consacrée à l"algèbre linéaire. C"est un domaine totalement nouveau pour
vous et très riche, qui recouvre la notion de matrice et d"espace vectoriel. Ces concepts, à la fois profonds et
utiles, demandent du temps et du travail pour être bien compris.Les efforts que vous devrez fournir sont importants : tout d"abord comprendre le cours, ensuite connaître
par cur les définitions, les théorèmes, les propositions... sans oublier de travailler les exemples et les
démonstrations, qui permettent de bien assimiler les notions nouvelles et les mécanismes de raisonnement.
Enfin, vous devrez passer autant de temps à pratiquer les mathématiques : il est indispensable de résoudre
activement par vous-même des exercices, sans regarder les solutions. Pour vous aider, vous trouverez sur le
site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours, ainsi que des exercices corrigés.Au bout du chemin, le plaisir de découvrir de nouveaux univers, de chercher à résoudre des problèmes... et
d"y parvenir. Bonne route!Sommaire
1 Logique et raisonnements
11 Logique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Raisonnements
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Ensembles et applications
111 Ensembles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Applications
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Injection, surjection, bijection
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Ensembles finis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Relation d"équivalence
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Nombres complexes31
1 Les nombres complexes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 Racines carrées, équation du second degré
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Argument et trigonométrie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 Nombres complexes et géométrie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 Arithmétique45
1 Division euclidienne et pgcd
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 Théorème de Bézout
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 Nombres premiers
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 Congruences
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 Polynômes59
1 Définitions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 Arithmétique des polynômes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 Racine d"un polynôme, factorisation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654 Fractions rationnelles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686 Groupes71
1 Groupe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2 Sous-groupes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763 Morphismes de groupes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774 Le groupeZ/nZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 Le groupe des permutationsSn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7 Systèmes linéaires87
1 Introduction aux systèmes d"équations linéaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872 Théorie des systèmes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3 Résolution par la méthode du pivot de Gauss
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938 Matrices99
1 Définition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992 Multiplication de matrices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013 Inverse d"une matrice : définition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064 Inverse d"une matrice : calcul
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085 Inverse d"une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires
. . . . . . . . . . . . . . 1106 Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices symétriques
. . . . . . . . . . . . . . . 1179 L"espace vectorielRn123
1 Vecteurs deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2 Exemples d"applications linéaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263 Propriétés des applications linéaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13210 Espaces vectoriels137
1 Espace vectoriel (début)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1372 Espace vectoriel (fin)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403 Sous-espace vectoriel (début)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444 Sous-espace vectoriel (milieu)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475 Sous-espace vectoriel (fin)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506 Application linéaire (début)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567 Application linéaire (milieu)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1588 Application linéaire (fin)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16111 Dimension finie167
1 Famille libre
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1672 Famille génératrice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1713 Base
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4 Dimension d"un espace vectoriel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785 Dimension des sous-espaces vectoriels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18212 Matrices et applications linéaires
1871 Rang d"une famille de vecteurs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1872 Applications linéaires en dimension finie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1923 Matrice d"une application linéaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1984 Changement de bases
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20413 Déterminants211
1 Déterminant en dimension 2 et 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2112 Définition du déterminant
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2153 Propriétés du déterminant
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2204 Calculs de déterminants
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2245 Applications des déterminants
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 IndexLogique et
raisonnementsChapitre 1Quelques motivations
Il est important d"avoir unlangage rigoureux. La langue française est souvent ambigüe. Prenons
l"exemple de la conjonction "ou»; au restaurant "fromage ou dessert» signifie l"un ou l"autre mais pas
les deux. Par contre si dans un jeu de carte on cherche "les as ou les curs» alors il ne faut pas exclure
l"as de cur. Autre exemple : que répondre à la question "As-tu10euros en poche?» si l"on dispose de
15 euros?
Il y a des notions difficiles à expliquer avec des mots : par exemple la continuité d"une fonction est
souvent expliquée par "on trace le graphe sans lever le crayon». Il est clair que c"est une définition peu
satisfaisante. Voici la définition mathématique de la continuité d"une fonctionf:I→Ren un point
x0∈I: ∀ε >0∃δ >0∀x∈I(|x-x0|< δ=⇒ |f(x)-f(x0)|< ε). C"est le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus claire! C"est lalogique.Enfin les mathématiques tentent dedistinguer le vrai du faux. Par exemple "Est-ce qu"une augmentation
de20%, puis de30%est plus intéressante qu"une augmentation de50%?». Vous pouvez penser "oui»
ou "non», mais pour en être sûr il faut suivre une démarche logique qui mène à la conclusion. Cette
démarche doit être convaincante pour vous mais aussi pour les autres. On parle deraisonnement.Les mathématiques sont un langage pour s"exprimer rigoureusement, adapté aux phénomènes complexes,
qui rend les calculs exacts et vérifiables. Le raisonnement est le moyen de valider - ou d"infirmer - une
hypothèse et de l"expliquer à autrui.LOGIQUE ET RAISONNEMENTS1. LOGIQUE2
1. Logique
1.1. Assertions
Uneassertionest une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en même temps.Exemples :
"Il pleut.» "Je suis plus grand que toi.» " 2+2=4 » " 2×3=7 » "Pour tout x∈R, on a x2⩾0.»"Pour tout z∈C, on a|z|=1.»SiPest une assertion etQest une autre assertion, nous allons définir de nouvelles assertions construites à
partir dePet deQ.L"opérateur logique "et»
L"assertion "PetQ» est vraie siPest vraie etQest vraie. L"assertion "P et Q» est fausse sinon.On résume ceci en unetable de vérité:
P\QVF VVF FFFFIGURE1.1 - Table de vérité de "P et Q»
Par exemple siPest l"assertion "Cette carte est un as» etQl"assertion "Cette carte est cur» alors l"assertion
"P et Q» est vraie si la carte est l"as de cur et est fausse pour toute autre carte.L"opérateur logique "ou»
L"assertion "PouQ» est vraie si l"une (au moins) des deux assertionsPouQest vraie. L"assertion "Pou
Q» est fausse si les deux assertionsPetQsont fausses.On reprend ceci dans la table de vérité :
P\QVF VVV FVFFIGURE1.2 - Table de vérité de "P ou Q»
SiPest l"assertion "Cette carte est un as» etQl"assertion "Cette carte est cur» alors l"assertion "PouQ»
est vraie si la carte est un as ou bien un cur (en particulier elle est vraie pour l"as de cur).
Remarque.
Pour définir les opérateurs "ou», "et» on fait appel à une phrase en français utilisant les motsou,et! Les
tables de vérités permettent d"éviter ce problème.La négation "non»
L"assertion "nonP» est vraie siPest fausse, et fausse siPest vraie.LOGIQUE ET RAISONNEMENTS1. LOGIQUE3
PVF nonPFVFIGURE1.3 - Table de vérité de "non P»
L"implication=⇒
La définition mathématique est la suivante :L"assertion "(non P) ou Q» est notée "P=⇒Q».Sa table de vérité est donc la suivante :
P\QVF VVF FVV FIGURE1.4 - Table de vérité de "P=⇒Q» L"assertion "P=⇒Q» se lit en français "P implique Q». Elle se lit souvent aussi "si P est vraie alors Q est vraie» ou "si P alors Q».Par exemple :
" 0⩽x⩽25=⇒px⩽5 » est vraie (prendre la racine carrée). "x∈]-∞,-4[ =⇒x2+3x-4>0 » est vraie (étudier le binôme). " sin(θ) =0=⇒θ=0 » est fausse (regarder pourθ=2πpar exemple)."2+2=5=⇒p2=2» est vraie! Eh oui, siPest fausse alors l"assertion "P=⇒Q» est toujours
vraie.L"équivalence⇐⇒
L"équivalenceest définie par :"P⇐⇒Q» est l"assertion "(P=⇒Q) et (Q=⇒P)».
On dira "Pest équivalent àQ» ou "Péquivaut àQ» ou "Psi et seulement siQ». Cette assertion est vraie
lorsquePetQsont vraies ou lorsquePetQsont fausses. La table de vérité est : P\QVF VVF FFV FIGURE1.5 - Table de vérité de "P⇐⇒Q»Exemples :
Pourx,x′∈R, l"équivalence "x·x′=0⇐⇒(x=0ou x′=0)» est vraie. Voici une équivalencetoujours fausse(quelle que soit l"assertionP) : "P⇐⇒non(P)».On s"intéresse davantage aux assertions vraies qu"aux fausses, aussi dans la pratique et en dehors de ce
chapitre on écrira "P⇐⇒Q» ou "P=⇒Q» uniquement lorsque ce sont des assertions vraies. Par
exemple si l"on écrit "P⇐⇒Q» cela sous-entend "P⇐⇒Qest vraie». Attention rien ne dit quePetQ
soient vraies. Cela signifie quePetQsont vraies en même temps ou fausses en même temps.LOGIQUE ET RAISONNEMENTS1. LOGIQUE4Proposition 1.
Soient P,Q,R trois assertions. Nous avons les équivalences (vraies) suivantes : 1.P ⇐⇒non(non(P))
2.(PetQ)⇐⇒(QetP)
3.(PouQ)⇐⇒(QouP)
4.non(PetQ)⇐⇒(nonP)ou(nonQ)
5.non(PouQ)⇐⇒(nonP)et(nonQ)
6.Pet(QouR)⇐⇒(PetQ)ou(PetR)
7.Pou(QetR)⇐⇒(PouQ)et(PouR)
8." P =⇒Q »⇐⇒"non(Q) =⇒non(P)»Démonstration.Voici des exemples de démonstrations :
4.Il suffit de comparer les deux assertions "non(P et Q)» et "(non P)ou(non Q)» pour toutes les valeurs
possibles dePetQ. Par exemple siPest vrai etQest vrai alors "PetQ» est vrai donc "non(P et Q)»est faux; d"autre part (nonP) est faux, (nonQ) est faux donc "(non P)ou(non Q)» est faux. Ainsi dans
ce premier cas les assertions sont toutes les deux fausses. On dresse ainsi les deux tables de vérités et
comme elles sont égales les deux assertions sont équivalentes. P\QVF VFV FVV FIGURE1.6 - Tables de vérité de "non(P et Q)» et de "(non P)ou(non Q)» 6.On fait la même chose mais il y a trois variables :P,Q,R. On compare donc les tables de vérité d"abord
dans le cas oùPest vrai (à gauche), puis dans le cas oùPest faux (à droite). Dans les deux cas les deux
assertions "P et(Q ou R)» et "(P et Q)ou(P et R)» ont la même table de vérité donc les assertions
sont équivalentes. Q\RVF VVV FVF Q\RVF VFF FFF 8.Par définition, l"implication "P=⇒Q» est l"assertion "(nonP) ouQ». Donc l"implication "non(Q) =⇒
non(P)» est équivalente à "non(non(Q))ou non(P)» qui équivaut encore à "Q ou non(P)» et donc est
équivalente à "P=⇒Q». On aurait aussi pu encore une fois dresser les deux tables de vérité et voir
qu"elles sont égales.1.2. QuantificateursLe quantificateur∀: "pour tout»
Une assertionPpeut dépendre d"un paramètrex, par exemple "x2⩾1», l"assertionP(x)est vraie ou
fausse selon la valeur dex.L"assertion
∀x∈E P(x)LOGIQUE ET RAISONNEMENTS1. LOGIQUE5
est une assertion vraie lorsque les assertionsP(x)sont vraies pour tous les élémentsxde l"ensembleE.
On lit "Pour tout x appartenant à E, P(x)», sous-entendu "Pour tout x appartenant à E, P(x)est vraie».
Par exemple :
"∀x∈[1,+∞[ (x2⩾1)» est une assertion vraie. "∀x∈R(x2⩾1)» est une assertion fausse. "∀n∈Nn(n+1)est divisible par2 » est vraie.Le quantificateur∃: "il existe»
L"assertion
∃x∈E P(x)est une assertion vraie lorsque l"on peut trouver au moins unxdeEpour lequelP(x)est vraie. On lit "il
existe x appartenant à E tel que P(x)(soit vraie)».Par exemple :
"∃x∈R(x(x-1)<0)» est vraie (par exemplex=12 vérifie bien la propriété). "∃n∈Nn2-n>n» est vraie (il y a plein de choix, par exemplen=3convient, mais aussin=10ou mêmen=100, un seul suffit pour dire que l"assertion est vraie). "∃x∈R(x2=-1)» est fausse (aucun réel au carré ne donnera un nombre négatif).La négation des quantificateursLa négation de "∀x∈E P(x)» est "∃x∈E non P(x)» .
Par exemple la négation de "∀x∈[1,+∞[ (x2⩾1)» est l"assertion "∃x∈[1,+∞[ (x2<1)». En
effet la négation dex2⩾1 est non(x2⩾1)mais s"écrit plus simplementx2<1.La négation de "∃x∈E P(x)» est "∀x∈E non P(x)».Voici des exemples :
La négation de "∃z∈C(z2+z+1=0)» est "∀z∈C(z2+z+1̸=0)». La négation de "∀x∈R(x+1∈Z)» est "∃x∈R(x+1/∈Z)». Ce n"est pas plus difficile d"écrire la négation de phrases complexes. Pour l"assertion : ∀x∈R∃y>0(x+y>10) sa négation est ∃x∈R∀y>0(x+y⩽10).Remarques
L"ordre des quantificateurs est très important. Par exemple les deux phrases logiquessont différentes. La première est vraie, la seconde est fausse. En effet une phrase logique se lit de gauche à
droite, ainsi la première phrase affirme "Pour tout réelx, il existe un réely(qui peut donc dépendre dex)
tel quex+y>0.» (par exemple on peut prendrey=|x|+1). C"est donc une phrase vraie. Par contre ladeuxième se lit : "Il existe un réely, tel que pour tout réelx,x+y>0.» Cette phrase est fausse, cela ne
peut pas être le mêmeyqui convient pour tous lesx!On retrouve la même différence dans les phrases en français suivantes. Voici une phrase vraie "Pour toute
personne, il existe un numéro de téléphone», bien sûr le numéro dépend de la personne. Par contre cette
LOGIQUE ET RAISONNEMENTS2. RAISONNEMENTS6phrase est fausse : "Il existe un numéro, pour toutes les personnes». Ce serait le même numéro pour tout le
monde!Terminons avec d"autres remarques.
Quand on écrit "∃x∈R(f(x) =0)» cela signifie juste qu"il existe un réel pour lequelfs"annule. Rien
ne dit que cexest unique. Dans un premier temps vous pouvez lire la phrase ainsi : "il existeau moins
un réelxtel quef(x) =0». Afin de préciser quefs"annule en une unique valeur, on rajoute un point
d"exclamation : ∃!x∈R(f(x) =0).Pour la négation d"une phrase logique, il n"est pas nécessaire de savoir si la phrase est fausse ou vraie.
Le procédé est algorithmique : on change le "pour tout» en "il existe» et inversement, puis on prend la
négation de l"assertionP.Pour la négation d"une proposition, il faut être précis : la négation de l"inégalité stricte "<» est l"inégalité
large "⩾», et inversement.Les quantificateurs ne sont pas des abréviations. Soit vous écrivez une phrase en français : "Pour tout
réel x, si f(x) =1alors x⩾0.» , soit vous écrivez la phrase logique : ∀x∈R(f(x) =1=⇒x⩾0).Mais surtout n"écrivez pas "∀xréel, sif(x) =1=⇒xpositif ou nul». Enfin, pour passer d"une ligne à
l"autre d"un raisonnement, préférez plutôt "donc» à "=⇒». Il est défendu d"écrire̸∃,̸=⇒. Ces symboles n"existent pas!Mini-exercices. 1.Écrire la table de vérité du "ou exclusif». (C"est leoudans la phrase "fromage ou dessert», l"un ou
l"autre mais pas les deux.) 2. Écrire la table de vérité de " non (P et Q)». Que remarquez vous? 3.