-3 - Comportements asymptotiques : stabilité, attractivité
Un point d’équilibre est stable si : xç=f(x,t),x∈Rn xe {}∀t,f(xe,t)=0 Le point d’équilibre est localement attractif si : xe {}∀t,f(xe,t)=0 lim
SMaRT SD part3-Stability1
Un point d’équilibre est stable si Il est (globalement) attractif si et (globalement) asymptotiquement stable s’il est stable et attractif x = f(x,t), x∈Rn xe {∀t, f(xe,t)=0} ∀ε>0,∀t0, ∃ (ε,t0), x xe ⇒ (t;t0,x0) xe ε lim t→+∞ (t;t0,x0)=xe ∀t t0 0 J P RICHARD 35 3 Stabilité (définitions, suite) Définition (suite
Théorème de Liapounov - Agreg-mathsfr
Théorème de Liapounov Leçons : 220, 221 Définition 1 Soit f: R nR une application de classe C1 Un point d’équilibre stable attractif du système y0= f (y) est y 0 2R n tel que f (y0) = 0 et pour tout ">0, il existe >0 tel que pour toute solution y du
Théorème de Liapounov
est un point d’équilibre attractif asymptotiquement stable du système Remarque L’étude du système linéarisé intervient de manière cruciale pour pouvoir définir b Si Df (0) a une valeur propre de partie réelle strictement positive, alors 0 est un point d’équilibre instable Référence : François ROUVIÈRE (2003)
Théorème de Liapounov
, d’inconnue y ∈ C1(R+,Rn) (1) Alors 0 est un point d’équilibre attractif de ( 1 ), i e il existe V ∈ V R n (0) tel que pour x ∈ V la solutions y de ( 1 ) converge exponentiellement vers 0à l’infini, i e :
Théorème de Liapounov - ENS Rennes
, d'inconnue y 2 C1(R +;R n) Alors : 0 est un point d'équilibre attractif du système, i e il existe V voisinage de 0 dans R n , tel que, si x 2 V, la solution y(t) tend exponentiellement vers 0 lorsque t tend vers +1
Théorème de Lyapunov
Si les parties réelles des valeurs propres de A:= D0f sont strictement négatives, alors l’origine est un point d’équilibre attractif du système, c’est-à-dire pour X0 assez proche de 0, X(t) tend exponentiellement vite vers 0 Preuve : On commence par considérer le linéarisé Y (t) = AY(t) Y(0) = X0 ∈Rn On a Y(t) = etAX0
Stabilite des´ equilibres Exemples´
intervalle non borne) et x est une fonction de [0,+´ ∞[ dans Rd, solution de l’equation (1) On se´ limitera au cas ou f ne d` epend de t : (1) est alors appel´ ee´ equation autonome ´ On dit que a appartenant `a Rd est un point d’equilibre si f(a) = 0, ainsi x´ ≡a est l’unique solution de (1) de condition initiale x(t 0) = a
Notions sur la stabilité des équilibres - ec-lyonfr
d’équilibre unique dx f x,t( ) dt f :fonctionnonlinéaire = Pas d’intervention explicite du temps Soit la position d’équilibre du système ; on veut étudier la stabilité de cet équilibre quand un paramètre de contrôle (non explicité ici) varie x ; f(x ) 0e e = Définition simple de la stabilité
Suites récurrentes
Si l’on traduit le théorème de point fixe en termes de systèmes dynamiques, on dira que le point fixe a a pour bassin d’attraction E tout entier : c’est un point fixe attractif , ou un point d'équilibre stable , et toutes les suites récurrentes convergent vers a à une vitesse géométrique Exercice 1 : Extension aux itérées
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