[PDF] Stabilite des´ equilibres Exemples´

-3 - Comportements asymptotiques : stabilité, attractivité

Un point d’équilibre est stable si : xç=f(x,t),x∈Rn xe {}∀t,f(xe,t)=0 Le point d’équilibre est localement attractif si : xe {}∀t,f(xe,t)=0 lim

SMaRT SD part3-Stability1

Un point d’équilibre est stable si Il est (globalement) attractif si et (globalement) asymptotiquement stable s’il est stable et attractif x = f(x,t), x∈Rn xe {∀t, f(xe,t)=0} ∀ε>0,∀t0, ∃ (ε,t0), x xe ⇒ (t;t0,x0) xe ε lim t→+∞ (t;t0,x0)=xe ∀t t0 0 J P RICHARD 35 3 Stabilité (définitions, suite) Définition (suite

Théorème de Liapounov - Agreg-mathsfr

Théorème de Liapounov Leçons : 220, 221 Définition 1 Soit f: R nR une application de classe C1 Un point d’équilibre stable attractif du système y0= f (y) est y 0 2R n tel que f (y0) = 0 et pour tout ">0, il existe >0 tel que pour toute solution y du

Théorème de Liapounov

est un point d’équilibre attractif asymptotiquement stable du système Remarque L’étude du système linéarisé intervient de manière cruciale pour pouvoir définir b Si Df (0) a une valeur propre de partie réelle strictement positive, alors 0 est un point d’équilibre instable Référence : François ROUVIÈRE (2003)

Théorème de Liapounov

, d’inconnue y ∈ C1(R+,Rn) (1) Alors 0 est un point d’équilibre attractif de ( 1 ), i e il existe V ∈ V R n (0) tel que pour x ∈ V la solutions y de ( 1 ) converge exponentiellement vers 0à l’infini, i e :

Théorème de Liapounov - ENS Rennes

, d'inconnue y 2 C1(R +;R n) Alors : 0 est un point d'équilibre attractif du système, i e il existe V voisinage de 0 dans R n , tel que, si x 2 V, la solution y(t) tend exponentiellement vers 0 lorsque t tend vers +1

Théorème de Lyapunov

Si les parties réelles des valeurs propres de A:= D0f sont strictement négatives, alors l’origine est un point d’équilibre attractif du système, c’est-à-dire pour X0 assez proche de 0, X(t) tend exponentiellement vite vers 0 Preuve : On commence par considérer le linéarisé Y (t) = AY(t) Y(0) = X0 ∈Rn On a Y(t) = etAX0

Stabilite des´ equilibres Exemples´

intervalle non borne) et x est une fonction de [0,+´ ∞[ dans Rd, solution de l’equation (1) On se´ limitera au cas ou f ne d` epend de t : (1) est alors appel´ ee´ equation autonome ´ On dit que a appartenant `a Rd est un point d’equilibre si f(a) = 0, ainsi x´ ≡a est l’unique solution de (1) de condition initiale x(t 0) = a

Notions sur la stabilité des équilibres - ec-lyonfr

d’équilibre unique dx f x,t( ) dt f :fonctionnonlinéaire = Pas d’intervention explicite du temps Soit la position d’équilibre du système ; on veut étudier la stabilité de cet équilibre quand un paramètre de contrôle (non explicité ici) varie x ; f(x ) 0e e = Définition simple de la stabilité

Suites récurrentes

Si l’on traduit le théorème de point fixe en termes de systèmes dynamiques, on dira que le point fixe a a pour bassin d’attraction E tout entier : c’est un point fixe attractif , ou un point d'équilibre stable , et toutes les suites récurrentes convergent vers a à une vitesse géométrique Exercice 1 : Extension aux itérées

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Stabilit

´e des´equilibres. Exemples

Florian CARO et Alexandre POPIERIntroduction

Lebutestdepr

du type : x ?(t) =f(x(t))et x(t0) =x0(1) pour t≥0 et o`uf:Rd→Rdest une fonction v´erifiant au moins les conditions de Cauchy- Lipschitz (ici on supposera en plus f k-lipschitzienne : ainsi la solution de (1) est d

´efinie sur un

intervalle non born ´e) et x est une fonction de [0,+∞[ dansRd, solution de l"´equation (1). On se limitera au cas o `u f ne d´epend de t : (1) est alors appel´ee´equation autonome.

On dit que a appartenant

`aRdest un point d"´equilibre si f(a) = 0, ainsi x≡a est l"unique solution de (1) de condition initiale x(t

0) = a.Notation:Φ(t,x0)est la solution de (1) telle queΦ(t0,x0) =x0.

On appelleflot l"applicationΦ:Rd+1→Rdqui`a(x0,t)associeΦ(t,x0). Loi du flot, continuit

´e du flot : voir [2].

D ´efinition. 1(i) a est dit uniform´ement stable si : ?? >0?η >0?x0-a? ≤η? ?Φ(t,x0)-a? ≤??t >0 (ii) a est dit uniform ´ement asymptotiquement stable si a est uniform´ement stable et si : ?ρ >0?x0-a? ≤ρ?limt→+∞Φ(t,x0) =a (iii) un ´equilibre qui n"est pas uniform´ement stable est dit instable.

Remarquons qu"en posant g(y) = f(y+a) on v

´erifie que a est un point d"´equilibre de (1) si et seulement si 0 est un point d" ´equilibre de x" = g(x). Ainsi nous supposerons par la suite que a est

´egal`a 0.

1 ILin

´earisation

On suppose f de classeC1et on introduit le syst`eme suivant : x ?(t) =Df(0).x(t)et x(t0) =x0(2) o

`u Df(0) est la diff´erentielle de f en 0. Le syst`eme (2) est appel´e "syst`eme lin´earis´e". Il s"agit

de "comparer" les solutions de (1) et de (2), `a savoir : (i) ´etudier les solutions dont les valeurs initiales sont proches de 0, en particulier si elles restent proches de 0 pour t> t0. (ii) comparer l"allure des solutions de (1) et de (2) au voisinage de 0.

I.1Caslin

´eaire

On appelleν(p)le plus petit entier k tel quedim(Ker(A-λpI)k) =mult(λp)(mult(λp)

etant la multiplicit´e deλpdans le polynˆome caract´eristique de A) etλest dite valeur propre

oscillatoire de A lorsqueν(k)>1. Th ´eor`eme. 1Soit x"=Ax un syst`eme lin´eaire o`u A appartient`aRd,d(matrice de tailled?d) de valeurs propres distinctesλ1,...,λr. a. 0 est un ´equilibre uniform´ement stable si et seulement si :?i Re(λi)≤0et Re(λk)<0 pour les valeurs propres oscillatoires. b. 0 est un ´equilibre uniform´ement asymptotiquement stable si :?iRe(λi)≤ -σ <0et alors on a?t?Φ(t,x0)? ≤K?x0?e-σt c. s"il existeλtel que Re(λ)>0, alors 0 est instable. D

´emonstration :

on ´ecritλp=αp+iβp. La solutionΦ(t,x0)de x" = Ax telle queΦ(t0,x0) =x0s"´ecrit :

Φ(t,x0) =r?

p=1ν(p)-1? n=0(A-λpI)ntnn!eαpteiβptx(p) 0 o `ux(p)

0est la projection dex0surEλp=Ker(A-λpI)ν(p).

Voir le cours de calcul diff

´erentiel (polycopi´e page 84)

On obtient le r

´esultat en comparant la croissance des polynˆomes et des exponentielles en question; on constate,

de plus, que la croissance ou la d ´ecroissance des solutions se font de fac¸on exponentielle.

On va illlustrer ce r

´esultat par le cas o`u d=2. On suppose que A est inversible de sorte que

0 est le seul point d"

1et λ2:

Soitv1et v2les vecteurs propres correspondant`aλ1et λ2: toute solution est de la forme x(t) =a1eλ1tv1+a2eλ2tv2. 2 1 ercas :λ1et λ2r´eels a.λ2< λ1<0: toutes les solutions tendent vers z´ero quand t tend vers +∞,v1et v2 engendrent chacun un sous-espace stable. L" ´equilibre 0 s"appelle un noeud-stable encore appel´e noeud attractif.

b.0< λ1< λ2: toutes les solutions s"´eloignent vers l"infini quand t tend vers +∞,v1et v2

engendrent chacun un sous-espace instable. L" ´equilibre 0 s"appelle un noeud instable encore appel

´e noeud r´epulsif.

c.λ2<0< λ1:v1engendre un sous-espace instable.v2engendre un sous-espace stable. Seules les solutions dont la valeur initiale est colin ´eaire`av2restent born´ees. 0 s"appelle un col ou point selle. 2 ecas :λ1=α+iβ et λ2=α-iβ Les vecteurs propres sont donc de la formev1=u+iv et v2=u-iv. Les solutions r ´eelles peuvent s"´ecrire :x(t) =cte?eαt[cos(βt+φ)u-sin(βt+φ)v]. a.α= 0: les solutions sont toutes p´eriodiques. 0 s"appelle un centre. 3 b.α <0: toutes les solutions tendent vers z´ero quand t tend vers +∞et 0 s"appelle un foyer ou point focal stable ou foyer attractif. c.α >0: toutes les solutions tendent vers l"infini en module quand t tend vers +∞et 0 s"appelle un foyer ou point focal instable ou foyer r

´ecessairementr

´elle:

1 ercas :λest non oscillatoire On a alors A =λI et la solution x de x" = Ax estx(t) =x0eλt. a. Siλ <0, toutes les solutions tendent vers z´ero quand t tend vers +∞. 0 est un noeud stable qu"on appelle souvent puits (point attractif).

b. Siλ >0, toutes les solutions s"´eloignent vers l"infini quand t tend vers +∞. O s"appelle

source (point r

´epulsif).

2 ecas :λest oscillatoire La dimension deKer(A-λI)est un : soit u non nul engendrantKer(A-λI). La dimension deKer[(A-λI)2]est deux : soit w?Ker[(A-λI)2]formant avec u une base deR2, par hypoth`ese(A-λI)w?= 0soit(A-λI)w=αu+βwde sorte que 4

0 = (A-λI)2w=β(A-λI)wdoncβ= 0; ainsi(A-λI)w=αu. On posev=wα

x est de la formex(t) = (I+t(A-λI))eλtx0= (I+t(A-λI))eλt(au+bv)

a. Siλ <0, toutes les solutions tendent vers z´ero quand t tend vers +∞en´etant tangentes

au vecteur u. 0 est un noeud impropre stable (attractif). b. Siλ >0, toutes les solutions s´eloignent vers l"infini quand t tend vers +∞. O est unquotesdbs_dbs2.pdfusesText_4