Notes et exercices du cours dÉquations Différentielles

Résoudre le système suivant : 3 2 4 2 5 x y x y + = − + =− C'est un système de deux équations à deux inconnues : x et y Résolution par substitution : Elle consiste à isoler une inconnue à l'aide d'une des deux équations par exemple, en utilisant la 2 ème équation, on a : y x= −2 5 On remplace alors y par 2 5x − dans la 1

Résolution déquations avec Mathematica

ment résoudre des systèmes d'équations ou d'inéquations, en particulier polynomiales comme par exemple ⋯ N réduis Reduce x3 ⩵ 3-x, x, nombres réels Reals x⩵1 21341 Le système d'équations ou d'inéquations peut être littéral, par exemple Printed by Wolfram Mathematica Student Edition

Syst me d quations - Exercices de Brevet

système d'équations d'inconnues x et y b)Résoudre ce système , et donner le nombre des triangles et celui des rectangles Exercice 7 : Brevet des Collèges - Nancy-Metz - Sept 1991 La nouvelle pièce de 10 F a un diamètre de 23 mm et la précédente un diamètre de 26 mm En pesant 5 anciennes pièces et 4 nouvelles , on obtient 76 g

COURS 3ÈME FONCTIONS LINÉAIRE ET AFFINE AGE 1/7

Résoudre le système revient donc à déterminer le point d’intersection des droites : -D 1 d’équation y=-x+5 - et D 1 d’équation y=2x-1 La fonction x -x+5 a pour représentation graphique la droite D 1 d’équation y=-x+5 La fonction x 2x-1 a pour représentation graphique la droite D 2 d’équation y=2x-1

Notes et exercices du cours dÉquations Différentielles

bases du module d’équations différentielles enseigné en 3ème année licence mathé-matiques Il se partage équitablement en deux entrainements : Un entrainement basé sur les notions abstraites qui aide le lecteur à utiliser les théorèmes fondamentaux des équations différentielles

R solution dun probl me laide des quations

d’aujourd’hui, jamais égal au triple de l’âge de sa fille Nous pouvons cependant apporter une autre réponse Il y a 3 ans ( - 3 est négatif ), l’âge du père était égal au triple de l’âge de sa fille

Equations de droites - ac-noumeanc

on dit que a est le coefficient directeur de (d), et b l’ordonnée à l’origine Remarque : Une droite possède une infinité d’équation, mais une seule équation réduite Exercice 1 : Déterminer l’équation réduite de la droite (d) suivante : 12x – 4y + 14 = 0, et la représenter dans un repère

METHODES DE RESOLUTION EN ELEMENTS FINIS

3ème – 5ème semestre - une classe particulière de problèmes dont la formulation se fait à l’aide d’équations quasi- solution d’un système

Exo7 - Cours de mathématiques

10 Logique et raisonnements – « 2£3˘7 » – « Pour tout x2R, on a x2 ˚0 – « Pour tout z2C, on a jzj˘1 Si P est une assertion et Q est une autre assertion, nous allons déﬁnir de nouvelles assertions

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>G A/, +2H@yRekd98j ?iiTb,ff?HXb+B2M+2f+2H@yRekd98jpj am#KBii2/ QM RN CmH kyR3 >GBb KmHiB@/Bb+BTHBM`v QT2M ++2bb `+?Bp2 7Q` i?2 /2TQbBi M/ /Bbb2KBMiBQM Q7 b+B@

2MiB}+ `2b2`+? /Q+mK2Mib- r?2i?2` i?2v `2 Tm#@

HBb?2/ Q` MQiX h?2 /Q+mK2Mib Kv +QK2 7`QK

i2+?BM; M/ `2b2`+? BMbiBimiBQMb BM 6`M+2 Q` #`Q/- Q` 7`QK Tm#HB+ Q` T`Bpi2 `2b2`+? +2Mi2`bX /2biBMû2 m /ûTN¬i 2i ¨ H /BzmbBQM /2 /Q+mK2Mib b+B2MiB}[m2b /2 MBp2m `2+?2`+?2- Tm#HBûb Qm MQM-

Tm#HB+b Qm T`BpûbX

hQ +Bi2 i?Bb p2`bBQM, yRekd98jpj

Quelques notions du cours Équations Différentielles

Notes et exercices du cours

d'Équations Différentielles

Walid OUKIL

2018
www.oukilwalid.com

Notes et exercices du cours d"Équations

Différentielles

Ce manuscrit rassemble d"une manière simplifiée quelques notions de bases du module d"équations différentielles enseigné en 3ème année licence mathé- matiques. Il se partage équitablement en deux entrainements : Un entrainement basé sur les notions abstraites qui aide le lecteur à utiliser les théorèmes fondamentaux des équations différentielles. Le deuxième entrainement rentre dans le cadre de la théorie quantitative qui aide le lecteur à pouvoir résoudre explicitement et d"une manière arith-

métique quelques équations différentielles intégrables en présentant avant la méthode

de résolution.

Table des matières

1 Introduction

Introduction2

1.1 Note Historique

1.2 Trajectoire d"une voiture

1.3 Chute libre d"une masse sans frottements

2 Généralités

2.1 Équations différentielles scalaires du 1

erordre. . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Problème de Cauchy - Cas scalaire

2.1.1.1 Contre exemple

2.1.1.2 Théorèmes de Cauchy-Lipschitz cas scalaire

2.1.2 Sous et sur-solution

2.1.3 Lemme de Gronwall

2.1.4 Résolution de quelques équations

2.1.4.1 Équation différentielle linéaire scalaire

2.1.4.2 Équation à variables séparables

2.1.4.3 Équation de Riccati à coefficients constants

2.1.4.3.a Cas où>0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.1.4.3.b Cas où = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

2.1.4.3.c Cas où<0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

2.1.4.4 Équation de Bernoulli

19 1

TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES

3 Équations différentielles du 1

erordre21

3.1 Théorème de Cauchy-Lipschitz

3.2 Existence locale et unicité

3.3 Solution maximale

3.4 Dépendance par rapport aux conditions initiales

3.5 Dépendance par rapport aux paramètres

3.6 Équations différentielles d"ordre supérieur

4 Systèmes linéaires

4.1 Exponentiel d"une matrice

4.2 Systèmes linéaires homogènes à coefficients constants

4.3 Systèmes linéaires non-homogènes

4.4 Résolution de quelques systèmes

4.4.1 Résolution d"un système linéaire homogène à coefficients constants

4.4.2 Résolution d"un système linéaire non homogène

5 Résolution d"équations linéaires scalaires d"ordre supérieur

5.1 Résolution d"équations linéaires scalaires d"ordre deux

5.2 Résolution d"équations linéaires scalaires d"ordre supérieur

6 Introduction aux notions de stabilité

6.1 Flot, champ de vecteurs et espace de phases

6.1.1 Flot d"un système dynamique

6.1.2 Champ de vecteurs et origine

6.1.3 Espace de phases

6.2 Stabilité et stabilité exponentielle- Cas générale

6.2.1 Étude de stabilité du cas linéaire scalaire

6.3 Stabilité des systèmes linéaires

6.3.1 Méthode de résolution

6.3.2 Exemple d"application

59
2

W. Oukil Équations différentielles

6.3.3 Sous-espace stable et instable

7 Exercices

62
3

Chapitre 1

Introduction

1.1 Note Historique

À la fin du XVII

èmesiècle des scientifiques de l"époque comme Leibniz (1646 - 1716) et Newton ( 1643 - 1727) se sont intéressé à des problèmes de la physique qui né- cessitent le calcul intégrale, parmi ces problèmes physiques on cite : le mouvement de pendules, la force gravitationnelle entre deux corps, les cordes vibrantes...etc. Leibniz et

Newton inventent le calcul infinitésimal (autrement dit : calcul différentiel et calcul inté-

gral) et répondent partiellement à leurs questions posées en physique. Puis en 1739, Eu-

ler ( 1707 - 1783) résous des équations différentielles linéaires à coefficients constants

bien que la fonction l"exponentielle n"était pas encore familière chez les mathématiciens

de l"époque. La difficulté d"intégration des équations différentielles à conduit des mathé-

maticiens comme Poincaré (1854 - 1912) à inventer la théorie qualitative des équations

différentielles, cette dernière se base sur l"aspect qualitatif des trajectoires des solutions.

Notons, qu"il existe des équations pour les quelles jusqu"à présent on ne connaît pas la forme explicite de leurs solutions, on cite par exemple l"équation différentielle de Ric- cati à coefficients non constants : Pour quelques cas particuliers on peut intégrer cette équation mais pour le reste on ne peut trouver la solution explicite que si on connaît une solution particulière. Le développement de l"informatique actuel à pu aider d"une 4

W. Oukil Équations différentielles

manière significative la prévision des solutions des équations différentielles et leurs ap-

plications touchent actuellement de plusieurs domaines comme la biologie, la chimie, l"économie,.. etc.

1.2 Trajectoire d"une voiture

Lorsqu"on connait la vitesse d"une voiture sur une route droite on peut connaître sa position à un instant donné une fois que l"on connait sa position initiale. En effet, si la vitesse est constante et égale àvalors en posantpla position de la voiture ettle temps on obtient la formule suivante dpdt =v;(1.1) qui est une équation différentielle. Si à un instantt0la voiture est dans la positionp(t0)(condition initiale) alors la positionp(T)de la voiture à un instantT > t0est donnée par p(T) =v(Tt0) +p(t0): On a donc "intégré" l"équation différentielle ( 1.1 ), soit Z T t 0dpdt dt=Z T t

0vdt()p(T)p(t0) =v(Tt0);

cela vient du fait que la fonctionpest la primitive dedpdt et du fait quevest supposée constante.

1.3 Chute libre d"une masse sans frottements

D"après la loi de Newton : entre deux corps de massesm1etm2(en kilogramme) il existe deux forces ~F1et~F2centrées au centre des deux corps dem1etm2respecti- vement et de direction opposée. Ces deux forces induisent un mouvement suivant une 5

W. Oukil Équations différentielles

accélérationa1de la massem1et une accélérationa2de la massem2(voir Figure1.1 ) données par la formule

F1=a1m1=Gm1m2R

2;~F2=a2m2=Gm1m2R

2; où

Rest le rayon (la distance) entre les deux corps,

Gest la Constante gravitationnelle.G= 6:674081011m3:kg1:s2.FIGURE1.1 - Illustration de la force de gravitation entre deux corps isolés.

On considère maintenant la chute libre d"un corps de masseM, d"une hauteur deR= 35 mètre du sole de la terre sans vitesse initiale, comme illustré dans la Figure 1.2 . On suppose que les frottements de l"aire sont négligeable et que le corps ne reçoivent pas d"autres forces extérieures. Il existe une force de gravitation ~Fcentrée dans le corps de masseMde direction vers le centre de la terre et est donné par F=gM; 6

W. Oukil Équations différentielles

oùgest la force de la pesanteur :g= 9;80665m s2. D"un autre coté, d"après la loi de Newton, le corps de massemchute librement vers la terre avec une accélérationa F=aM; On déduit quea=g. La question qu"on peut poser est : Quel est la duréeTpour que le corpsMatteint le sole de la terre?.

Posonsvla vitesse du corpsM, donc

0=a;oùv0est la dérivé dev;

D"àprs l"exemple précédent (vitesse d"une voiture), on se ramène à l"étude de l"équation

différentielle suivante d 2dt 2p=a; oùpest la position du corpsM. On intègre deux fois, on obtient

R=p(T)p(0) =Z

T 0 at dt=h12 at2iT 0:

Par hypothèseR= 35mètre donc

T 2=2Ra ;=)T=r2Ra =r70

9;80665= 2:67170s:(s:=seconde):

W. Oukil Équations différentielles

FIGURE1.2 - Illustration d"une chute libre d"un corps sans vitesse initiale et sans frotte- ments. Les équations différentielles permettent l"étude des systèmes physiques, biologiques, économiques,...,etc. Dans ce qui suit la notation ddt xou_xdésigne la dérivéx0par rapport

à la variablet.

Chapitre 2

Généralités

2.1 Équations différentielles scalaires du 1

erordre On appelle équation différentielle scalaire du 1 erordre toute équation de la forme ddt x=f(t;x);(2.1) avect2IoùIest un intervalle deR.f:RK!Kest une fonction oùKest l"ensemble Rou l"ensembleC. La fonctionx(t)est la fonction inconnue à déterminer. Cette dernière équation est dite "scalaire" car l"image de la fonctionfest dansK. Rappelons à ce titre qu"en algèbre l"espace vectoriel défini par le produit cartésienRp avecp2Nest unRespace vectoriel; ses éléments sont appelés "vecteurs" et les élé- ments deRsont appelés "scalaires". On renvoie donc au cours d"algèbre pour la termi- nologie du mot "scalaire". On va se réduire dans la suite à l"ensemble des scalaires réels, c"est à dire :K=R. Définition 1.On dit que la fonctionx(t)définie sur un intervalleIdeRet à valeurs dansRest solution de l"équation différentielle (2.1) surIsi elle est dérivable surIet si elle vérifie

8t2I:ddt

x=f(t;x): 9

W. Oukil Équations différentielles

L"équation différentielle (

2.1 ) est dite du premier ordre car on dérive une fois par rapport à la variablet;(ddt x(t)).

Exemple 2.L"équation suivante

_x= sin(t+x) est une équation différentielle scalaire du premier ordre et dans ce cas f(t;x) = sin(t+x):

L"équation différentielle (

2.1 ) est diteautonomesi lorsque on remplacex(t)par la variablezdans la fonctionfalorsfne dépend plus de la variablet.

Exemple 3.L"équation suivante

_x= sin(t+x); est une équation différentielle scalaire du premier ordre non autonome, par contre l"équa- tion différentielle suivante _x= sin(x); est une équation différentielle scalaire du premier ordre autonome.

L"équation différentielle (

2.1 ) est ditelinéaire scalaire avec second membreou linéaire scalaire non-homogènesi elle s"écrit sous la forme _x=a(t)x+b(t); oùa:R!Retb:R!Rson deux fonctions. L"équation différentielle (2.1) est donc ditelinéaire scalaire sans second membreoulinéaire scalaire homogènesi elle s"écrit sous la forme _x=a(t)x: Une équation différentielle linéaire scalaire autonome avec ou sans second membre s"appelle en généraléquation différentielle linéaire à coefficients constants. 10

W. Oukil Équations différentielles

La résolution des équations différentielles n"est pas toujours triviale. Pour cette rai- son on s"intéresse à des résultats d"existence et d"unicité.

2.1.1 Problème de Cauchy - Cas scalaire

On appelle problème de Cauchy la donnée d"une équation différentielle et d"une condition initiale (P:C)8 :ddt x=f(t;x); x(t0) =x0; oùx02Rest la condition initiale de la solutionx(t)au tempst0. Problème: SoitIun intervalle deRcontenantt0. Est ce que le problème de Cauchy (P.C) admet une solution définie surI.

2.1.1.1 Contre exemple

On considère le problème de Cauchy suivant

(R)8 :ddt x=x2; x(0) = 1: On cherche a savoir si ce problème admet une solution sur l"intervalle[0;1]. L"équation

différentielle qui définit le problème de Cauchy précédent est une équation autonome.

La solution constante nulle de l"équation différentielle ddt x=x2n"est pas une solution

au problème de Cauchy (R) précédent car elle ne vérifie pas l"hypothèse de la condition

initiale. Pour résoudre le problème, on intègre comme suit _x(t)x

2(t)= 1()Z

0_x(t)x

2(t)dt=Z

s 0 1dt: Sachant que la condition initiale est donnée parx(0) = 1alors [1x(t)]s0=s() 1x(s)+ 1 =s()x(s) =11s: 11

W. Oukil Équations différentielles

La fonctionX(s)est définie pour touts2R=f1g, elle est continue et dérivable en particulier sur[0;1[. Commes!<1on ax(s)!+1cela implique quex(s)n"est pas définie en1. Donc la fonctionxest définie uniquement sur[0;1[(Voir figure6.1 ) et le

problème de Cauchy (R) précédent n"admet pas de solution sur[0;1]tout entier.FIGURE2.1 - On voit dans cette figure le graphe de la solutionx(t)du problème de

quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10

[PDF] Notes et exercices du cours dÉquations Différentielles

2MiB}+ `2b2`+? /Q+mK2Mib- r?2i?2` i?2v `2 Tm#@

HBb?2/ Q` MQiX h?2 /Q+mK2Mib Kv +QK2 7`QK

Tm#HB+b Qm T`BpûbX

Notes et exercices du cours

Walid OUKIL

Notes et exercices du cours d"Équations

Différentielles

Table des matières

1 Introduction

Introduction2

1.1 Note Historique

1.2 Trajectoire d"une voiture

1.3 Chute libre d"une masse sans frottements

2 Généralités

2.1 Équations différentielles scalaires du 1

2.1.1 Problème de Cauchy - Cas scalaire

2.1.1.1 Contre exemple

2.1.1.2 Théorèmes de Cauchy-Lipschitz cas scalaire

2.1.2 Sous et sur-solution

2.1.3 Lemme de Gronwall

2.1.4 Résolution de quelques équations

2.1.4.1 Équation différentielle linéaire scalaire

2.1.4.2 Équation à variables séparables

2.1.4.3 Équation de Riccati à coefficients constants

2.1.4.3.a Cas où>0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.1.4.3.b Cas où = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

2.1.4.3.c Cas où<0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

2.1.4.4 Équation de Bernoulli

TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES

3 Équations différentielles du 1

3.1 Théorème de Cauchy-Lipschitz

3.2 Existence locale et unicité

3.3 Solution maximale

3.4 Dépendance par rapport aux conditions initiales

3.5 Dépendance par rapport aux paramètres

3.6 Équations différentielles d"ordre supérieur

4 Systèmes linéaires

4.1 Exponentiel d"une matrice

4.2 Systèmes linéaires homogènes à coefficients constants

4.3 Systèmes linéaires non-homogènes

4.4 Résolution de quelques systèmes

4.4.1 Résolution d"un système linéaire homogène à coefficients constants

4.4.2 Résolution d"un système linéaire non homogène

5 Résolution d"équations linéaires scalaires d"ordre supérieur

5.1 Résolution d"équations linéaires scalaires d"ordre deux

5.2 Résolution d"équations linéaires scalaires d"ordre supérieur

6 Introduction aux notions de stabilité

6.1 Flot, champ de vecteurs et espace de phases

6.1.1 Flot d"un système dynamique

6.1.2 Champ de vecteurs et origine

6.1.3 Espace de phases

6.2 Stabilité et stabilité exponentielle- Cas générale

6.2.1 Étude de stabilité du cas linéaire scalaire

6.3 Stabilité des systèmes linéaires

6.3.1 Méthode de résolution

6.3.2 Exemple d"application

W. Oukil Équations différentielles

6.3.3 Sous-espace stable et instable

7 Exercices

Chapitre 1

Introduction

1.1 Note Historique

À la fin du XVII

W. Oukil Équations différentielles

1.2 Trajectoire d"une voiture

0vdt()p(T)p(t0) =v(Tt0);

1.3 Chute libre d"une masse sans frottements

W. Oukil Équations différentielles

F1=a1m1=Gm1m2R

2;~F2=a2m2=Gm1m2R

Rest le rayon (la distance) entre les deux corps,

W. Oukil Équations différentielles

Posonsvla vitesse du corpsM, donc

0=a;oùv0est la dérivé dev;

R=p(T)p(0) =Z

Par hypothèseR= 35mètre donc

9;80665= 2:67170s:(s:=seconde):

W. Oukil Équations différentielles

à la variablet.