Systèmes déquations (cours 3ème)
Résoudre le système suivant : 3 2 4 2 5 x y x y + = − + =− C'est un système de deux équations à deux inconnues : x et y Résolution par substitution : Elle consiste à isoler une inconnue à l'aide d'une des deux équations par exemple, en utilisant la 2 ème équation, on a : y x= −2 5 On remplace alors y par 2 5x − dans la 1
Résolution déquations avec Mathematica
ment résoudre des systèmes d'équations ou d'inéquations, en particulier polynomiales comme par exemple ⋯ N réduis Reduce x3 ⩵ 3-x, x, nombres réels Reals x⩵1 21341 Le système d'équations ou d'inéquations peut être littéral, par exemple Printed by Wolfram Mathematica Student Edition
Syst me d quations - Exercices de Brevet
système d'équations d'inconnues x et y b)Résoudre ce système , et donner le nombre des triangles et celui des rectangles Exercice 7 : Brevet des Collèges - Nancy-Metz - Sept 1991 La nouvelle pièce de 10 F a un diamètre de 23 mm et la précédente un diamètre de 26 mm En pesant 5 anciennes pièces et 4 nouvelles , on obtient 76 g
COURS 3ÈME FONCTIONS LINÉAIRE ET AFFINE AGE 1/7
Résoudre le système revient donc à déterminer le point d’intersection des droites : -D 1 d’équation y=-x+5 - et D 1 d’équation y=2x-1 La fonction x -x+5 a pour représentation graphique la droite D 1 d’équation y=-x+5 La fonction x 2x-1 a pour représentation graphique la droite D 2 d’équation y=2x-1
Notes et exercices du cours dÉquations Différentielles
bases du module d’équations différentielles enseigné en 3ème année licence mathé-matiques Il se partage équitablement en deux entrainements : Un entrainement basé sur les notions abstraites qui aide le lecteur à utiliser les théorèmes fondamentaux des équations différentielles
R solution dun probl me laide des quations
d’aujourd’hui, jamais égal au triple de l’âge de sa fille Nous pouvons cependant apporter une autre réponse Il y a 3 ans ( - 3 est négatif ), l’âge du père était égal au triple de l’âge de sa fille
Equations de droites - ac-noumeanc
on dit que a est le coefficient directeur de (d), et b l’ordonnée à l’origine Remarque : Une droite possède une infinité d’équation, mais une seule équation réduite Exercice 1 : Déterminer l’équation réduite de la droite (d) suivante : 12x – 4y + 14 = 0, et la représenter dans un repère
METHODES DE RESOLUTION EN ELEMENTS FINIS
3ème – 5ème semestre - une classe particulière de problèmes dont la formulation se fait à l’aide d’équations quasi- solution d’un système
Exo7 - Cours de mathématiques
10 Logique et raisonnements – « 2£3˘7 » – « Pour tout x2R, on a x2 ˚0 – « Pour tout z2C, on a jzj˘1 Si P est une assertion et Q est une autre assertion, nous allons définir de nouvelles assertions
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Cours de mathématiques
Première annéeExo7
2SommaireExo7
1Logique et raisonnements. ........................................9
1L ogique
9 2R aisonnements
142Ensembles et applications. ......................................19
1Ensembles
20 2Applications
233
Injection, surjection, bijection
254
Ensembles finis
295
R elationd"équivalence
363Nombres complexes. ............................................41
1L esnombres comple xes
412 R acinescar rées,équation du second degr é 45
3
Ar gumentet trigonométrie
484
Nombres comple xeset géométrie
524Arithmétique. ...................................................55
1Division euclidienne et pgcd
552
Théor èmede Bézout
593
Nombres premiers
634
Congruences
665Polynômes. ......................................................73
1Définitions
732
Arithmétique des polynômes
763
R acined"un polynôme, factorisation
804
F ractionsrationnelles
856Groupes. ........................................................89
1Gr oupe
892
Sous-gr oupes
943
Morphismes de gr oupes
964
L egr oupeZ/nZ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5L egr oupedes per mutationsSn.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7Les nombres réels. .............................................107
1L "ensembledes nombres rationnels Q.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2P ropriétésde R.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3Densité de QdansR.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4Bor nesupérieure
116 34SOMMAIRE
8Les suites. ......................................................121
1Définitions
1212
Limites
1243
Ex emplesremar quables
1304
Théor èmede conver gence
1355
Suites r écurrentes
1409Limites et fonctions continues. .................................147
1Notions de fonction
1482
Limites
1523
Continuité en un point
1584
Continuité sur un inter valle
1635
F onctionsmonotones et bijections
16610Fonctions usuelles. .............................................173
1L ogarithmeet e xponentielle
1732
F onctionscirculaires inverses
1773
F onctionshyperboliques et hyperboliques inverses
18011Dérivée d"une fonction. .........................................185
1Dérivée
1862
Calcul des dérivées
1893
Extremum local, théor èmede R olle
1934
Théor èmedes accr oissementsfinis
19712Zéros des fonctions. ............................................203
1La dichotomie
2032
La méthode de la sécante
2083
La méthode de Newton
21213Intégrales. .....................................................217
1L "intégralede Riemann
2192
P ropriétésde l"intégrale
2253
P rimitived"une fonction
2284 Intégration par par ties- Changement de variable 234
5
Intégration des fractions rationnelles
23814Développements limités. .......................................243
1F ormulesde T aylor
2442 Développements limités au voisinage d"un point 250
3 Opérations sur les développements limités 253
4
Applications des développements limités
25715Courbes paramétrées. ..........................................263
1Notions de base
2642
T angenteà une courbe paramétr ée
2713
P ointssinguliers - Branches infinies
2774
Plan d"étude d"une courbe paramétr ée
2845
Courbes en polaires : théorie
2916
Courbes en polaires : e xemples
298SOMMAIRE5
16Systèmes linéaires. .............................................303
1 Intr oductionaux systèmes d"équations linéaires 3032
Théorie des systèmes linéaires
3073
R ésolutionpar la méthode du pivot de Gauss
31017L"espace vectorielRn............................................317
1V ecteursde Rn.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
2Ex emplesd"applications linéaires
3203
P ropriétésdes applications linéaires
32618Matrices. .......................................................333
1Définition
3332
Multiplication de matrices
3363
Inverse d"une matrice : définition
3414
Inverse d"une matrice : calcul
3435 Inverse d"une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires 346
6 Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices symétriques 353
19Espaces vectoriels. .............................................361
1Espace vectoriel (début)
3612
Espace vectoriel (fin)
3653
Sous-espace vectoriel (début)
3694
Sous-espace vectoriel (milieu)
3735
Sous-espace vectoriel (fin)
3766
Application linéaire (début)
3837
Application linéaire (milieu)
3858
Application linéaire (fin)
38820Dimension finie. ................................................395
1F amillelibre
3952
F amillegénératrice
4003 Base 402
4
Dimension d"un espace vectoriel
4085
Dimension des sous-espaces vectoriels
41321Matrices et applications linéaires. ...............................419
1R angd"une famille de vecteurs
4192
Applications linéaires en dimension finie
4253
Matrice d"une application linéaire
4324
Changement de bases
43822Déterminants. ..................................................447
1Déter minanten dimension 2et3.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
2Définition du déter minant
4513
P ropriétésdu déter minant
4574
Calculs de déter minants
4625
Applications des déter minants
4666SOMMAIRE
Cours et exercices de maths
Logique &
Raisonnements
Ensembles &
Applications
Arithmétique
Nombres
complexesPolynômesEspaces vectorielsGroupes
Systèmes
linéairesDimension finie
Matrices
Applications
linéairesDéterminants
Droites et plans
Courbes pa-
ramétrésGéométrie affine
et euclidienneNombres réels
Suites I
Fonctions
continuesZéros de
fonctionsDérivées
Trigonométrie
Fonctions
usuellesDéveloppements limitésIntégrales I
Intégrales II
Suites II
Équations
différentiellesLicence Creative Commons - BY-NC-SA - 3.0 FR8SOMMAIRE
1 Logique et raisonnementsExo7
Quelques motivations
-Il est important d"avoir unlangage rigoureux. La langue française est souvent ambigüe. Prenons l"exemple de la conjonction "ou»; au restaurant "fromage ou dessert» signifie l"un ou l"autre mais pas les deux. Par contre si dans un jeu de carte on cherche "les as ou lescoeurs» alors il ne faut pas exclure l"as de coeur. Autre exemple : que répondre à la question
"As-tu10euros en poche?» si l"on dispose de 15 euros?Il y a des notions difficiles à expliquer avec des mots : par exemple la continuité d"une fonction
est souvent expliquée par "on trace le graphe sans lever le crayon». Il est clair que c"est une
définition peu satisfaisante. Voici la définition mathématique de la continuité d"une fonction
f:I!Ren un pointx02I:8"È09±È08x2I(jx¡x0jDZAE) jf(x)¡f(x0)jÇ").
C"est le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus claire! C"est lalogique. Enfin les mathématiques tentent dedistinguer le vrai du faux. Parexemple "Est-ce qu"une augmentation de20%, puis de30%est plus intéressante qu"une augmentation de50%?». Vouspouvez penser "oui» ou "non», mais pour en être sûr il faut suivre une démarche logique
qui mène à la conclusion. Cette démarche doit être convaincante pour vous mais aussi pour
les autres. On parle deraisonnement. Les mathématiques sont un langage pour s"exprimer rigoureusement, adapté aux phénomènes complexes, qui rend les calculs exacts et vérifiables. Le raisonnement est le moyen de valider - ou d"infirmer - une hypothèse et de l"expliquer à autrui. 1.Logique
1.1.Asser tions
Uneassertionest une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en même temps.Exemples :
-"Il pleut.» -"Je suis plus grand que toi.» -" 2Å2AE4 »10Logique et raisonnements
-" 2£3AE7 » -"Pour toutx2R, on ax2Ê0.»-"Pour toutz2C, on ajzjAE1.»SiPest une assertion etQest une autre assertion, nous allons définir de nouvelles assertions
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