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Mathématiques Tout-en-un ECS 2e année

Tout-en-un • ECS 2e année Cours et exercices corrigés Christian Gautier André Warusfel Serge Nicolas Professeur au lycée HENRI IV à Paris Bruno Caminade Professeur au lycée militaire de Saint-Cyr-l’École Sous la direction de Prépas commerciales et

Visa pour la prépa Maths - Dunod

VISA POUR LA PRÉPA Visa pour la prépa Maths 2016-2017 MPSI PCSI PTSI BCPST ECS Guillaume Connan 97821007476989-conan-lims indd 1 06/04/16 09:12

PRAGMATHIQUES Prépa Cours de maths et d’entretiens en prépa

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MATHS ET INFORMATIQUE MPSI - PCSI - PTSI BCPST - ECS

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Maths

2016-2017

MPSI PCSI PTSI BCPST ECS Guillaume 97821007476989-conan-lims.indd 106/04/16 09:12

© Dunod, 2013, 2016

5 rue Laromiguière, 75005 Paris

www.dunod.com

ISBN 978-2-10-074698-9

Conception et création de couverture : Atelier 3+

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CHAPI TIR EH

IR

1.1De lÕimportance de savoir calculer 1

1.2Formulaire de trigonomŽtrie 1

1.3Nombres complexes 2

1.4DŽrivation : la Foire Aux Questions 11

1.5Exercices 21

2.1Mise en place dÕune dŽfinition 75

2.2Quelles sont les fonctions intŽgrables ? 79

2.3PropriŽtŽs de lÕintŽgrale 81

2.4Valeur moyenne 82

2.5Primitive et intŽgrale 84

2.6Exercices 86

3.1Test prŽliminaire 97

3.2Contexte 97

3.3Syntaxe 98

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IV

3.4SŽmantique 100

3.5Approche formelle de la logique propositionnelle 104

3.6RŽcurrence 108

3.7Exercices 109

4.1Rappels de thŽorie des ensembles 119

4.3Quelques rŽsultats sur les cardinaux 122

4.4DŽnombrement 123

4.5Triangle de pascal Ð Bin™me de Newton 125

4.6ProbabilitŽs ? 126

4.7Avant la formalisation 126

4.8Espace probabilisable Ð Espace probabilisŽ 128

4.9ProbabilitŽs conditionnelles 130

4.10Variables alŽatoires finies 133

4.12Exercices 141

5.1Scilab 165

5.2Python : MPSI, PCSI, PTSI, BCPST 178

5.3Exercices 192

9782100746989-conan-Tdm.qxd 06/04/16 10:49 Page IV

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CHAPITRE

1

Savez-vous calculer ?

1.1 De l'importance de savoir calculer...

On dispose certes d'ordinateurs pour effectuer les calculs (et nous verrons comment le faire) mais avant, méditez cette pensée d'Alain CONNES, membre de l'Académie des sciences,

Professeur au Collège de France, à l'I.H.E.S. et à l'Université de Vanderbilt aux États-Unis. Il

a de plus reçu la Médaille Fields en 1982, le Prix Crafoord en 2001 et la Médaille d'or du

C.N.R.S. en 2004.

Quand on effectue un long calcul algébrique, la durée nécessaire est souvent très pro- pice à l'élaboration dans le cerveau de la représentation mentale des concepts utilisés. C'est pourquoi l'ordinateur, qui donne le résultat d'un tel calcul en supprimant la durée, n'est pas nécessairement un progrès. On croit gagner du temps, mais le résultat brut d'un calcul sans la représentation mentale de sa signification n'est pas un progrès.

Alain C

ONNES- Sciences et imaginaire

1.2 Formulaire de trigonométrie

Formules•sin

2 a+cos 2 a=1 •cos(a+b)=cosacosb-sinasinb •cos(a-b)=cosacosb+sin asinb•sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa •sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa •tan(a+b)=tana+tanb

1-tana

tanb, pour a+b=/π

2+kπ, k?

Z •tan(a-b)=tana-tanb

1+tanatanb, pour

a-b=/π2+kπ,k ?Z

Transformation de produits en somme

•cosa·cosb=1

2·(cos(a+b)+cos(a-b))

•sina·sinb=1

2·(sin(a+b)+sin(a-b))

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Chapitre 1• Savez-vous calculer ?

2

Transformation de sommes en produits

•cosp+cosq=2·cos(p+q

2)·cos(p-q2)

•cosp-cosq=-2·sin(p+q

2)·sin(p-q2)

•sinp+sinq=2·sin(p+q

2)·cos(p-q2)

•sinp-sinq=2·sin(p-q

2)·cos(p+q2)

Formules de duplication

•cos(2x)=cos 2 x-sin 2 x=2 cos 2 x-1=1-2 sin 2 x •sin(2x)=2 cosxsinx •tan(2x)=2 tanx 1-tan 2 x,x=/π4+kπ2pour k?Z Avec t=tan(x

2), on a :

•sinx=2t 1+t 2 ,cosx=1-t 2 1+t 2 ,tanx=2t 1-t 2

1.3 Nombres complexes

Vocabulaire et premières propriétés

Théorème Ensemble C

On définit un ensemble C

- muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de R - contenant un nombre ivérifiant i 2 =-1 - tel que chaque élément zde Cpeut s'écrire de manière uniquesous la forme z=a+ibavec aet b des nombres réels

Forme algébrique

Cette écriture unique est appelée forme algébriquedu réel z.

Le nombre

aest appellé partie réellede zet notée ?e(z).

Le nombre

best appellé partie imaginairede zet notée

Jm(z).

Remarque

Jm(z)est un nombre réel.

Remarque :À quoi sert l'unicité de la forme algébrique ? Par exemple, après maints calculs savants, vous arrivez au résultat

2x+3y-5

+i(7x-32y+1)=0avec xet ydes réels. Et bien le membre de gauche est une forme algébrique puisque de la forme réel +i·réel. Or la forme algébrique de 0 est 0+i·0.

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1.3• Nombres complexes

3

Ainsi, une équation complexe revient à deux équations réelles (bienvenue dans la deuxième

dimension... ) et donc

2x+3y-5+i(7x-32y+1)=0??

?2x+3y-5=0

7x-32y+1=0

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M(a,b)

e 1 e 2 ab O axe réelaxe imaginaire u→→

Le plan complexe

Nous avons vu que chaque nombre complexe peut être associé à un point du plan qu'on munit d'un repère (O,-→e 1 ,-→e 2 À tout nombre complexe z=a+ibon associe le point Mde coordonnées (a,b)qu'on appel- le imagedu complexe z=a+ib. On le note souvent M(z). Inversement,à tout point Mdu plan de coordonnées (a,b), on associe son affixez=a+ib qu'on note souvent z M

Enfin,à tout vecteur ?u=a-→e

1 +b-→e 2 de coordonnées (a,b)dans la base (-→e 1 ,-→e 2 )est asso- cié une affixez-→u=a+ib

Premiers calculs géométriques

- Soient ?uet ?vdeux vecteurs de coordonnées respectives (a,b)et (a ,b )dans la base -→e 1 ,-→e 2 ), alors ?u+?v=(a+a )-→e 1 +(b+b )-→e 2 , donc :

Théoreme : affixe d'une somme

z ?u+?v =z ?u +z ?v - De même, si λest un nombre réel :

Théorème : affixe du produit par un réel

z

λ?u

=λz ?u - Alors, si Iest le milieudu segment [A,B], on a :

Théorème : affixe du milieu

z I =1 2(z A +z B - Pour tous points Aet B:

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Chapitre 1• Savez-vous calculer ?

4

Théorème : affixe d'un vecteur

z -→AB=z B -z A

Conjugué d'un complexe

Définition : conjugué

On appelle conjugué du nombre complexe z=a+ible nombre z=a-ib

Géométriquement cela donne :

M(z) M(z) e 1 2

Oaxe réele

axe imaginaire À titre d'exercice, démontrez les propriétés immédiates suivantes :

Théorème

•M(z)et M (z)sont symétriques par rapport à l'axe (O,-→e 1 •z 1 +z 2 =z 1 +z 2 •z 1 zquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25