[PDF] Annales de mathématiques

Sujet et corrigé de maths bac s, obligatoire, Inde

En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants Dès qu’il rentre chez lui, Max taille sa plante 1

EXERCICE 1 (4 points) commun à tous les candidats

En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants 1) Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?

b v u n 1 a appartient à l’intervalle - cours de math en

En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants Dès qu’il rentre chez lui, Max taille sa plante 1

MATHÉMATI QUE S IND E BA C S - 2015

En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants Dès qu’il rentre chez lui, Max taille sa plante 1

Annales de mathématiques

2 En déduire que si a appartient à l’intervalle ]¡1;1[, alors la suite (un) a pour limite b/(1¡a) PARTIE B En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants

Lycée militaire de Saint-Cyr AP maths Suites TS

2 En déduire que si appartient à l’intervalle ]− s ; s[, alors la suite ( ????) a pour limite 1− Partie B En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants

Pondichery-avril-2015 - Meilleur en Maths

En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants Dès qu'il rentre chez lui, Max taille sa plante 1 Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la

Pondichéry 17 avril 2015 - AlloSchool

En déduireque si a appartient à l’intervalle ]−1 ; 1[, alorsla suite (un)apour limite b 1−a PartieB En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants

Pondichéry 2015 Enseignement spécifique

1) Quand Max rentre chez lui, il enlève à la plante le quart de sa hauteur La plante ne mesure plus que80− 1 4 ×80 = 60 cm Entre mars 2015 et mars 2016, la plante pousse de 30 cm En mars 2016, la plante mesure donc 60+30 = 90 cm En mars 2016, la plante mesure 90 cm 2) a) En mars de l’année 2015 + n,laplanteaunehauteurdeh

Pondichéry 2015 Enseignement spécifique

mars, en coupant un quart de sa hauteur La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants Dès qu’il rentre chez lui, Max taille sa plante 1) Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max nelataille? 2) Pour tout entier naturel n,onnoteh n la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l’année

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Annales

demathématiques dubaccalauréat scientifique

Édition 2015

Sujets & corrigés détaillés

Éric Guirbal

Professeur indépendant, Toulouse

Éric GUIRBAL

Professeur indépendant de mathématiques

Toulouse

eric.guirbal@lecons-de-maths.fr www.lecons-de-maths.fr

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Version du 25 mai 2017Ce document est distribué selon les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d"utilisation commerciale - Partage à l"identique 3.0 France.

Sommaire

Avertissement

v

1 Pondichéry

1

Énoncé

1

Corrigé

1 0

2 Liban

23

Énoncé

2 3

Corrigé

2 9

3 Amérique du Nord

41

Énoncé

41

Corrigé

4 9

4 Centres étrangers

63

Énoncé

6 3

Corrigé

71

5 Polynésie

81

Énoncé

81

Corrigé

8 8

6 Asie

99

Énoncé

9 9

Corrigé

1 07

7 Métropole

117

Énoncé

1 17

Corrigé

1 26 iii

8 Antilles-Guyanne139

Énoncé

1 39

Corrigé

1 49 AvertissementCe texte est en cours de relecture. Soyez sûr qu"il contient des coquilles. La mise en page n"est pas définitive et une version destinée à l"impression est en préparation. Merci de patienter jusqu"à la mi-septembre. En attendant, j"accueille avec plaisir vos remarques éventuelles et vous souhaite une bonne rentrée scolaire.

Éric GUIRBAL

le 2 septembre 2015

Toulouse

v

ÉNONCÉ

Sujet 1

Pondichéry

17 avril 2015

Exercice 1(4 points)

Commun à tous les candidats.

PARTIEA

Soitfla fonction définie surRpar

f(x)AE31Åe¡2x.Sur le graphique de la figure1 pag esui vante, on a tracé, dans un repère orthogonal (O;~ı,~|), la courbe représentativeCde la fonctionfet la droite¢ d"équationyAE3. 1. D émontrerqu ela f onctionfest strictement croissante surR. 2. J ustifierq uela dr oite¢est asymptote à la courbeC. 3. Démontrer que l"équationf(x)AE2,999 admet une unique solution®surR. Déterminer un encadrement de®d"amplitude 10¡2.

PARTIEB

Soithla fonction définie surRparh(x)AE3¡f(x). 1.

J ustifierq uela f onctionhest positive surR.

2. O ndésign epa rH la f onctiondéfi niesu rRpar

H(x)AE¡32

ln(1Åe¡2x).

Démontrer que H est une primitive dehsurR.

3.

S oitaun réel strictement positif.

1

ÉNONCÉPONDICHÉRY Exercice 2 (commun)

¡2¡11234~

ı123

|OC¢

FIGURE1

a. Donn eru neint erprétationg raphiqued el "intégrale Ra

0h(x)dx.

b.

D émontrerq ue

Za 0 h(x)dxAE32 c. O nnot eDl"ensemble des points M(x;y) du plan défini par (xÊ0 f(x)ÉyÉ3. Déterminer l"aire, en unité d"aire, du domaineD.

Exercice 2(5 points)

Commun à tous les candidats.

PARTIEASoit (un) la suite définie par son premier termeu0et, pour tout entier natureln, par la relation u nÅ1AEaunÅb(aetbréels non nuls tels quea6AE1).

On pose, pour tout entier natureln,

v nAEun¡b1¡a. 2

ÉNONCÉ

PONDICHÉRY Exercice 3 (commun)

1. D émontrerqu e,la su ite( vn) est géométrique de raisona.

2.En déduire que siaappartient à l"intervalle]¡1;1[, alors la suite (un) a

pour limiteb/(1¡a).

PARTIEB

En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant80cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de30cmau cours des douze mois suivants. Dès qu"il rentre chez lui, Max taille sa plante. 1. Quelle sela la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille 2. Pour tout entier natureln, on notehnla hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l"année 2015Ån. a.

J ustifierque ,pour tout en tiern atureln,

h nÅ1AE0,75hnÅ30. b. Conjecturer à l"aide de la calculatrice le sens de variations de la suite (hn). Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence). c. La s uite( hn) est-elle convergente ? Justifier la réponse.

Exercice 3(6 points)

Commun à tous les candidats.

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment. PARTIEA. ÉTUDE DE LA DURÉE DE VIE D"UN APPAREIL ÉLECTROMÉNAGER Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d"un type de lave-vaiselle par une variable aléatoireXsuivant une loi normale N(¹,¾2) de moyenne¹AE84 et d"écart-type¾. De plus, on aP(XÉ64)AE0,16. La réprésentation graphique de la fonction densité de probabilité deXest donnée sur la figure

2 p ages uivante

3

ÉNONCÉPONDICHÉRY Exercice 3 (commun)

10203040506070809010011012013014015016%

64

FIGURE2

1. a. E xploitantle gr aphique,dét erminerP(64ÉXÉ104). b. Q uellev aleura pprochéeen tièrede ¾peut-on proposer ? 2. O nn oteZ l av ariablealéatoir edéfinie p arZ AE(X¡84)/¾. a. Q uelleest l al oide p robabilitésuiv iepa rZ ? b.

J ustifierq ueP(XÉ64)AEP(ZÉ¡20/¾).

c. E ndédui rela v aleurde ¾, arrondie à 10¡3.

3.Dans cette question, on considère que¾AE20,1. Les probabilités deman-

dées seront arrondies à 10¡3. a. Calculer la probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre 2 et 5 ans. b. Calculer la probabilité que le lave-vaiselle ait une durée de vie supé- rieure à 10 ans. PARTIEB. ÉTUDE DE L"EXTENSION DE GARANTIE D"EL"ECTRO La lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années. L"entreprise El"Ectro propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans supplémentaires. 4

ÉNONCÉ

PONDICHÉRY Exercice 4 (obligatoire)Des études statistiques menéessur les clients qui prennent l"extension de

garantiemontrent que 11,5% d"entre eux font jouer l"extension de garantie. 1. On choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l"extension de ga- rantie (on peut assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients). a. Quelle est la probabilité qu"exactement 3 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Détailler la démarche en précisant la loi de probabilité utilisée. Arrondir à 10¡3. b. Quelle est la probabilité qu"au moins 6 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Arrondir à 10¡3. 2. L"offre d"extension de garantie est la suivante : pour 65 euros supplémen- taires, El"Ectro remboursera au client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit

399 euros,si une panne irréparable survient entre le début de la troisième

année et la fin de la cinquième année.Le client ne peut pas faire jouer cette extension de garantie si la panne est réparable. On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l"extension de garantie, et on noteYla variable aléatoire qui représente le gain al- gébrique en euros réalisé sur ce client par l"entreprise El"Ectro, grâce à l"extension de garantie. a. Justifier queYprend les valeurs 65 et -334 puis donner la loi de proba- bilité de Y. b. Cette offre d"extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour l"entreprise ? Justifier.

Exercice 4(5 points)

Candidats n"ayant pas suivi l"enseignement de spécialité. Soit un cubeABCDEFGHd"arête 1. Dans le repère (A;¡!AB,¡!AD,¡!AE), on considère les pointsM,NetPde coordonnés respectivesM(1;1;3/4),

N(0;1/2;1), P(1;0;¡5/4).

1.

P lacerM, N et P sur la fig ure

3 pag esu ivante

2. Déterminer les coordonnées des vecteurs¡¡!MNet¡¡!MP. En déduire que les points M, N et P ne sont pas alignés. 5 ÉNONCÉPONDICHÉRY Exercice 4 (obligatoire) A

BCDEFGH

FIGURE3SaisirxM,yM,zM,xN,yN,zN,xP,yP,zP

dprend la valeurxN¡xM eprend la valeuryN¡yM fprend la valeurzN¡zM gprend la valeurxP¡xM hprend la valeuryP¡yM iprend la valeurzP¡zM kprend la valeurd£gÅe£hÅf£i

AfficherkFIGURE4 -Algorithme 1

3.

O ncon sidèrel "algorithme1 de la fig ure

4 a.Exécuterà la maincet algorithme avec les coordonnées des pointsM,

N et P données ci-dessus.

b. À quoi correspond le résultat affiché par l"algorithme ? Qu"en déduire pour le triangle MNP ? 4. On considère l"algorithme 2 donné page ci-contre. Le compléter pour qu"il teste et affiche si un triangle MNP est un rectangle isocèle en M. 5.

O ncon sidèrele v ecteur

~n(5;¡8;4) normal au plan (MNP). a. Dét erminerune équ ationc artésiennedu p lan(M NP). 6

ÉNONCÉ

PONDICHÉRY Exercice 4 (spécialité)

SaisirxM,yM,zM,xN,yN,zN,xP,yP,zP

dprend la valeurxN¡xM eprend la valeuryN¡yM fprend la valeurzN¡zM gprend la valeurxP¡xM hprend la valeuryP¡yM iprend la valeurzP¡zM kprend la valeurd£gÅe£hÅf£iFIGURE5 -Algorithme 2 b.On considère la droite¢passant parFet de vecteur directeur~n. Déter- miner une représentation paramétrique de la droite¢. 6. S oitK l epoint d "intersectiondu p lan(M NP)et de l adr oite¢. a. Démont rerque l escoor donnéesdu p ointK s ont(4 /7;24/35;23/35). b. O ndonn eFK AEp27/35. Calculer le volume du tétraèdre MNPF.

Exercice 4(5 points)

Candidats ayant suivi l"enseignement de spécialité. Les nombres de la forme 2n¡1 oùnest un entier naturel non nul sont appelésnombres de Mersenne. 1. On désigne para,betctrois entiers naturels non nuls tels quepgcd(b,c)AE 1. Prouver, à l"aide du théorème de Gauss, que : Si b divise a et c divise a, alors le produit bc divise a. 2. On considère le nombre de Mersenne 233¡1. Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats de la figure

6 p agesu ivante

Il affirme que 3 divise 2

33¡1 et 4 divise 233¡1 et 12 ne divise pas 233¡1.

7 ÉNONCÉPONDICHÉRY Exercice 4 (spécialité) (2^33-1)÷3

2863311530

(2^33-1)÷4

2147483648

(2^33-1)÷12

715827882.6

FIGURE6

a.En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la ques- tion 1 ? b. J ustifierq ue,en réal ité,4 n edivi sepas 2

33¡1.

c. En remarquant que 2´¡1 (mod3), montrer que, en réalité, 3 ne divise pas 233¡1. d. C alculerla somme S AE1Å23Å(23)2Å(23)2Å(23)3Å¢¢¢Å(23)10. e.

E nd éduirequ e7 d ivise2

33¡1.

3.

O ncon sidèrele n ombrede M ersenne2

7¡1. Est-il premier ? Justifier.

4.

On donne l"algorithme de la figure

7 pa geci- contre

o ùMOD(N,k) repré- sente le reste de la division euclidienne de N park. a. Q u"affichecet al gorithmesi on saisi tnAE33 ? Et si on saisitnAE7 ? b. Que représente le CAS 2 pour le nombre de Mersenne étudié ? Que représente alors le nombrekaffiché pour le nombre de Mersenne étudié c. Q uer eprésentele CA S1 p ourle nomb rede M ersenneét udié? §§§ 8

ÉNONCÉ

PONDICHÉRY Exercice 4 (spécialité)

Variablesnentier naturel supérieur ou égal à 3 kentier naturel supérieur ou égal à 2 InitialisationDemander à l"utilisateur la valeur den

Affecter àkla valeur 2

TraitementTant que MOD(2n¡1,k)6AE0 etkÉp2

n¡1

Affecter àkla valeurkÅ1

Fin de Tant que

SortieAfficherk

SikÈp2

n¡1

Afficher " CAS 1 »

Sinon

Afficher " CAS 2 »

Fin de SiFIGURE7

9

CORRIGÉPONDICHÉRY Exercice 1 (commun)

Exercice 1

Commun à tous les candidats.

PARTIEA

1.La fonctionf, définie surR, est, à une constante multiplicative près, égale à

l"inverse de la fonctionx7!1Åe¡2xdérivable surR, donc elle est dérivable surR. Pour toutx2R, on a fquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25