La m ethode de Cardan et les imaginaires
La m ethode de Cardan et les imaginaires Daniel PERRIN 1 La m ethode de Cardan Il s’agit d’une m ethode de r esolution exacte des equations du troisi eme degr e \par radicaux", analogue de la r esolution de l’ equation du second degr e ax2 +bx+c= 0 par la formule x= b+ p b2 4ac 2a, mais qui fait intervenir des racines carr ees et cubiques
Methode Cardan Exemple
Méthode de Cardan sur un exemple Le but de cet exercice est de résoudre l’équation d’inconnue z∈ C: z3 −6z+4=0 (1) 1 (a) On pose w=−2+2i Mettre wsous forme trigonométrique (b) Résoudre dans Cl’équation : z3 =w Donner les solutions sous forme trigonométrique (c) On pose j=ei2π 3
Exercice 2 - Claude Bernard University Lyon 1
Exercice 1 (Méthode de Cardan (1501-1576) / Tartaglia (1500-1557)) Soientp;q2R Onvarésoudre: (E) z3 + pz+ q= 0 : — Vérifier que toute équation cubique se ramène à une équation de cette forme a) Soient z 1;z 2;z 3 les 3 racines de (E) (au sens où : z3 + pz+ q= (z z 1)(z z 2)(z z 3)) Exprimerlediscriminant := ( z 1 z 2)2(z 2 z 3)2(z
I—Équationscubiques
M1–ThéoriedeGalois–2011 Fiche1page1 I —Équationscubiques Exercice 1 (Méthode de Cardan (1501-1576) / Tartaglia (1500-1557)) Soientp;q2R Onvarésoudre:
La naissance des nombres complexes
Avec la méthode de Cardan L'idée de Bombelli De nos jours Un peu d'histoire 1 On pose x = a +b Démontrer que a +b est solution de (E ) si, et seulement si, a 3 +b 3 +3 (a +b )(ab 5 ) 4 = 0 2 L'idée géniale de Cardan est alors d'imposer en plus la condition ab = 5 Démontrer qu'alors les nombres A = a 3 et B = b 3 sont solutions du
Corrigédudevoir2
Ce problème illustre la méthode générale de Cardan pour résoudre les équations du troisième degré à travers l’exemple suivant : x3 ¯3x2 ¯(3¡6i)x ¯2i ˘0 (E) 1 On effectue le changement d’inconnue x ˘ z ¯h dans l’équation (E) Montrer que pour une valeur de h bien choisie, l’équation en z obtenue ne comporte pas de terme
Devoirfacultatifn 4
Le but de ce problème est de présenter la méthode de Cardan pour la résolution des équationsdedegré3 Pourtoutréely,onnotera 3 √ yl’uniqueréelxtelquex3 = y A) Rappels sur les équations du second degré Soitaetbdeuxcomplexes Onconsidèrel’équation z2 + az+ b= 0 (1) 1) Démontrerquel’équation(1
I Équations du troisième degré 0
On cherche à résoudre par la méthode dite de Cardan , l’équation d’inconnue x, x3 ¯px ¯q ˘0 On suppose qu’il existe deux nombres réels u et v vérifiant : ‰ u3 ¯v3 ˘¡q uv ˘¡p 3 Démontrer que le nombre u ¯v est solution de l’équation x3 ¯px ¯q ˘0 (u ¯v)3¯p (u ¯v)¯q ˘u3¯v3¯3u2v¯3uv2¯pu¯pv¯q ˘ ¡ u3 ¯v3
Une vision g eom etrique de la m ethode de Ferrari pour r
foul ee de Cardan, l’un de ses el eves, Ferrari, proposa une m ethode pour r esoudre l’ equation de degr e 4 en la ramenant a une equation de degr e 3 et deux de degr e 2 La m ethode de Ferrari, comme celle de Cardan, repose sur une astuce de calcul qui s’ eclaire (notamment l’apparition de l’ equation de
LA TRANSMISSION - DÉPOSE - REPOSE
Dans ce qui suit, on parlera librement de “Joint de Cardan” ou de “Cardan” La dénomination stricte est “joint de Cardan” car, d’une part, c’est Gerolamo Cardano, mathématicien italien, qui l’a inventé à Pavie en 1545 et dont il décrit les subtilités dans « De subtilitate rerum », et d’autre part le rôle de la chose est
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La methode de Cardan et les imaginaires
Daniel PERRIN
1 La methode de Cardan
Il s'agit d'une methode de resolution exacte des equations du troisieme degre \par radicaux", analogue de la resolution de l'equation du second degre ax2+bx+c= 0 par la formulex=b+pb
24ac2a,mais qui fait intervenir
des racines carrees et cubiques.1.1 Reductions
Quitte a diviser par le coecient dex3, on peut supposer qu'on a une equation de la formex3+ax2+bx+c= 0, aveca;b;c2R. Si on eectue alors le changement d'inconnue1X=x+a3
, l'equation devient : X3+ba23
X+cab3
+2a327 = 0 qui est de la formeX3+pX+q= 0. On supposera desormais qu'on est dans ce cas.1.2 La methode de Cardan
On cherche donc les racines dex3+px+q= 0. L'astuce de Cardan2 consiste a poserx=u+ven introduisant deux inconnues au lieu d'une. L'inter^et { nonevidenta priori{ est d'avoir un degre de liberte supplementaire.L'equation devient alors :
u3+v3+ (u+v)(3uv+p) +q= 0:
C'est ici que se revele l'inter^et de l'astuce. Comme on a deux inconnues u;v, on peut leur imposer une relation supplementaire, et ici, on va imposer3uv+p= 0 (relation ()), ce qui tue un des termes et il resteu3+v3+q= 0. On
constate alors qu'on conna^t la sommeu3+v3=qet le produitu3v3=p327 gr^ace a (). Quand on a la sommeSet le produitPde deux nombres, on sait qu'ils sont racines de l'equation du second degreX2SX+P= 0. Ici, u3etv3sont donc racines deX2+qXp327
(equation ()).1. Cela revient a faire appara^tre le debut d'un cube.2. Il n'est pas evident que ce soit Cardan qui ait le premier trouve cette methode.
D'autres noms circulent : Scipion del Ferro, Tartaglia et les controverses ont ete sanglantes. Mais Cardan a eu le merite de publier un traiteArs Magnaqui rassemble tous les resultats connus a l'epoque (1545). 1 On conna^t doncu3etv3, on extrait leurs racines cubiquesuetvet on obtientxcomme la sommeu+v. Mais il faut parfois faire attention, voir section 2.1.3 Quelques exemples
1.3.1 Un exemple avec une solution presentable
On resout l'equationx3+6x+2. On trouve un discriminant 36 pour () et la solutionx=3p23p4.1.3.2 Un exemple avec une solution particulierement laide
Il s'agit de l'equationx3+3x4 = 0. On trouve, avec Cardan, la racine x=3q2 + p53qp52. Belle formule, derriere laquelle se cache la solution evidente de l'equation, a savoir ... 1. (On comprend la raison de cette identite en notant que la racine cubique de 2 + p5 est dansQ(p5), c'est 1 +p5 2 Cet exemple relativise l'inter^et de la methode : les calculs auxquels elle conduit peuvent ^etre parfois compliques. De plus, pour avoir des valeurs approchees des solutions, il faut calculer des racines carrees ou cubiques, ce qui n'est pas forcement simple.1.3.3 L'exemple de Newton
Appliquons la methode a l'equation favorite de Newton :x32x5 = 0.L'equation qui donneu3;v3est alorsX25X+827
= 0. Le discriminant de () est = 253227 =64327 et on obtient : u 3=52 +p643 6 p3 ; v3=52 p643 6 p3 On en deduit l'unique racine de l'equation donnee : x=3s5 2 +p643 6 p3 +3s5 2 p643 6 p3 On verie que l'on ax2;09455148154 comme le donne aussi la methode (des tangentes) de Newton.2 Le cas \irreductible" et l'introduction des
imaginaires2.1 Discussion
Ce qui precede s'applique sans modication lorsque le discriminant =4p3+ 27q227
de l'equation () est positif qui correspond au cas ou l'equation 2 admet une unique racine reelle en vertu du lemme suivant 3:2.1 Lemme.L'equationx3+px+q= 0admet une unique racine reelle si
et seulement si on a4p3+ 27q2>0. Demonstration.On etudie la fonctionf(x) =x3+px+q, sa derivee est f0(x) = 3x2+p. Sipest positif, on voit quefest croissante, donc a un unique
zero, et 4p3+27q2est bien>0. Sinon,fest croissante jusqu'a=r p3 puis decroissante jusqu'a=r p3 , puis croissante. Elle admet un maximum relatifMenet un minimum relatifmen. Dire que l'equation a une seule racine reelle c'est dire quemetMsont de m^eme signe, donc que le produit mMest>0. Or, on a : mM=q+2p3 r p3 q2p3 r p3 =4p3+ 27q227 d'ou le resultat. On voit que, dans le cas >0 ou l'equation a une unique racine reelle, les choses se passent bien : l'equation () a deux racines reellesu3;v3, chacune admet une unique racine cubique reelleu;vet on trouvex=u+v, unique racine de l'equation comme dans l'exemple ci-dessus.2.2 Les imaginaires
En revanche, lorsque l'equation a 3 racines reelles, le discriminant est negatif et l'equation () n'a plus de solutions4. Plus de solutions? Au moins dans les reels, car on peut faire le calcul de Cardan avec les complexes, et c'est d'ailleurs pour faire ce calcul qu'ils ont ete inventes par Bombelli vers1572. En fait, Bombelli introduit une sorte de signe supplementaire a c^ote
des signes plus (piu) et moins (meno), signe qu'il appellepiu de meno(plus de moins) et qui correspond en langage moderne ai=p1. Il utilise aussi iappelemeno de meno. En langage moderne, lorsque est negatif, on trouve d'abord les deux racinesu3;v3de (), qui sont complexes conjuguees, puis on extrait leurs racines cubiquesu;v. Attention, il y a deux dicultes ici. La premiere est de trouver vraiment ces racines. Nous y revenons plus bas. La seconde tient au fait queu3admet trois racines cubiques :u;ju;j2uet de m^eme pourv. Si on calcule toutes les sommes possibles de ces racines, on va trouver 9 valeurs pourx, ce qui est trop pour une equation de degre 3. En fait, il faut se souvenir ici qu'on a impose la relationuv=p3 ,de sorte que si on eectue l'un des trois choix possibles pouru, l'autre valeurvest bien determinee, donc aussix. Precisement, on av=u. En eet,uv=p=3 est reel donc v=p3u=pu juj2est de la formeruavecrreel. Mais commev3est conjugue deu3, on av3=r3u 3=u3, on voit querest egal a 1.3. Bien entendu, a l'epoque de Cardan on ne connaissait pas la derivation, mais les
gens savaient qu'une equation du troisieme degre pouvait avoir une ou trois racines reelles.4. On parle traditionnellement de \cas irreductible" de l'equation de degre 3 dans cette
situation. 32.3 Un exemple a la mode des anciens
Pour convaincre de la valeur de leurs methodes, les anciens utilisaient souvent des equations a solutions evidentes et nous allons les copier ici. Considerons donc l'equationx37x+6 = 0, qui admet les racines evidentes1;2;3 et appliquons lui la methode de Cardan. L'equation () estX2+
6X+34327
= 0, dont le discriminant est =40027 . Les racines de () sont u3=3+103
p3 ietv3=3103 p3 iet il faut en extraire les racines cubiques. Comme on l'a dit, ce n'est pas si facile, voir paragraphe suivant. On trouve que les trois racines cubiques sontu1= 1 +2ip3 3 ,u2=ju1=32 +ip3 6 etu3=ju1=12 5ip3 6 .Pour trouver les valeurs correspondantes dev, on utilise la relation ()uv=73 ,en notant que 7=3 est exactement le carre du module desui, ce qui montre que lesvisont leurs conjugues. On a donc v 1=u1= 12ip3
3 qui donnex1=u1+v1= 2, de m^emev2=u2, qui donne
x2=3 et ennv3=u
3qui fournitx3= 1.
Inutile de dire qu'a l'epoque de Bombelli, ce calcul (qui n'etaitevidemment pas formule ainsi) passait pour magique et le nom d'imaginaires pour les nou- veaux nombres en temoigne. Il faudra plus de 200 ans pour que le statut des nombres complexes soit clairement elucide.3 Racines cubiques
On a vu ci-dessus que la methode de Cardan amene a extraire des racines cubiques de nombres complexes. Encore faut-il montrer que c'est possible et dire comment on le fait.3.1 Existence
3.1 Proposition.Soitz=a+ibun nombre complexe non nul. Alors,
zadmet trois racines cubiques distinctes,w;jwetj2w(oujest la racine cubique de1:j=12 +ip3 2 Demonstration.Dans les cours modernes sur les complexes on utilise en general la forme trigonometrique pour prouver ce resultat. Il faut bien com- prendre que les anciens algebristes ne pouvaient proceder ainsi, puisque la representation geometrique des complexes date du debut XIX-ieme avec Ar- gand et Cauchy. Voici une methode algebrique. On cherchewsous la forme w=x+iy. On doit donc resoudre le systeme : x33xy2=a(1)3x2yy3=b:(2)
Supposonsb6= 0, sinon on est dans le cas reel, qui est connu. La relation jwj3=jzjmontre quex;yverient aussi (x2+y2)3=a2+b2. Soitcla racine 4 cubique reelle (positive) dea2+b2. On doit avoirx2+y2=c, doncy2=cx2. L'equation (1) donne une equation de degre 3 enx: 4x33cxa= 0 et cetteequation admet une racine reellex. La deuxieme equation donney=b4x2c(on verie que 4x2cest non nul, c'est la conditionb6= 0). On verie qu'on
a bieny2=cx2et on en deduit le resultat.