Chapitre 43 – Le centre de masse
déterminer les coordonnées du centre de masse du système composé des 3 particules y (m) x (m) 1 2 5 kg 1 2 3 kg 4 kg CM
XERCICES ET PROBLÈMES EXERCICE3 - Dyrassa
b) Déterminer les coordonnées du point G centre de gravité du triangle ABC 4) Soit S l’ensemble des points M (x , y , z) tels que : x2 + y2 + z2 – 2x – 6y + 5 = 0 a) Vérifier que (S) est une sphère dont on précisera les coordonnées du centre I et le rayon R Vérifier que les points A, B et C appartiennent à (S)
XERCICES ET PROBLÈMES EXERCICE3 - AlloSchool
b) Déterminer les coordonnées du point G centre de gravité du triangle ABC 4) Soit S l’ensemble des points M (x , y , z) tels que : x2 + y2 + z2 – 2x – 6y + 5 = 0 a) Vérifier que (S) est une sphère dont on précisera les coordonnées du centre I et le rayon R Vérifier que les points A, B et C appartiennent à (S)
1S devoir n°9 lundi 18 mai 2015 ;-2) , B(4 1) et C(4 ;4)
a Déterminer les coordonnées du centre du cercle ainsi que son rayon b Montrer que est le cercle circonscrit au triangle ABC Exercice 2 : (2 points) On considère dans un repère orthonormé la droite d’équation artésienne 3x+5y-1=0 1 Déterminer une équation cartésienne de la droite parallèle à et passant par O 2
PRODUIT SCALAIRE DANS ???? - AlloSchool
b) En déduire les coordonnées du point Ω le centre du cercle circonscrit au triangle 2) Déterminer les coordonnées du point centre de gravité de 3) Déterminer les coordonnées du point , orthocentre du triangle 4) Vérifier que les points Ω , et sont alignés
Exercices sur les équations de cercles Exercice 1
et les points A, B, C et D sont sur un même cercle 2) Déterminer une équation de ce cercle C Les diagonales du rectangle sont des diamètres du cercle Première méthode : Le centre du cercle est le milieu de AB : Ses coordonnées sont : AABB; 22 x x y y soit 1922 ; 22 soit 5;0
Chapitre 8 Vecteurs Coordonnées d un vecteur
Démontrer que les droites (E F) et (GM) sont parallèles : a) en utilisant les coordonnées; b) en exprimant le vecteur EF en fonction du vec- teur GM b) cavâ;l) A (-4 etB(—3;1) a) Déterminer les coordonnées du point C image de B par l'homothétie de centre A et rapport 2 b) Déterminer les coordonnées du point D, image
Dans toute cette série dexercices, les repères considérés
ij,), trouver une équation du cercle C de centre A(1 ; 2) et de rayon 3 et déterminer les coordonnées des points d'intersection de C avec les axes de coordonnées Exercice 17 Soient A(3 ; 1) et B(−2 ; 4) dans un repère orthonormé (O; rr ij,) Déterminer l'ensemble Γ des points M du plan dont les coordonnées (x, y) vérifient :
2éme Bac PC-SVT Géométrie Dans l’espace Exercice 1
Montrer que le centre de la sphère S est 3; 3;3 et son rayon est R 5 3) a) Montrer que le plan OAB est tangeant à la sphère S b) Déterminer les coordonnées du point H point de contact de la sphère S et du plan OAB
Exercice 1 : (4 points) - hmalherbefr
Dans le plan muni d'un repère, les coordonnées des points A et B sont A(5; -6) et B(-2; 6) Le point A est le milieu de [BC] 1) Déterminer les coordonnées des vecteurs AB et CA 2) En déduire les coordonnées du point C Exercice 2: déterminer les coordonnées d’un point (6 points)
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Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 1
Note de cours rédigée par Simon Vézina
Chapitre 4.3 Le centre de masse
La définition du centre de masse
Le centre de masse point de référence imaginaire situé à la position moyenne de la masse du corps. Voici quelques caractéristiques du centre de masse :Cette positiours au centre du corps.
Le centre de masse corps homogène (masse volumique constante) qui possède un haut niveau de symétrie est situé au centre géométrique du corps (ex : sphère, cube, tige) nt situé sur le corps lui- même (ex : Boomerang). mouvement libre (aucun axe de rotation imposé1 sur le corps), alors le centre de masse du corps effectue un mouvement de translation tandis que les autres points du corps effectuent une rotation autour du centre de masse. h h/3 CM * CM Exemple : Translation du centre de masse et rotation autour du centre de masse Un triangle homogène lancé dans la gravité.Un plongeur effectue un saut avec de la rotation.
Le positionnement expérimental du centre de massePour évaluer la position du centre de masse
expérimentalement , il suffit de pousser sur le corps à trois endroits différents et dans trois directions différentes sans que celui- r tersection des trois droites es points des forces s forces localise le centre de masse.1 Exemple de corps ayant un axe de rotation imposé : porte et charnière.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 2Note de cours rédigée par Simon Vézina
Densité de masse
La densité de masse est une mesure de masse moyenne par unité de longueur L, de surface A ou de
volume Ve méquations suivantes :
Densité de masse Équation
Densité linéaire de masse :
@m/kgP LmDensité surfacique de masse :
@2m/kgV AmDensité volumique de masse :
@3m/kgU Vm où m : Masse du corps homogène (kg) L : Longueur du corps (m) A : Surface (aire) du corps (m2) V : Volume du corps (m3)La position moyenne
Pour évaluer la position du centre de masse, il faut évaluer la moyenne des positions des masses en
utilisant la masse comme facteur de pondération. Plus il y a de masse à un endroit, plus le centre de
masse sera près de cet endroit.Exemple :
kg101M est située à la position m51x kg52M est située à la position m22x Le centre de masse associé à la masse totale 21MMMsera plus près de m5x , car la masse de 1M est plus importante que la masse de 2M
Afin de déterminer comment on peut évaluer une position pondérée par une masse, nous allons faire
une analogie avecSituation 1 : La moyenne pondérée de deux examens. Dans son cours de physique, Albert a obtenu la
note de 80% au premier examen, qui vaut pour 15 points ; il a obtenu la note de 88% au deuxième examen, qui vaut 25 points. On désire déterminer sa moyenne pour le cours.Nous avons :
151Pet %801N puis 252P
et %882N
Ce qui nous donne la moyenne suivante :
212211
PP NPNPN 2515
%8825%8015 N %85N Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 3
Note de cours rédigée par Simon Vézina
La position du centre de masse
Le centre de masse e par la masse du corps et se calcul de la façon suivante : Centre de masse en x Centre de masse en y Masse totale CM 1tot 1N ii ix m xm CM 1tot 1N ii iy m ym N i imm 1 tot où CMx : x (m) CMy y (m) im : La masse i (kg) ix x bjet i (m) iy : La position selon y i (m) N Ni..1 totm : La masse totale de tous les objets (kg)Remarque :
ix et iy peuvent être également la position du centre de masse d corps complexe. s, il est utile de calculer le centre de masse de chaque objet individuellement et de calculer à nouveau le centre de masse du système.Situation 3 :
3 particules.
xy. Une particule de 4 kg est située à la position (x; y) = (1 m ; 2 m) et une particule de3 kg est située à la position (x; y) = (2 m ; 0). On désire
déterminer les coordonnées du centre de masse du système composé des 3 particules. y (m) x (m) 1 21 2 5 kg
3 kg 4 kg CMLa masse du système :
kg12345 3 1 tot i immLe CM selon x :
m8,012231405
tot 3 1 CM m xm xi iiLe CM selon y :
m667,012032405
tot 3 1 CM m ym yi ii Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 4Note de cours rédigée par Simon Vézina
Situation 4 : .
Un fil de métal homogène et de section uniforme est plié afin de former un triangle représenté ci-contre. On désire déterminer les coordonnées du centre de masse du triangle. y (m) x (m) 1 21 2 3
Schéma :
y (m) x (m) 1 21 2 3 A
B C y (m) x (m) 1 21 2 3 A
B C y (m) x (m) 1 21 2 3
CM CM des tiges Masses ponctuelles Position CM finalePour trouver le centre de masse du triangle, nous pouvons découper ce triangle en trois tiges. Nous
allons évaluer le centre de masse de chaque tige et les considérer comme des masses ponctuelles.
Puisque les tiges sont homogènes, le centre de masse de chaque tige sera au centre géométrique de la
tige :Tige A :
m3AL m5,1CMAxP3AA Lm
m0CMAyTige B :
m83,282222 B L m2CMBxP83,2BB Lm
m1CMByTige C :
m24,252122 C L m5,0CMCxP24,2CC Lm
m1CMCyNous pouvons évaluer le CM :
PP24,283,23
CB,A, tot i imm07,8totm
P P PPP 07,8 3,11 07,85,024,2283,25,13
tot CB,A, CM m xm xi ii m4,1CMx P P PPP 07,8 07,5 07,8124,2183,203
tot CB,A, CM m ym yi ii m628,0CMy Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 5Note de cours rédigée par Simon Vézina
Situation A : . Une plaque carrée en
aluminium (masse volumique3kg/m2700U
cylindre de rayon m6,0Rà une distance
dégale à 1 m du centre de
la plaque à 45o -contre).Évaluez le centre de masse (
CMx et CMy ) de la plaque par rapport au coin inférieur gauche de la plaque si celle-ci possède une largeur Légale à 4 m et une épaisseur
eégale à 0,1 m.
Pour résoudre ce problème, on peut considérer la comme étant une masse négative.Plaque sans trou : (masse positive)
1,04270022
trousansplaque eLLLemU kg4320trousansplaquem2/42/CMtrousansplaque Lx
m2CMtrousansplaquex2/42/CMtrousansplaque Ly
m2CMtrousansplaqueyLe trou de la plaque : (masse négative)
1,06,0270022
trouUS eRm kg4,305trou m q 45cos12/445cos2/CMtroudLx m71,2CMtroux q 45sin12/445sin2/CMtroudLy m71,2CMtrouyLa plaque avec trou :
4,3054320troutrousansplaquetot mmm
kg6,4014totm6,4014
71,24,30524320
tot 1 CM m xm x N i ii m946,1CMx6,4014
71,24,30524320
tot 1 CM m ym y N i ii m946,1CMy Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 6Note de cours rédigée par Simon Vézina
La stabilité et polygone de sustentation
Pour être en équilibre statique, il faut satisfaire 0F et 0zune surface, ces deux conditions sont satisfaites lorsque le centre de masse du corps est situé au-dessus
du polygone de sustentation.