Chapitre 2 Les Similitudes - lewebpedagogiquecom
Une similitude s qui a deux points invariants distincts A et B (i e s(A) = A, et s(B) =B ), est l’identité ou la réflexion d’axe (AB) On en déduit qu’une similitude qui a trois points non alignés invariants est l’identité, et qu’une similitude directe qui a deux points invariants est l’identité Démonstration :
Terminale S – Spécialité Cours : SIMILITUDES PLANES
Une similitude directe est une similitude qui conserve les angles orientés Une similitude indirecte est une similitude qui transforme un angle orienté en un angle opposé L’image d’un triangle ABC par une similitude directe est un triangle directement semblable et son image par une similitude indirecte est un triangle inversement semblable
Exercices sur les similitudes directes
la similitude directe de centre A et qui transforme H en B a) Déterminer les élèments caracteristiques de S 1 b) Montrer que S C I 1 En déduire l’image de la droite (BC) par S 1 2° Soit S 2 la similitude directe de centre A qui transforme B en C a) Déterminer l’image de la droite (BI) par S 2 b) Soit M un point de (BI) et M S M 2 c
Similitudes 1 Transformations, g´en´eralit´es (Rappels )
k rapport de la similitude et θ angle de la similitude Théorème: Soit A, B, A’ et B’ des points du plan tels que A6=B et A’6=B’ Il existe une unique similitude directe s transfor-mant A en A’ et B en B’ Une similitude indirecte peut s’écrire sous la forme sor où s est une similitude directe et r une réflexion P Louison
Fiche 12 : Similitudes - Studyrama
Méthode : « Déterminer les éléments caractéristiques d’une similitude directe définie géométriquement », fiche exercices n°12 « Similitudes »
Similitudes
La réciproque d’une similitude directe est une similitude directe La réciproque d’une similitude indirecte est une similitude indirecte Théorème: Soit A, B, C et D des points du plan tels que AB et CD Il existe une unique similitude directe qui envoie A sur C et B sur D
EXERCICES - maths-simplifiemeabilisfr
1 : Montrer que T est une similitude directe de P dont on donnera les éléments caractéristiques On notera A le point invariant de T Donner une mesure de l'angle ( AM ,MM' ), en supposant que M ≠ A 2 : a) Construire M' pour un point M donné b) Déterminer l'image de D' par T de la droite D d'équation y = x Construire D'
Les similitudes
4 1 RAPPELS SUR LES NOMBRES COMPLEXES 1 3Opérations sur les conjugués, les modules et les arguments Propriété 1 : Opérations sur les conjugués, modules et arguments Œ Le conjugué de la somme et du produit ne pose pas de problème
LES SIMILITUDES PLANES - Free
d’une similitude directe avec une indirecte est une similitude indirecte 2 5 2 Propri´et´e : angle d’une similitude directe Soit s la similitude directe qui transforme les points A et B en A’ et B’ et M un point quelconque du plan Le point M′ = s(M) v´erifie : −−→ AM, −−−→ A′M′ = −−→ AB, −−−→ A
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Les similitudes
Table des matières
1 Rappels sur les nombres complexes
31.1 Expression d"un nombre complexe
31.2 Représentation d"un nombre complexe
31.3 Opérations sur les conjugués, les modules et les arguments
41.4 Application des complexes en géométrie
42 Transformations élémentaires
52.1 Définition
52.2 Isométrie
52.3 La translation
62.3.1 Définition et propriétés
62.3.2 Fonction complexe associée
72.4 La rotation
72.4.1 Définition et propriétés
72.4.2 Fonction complexe associée
82.4.3 Exemple
82.5 La réflexion
92.5.1 Définition et propriétés
92.5.2 Fonction complexe associée
102.6 L"homothétie
102.6.1 Définition et propriétés
102.6.2 Fonction complexe associée
112.6.3 Exemple
113 Similitude
123.1 Définition
123.2 Conséquences
123.3 Propriétés
133.3.1 Le produit scalaire
133.3.2 Les angles géométriques
133.3.3 Repère orthogonal
133.3.4 Conséquences
134 Écriture complexe d"une similitude
134.1 Similitude et triangle
134.2 Écriture complexe d"une similitude
14 1 25 Similitudes directes et indirectes
155.1 Définitions
155.2 Théorème
166 Similitudes directes
176.1 Propriétés d"une similitude directe
176.2 Comment définir une similitude directe?
186.2.1 Théorème
186.3 Figures clés de la similitude
197 Configuration de cercles sécants
207.1 Théorème
207.2 Application
21 PAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ
3 1Rappels sur les nombres complexes
1.1Expression d"un nombre complexe
êForme algébrique :
z=a+ib aveca=<(z)partie réelle dezetb==(z)partie imaginaire dez.êForme trigonométrique :
z=r eiq=r(cosq+isinq) =r eiq avecr=jzjmodule dezetq=arg(z)argument dez êFormules de passage d"une ériture à l"autre : r=pa2+b2et cosq=ar
et sinq=br êComplexe conjuguéz=aibouz=r eiqon a alorszz=jzj2 1.2 Représentation d"un nombre complexe êLe plan muni du repère ortho- gonal direct(O,!u,!v)est ap- pelé leplan complexe.êz=a+ibest représenté par le
pointMde coordonnées carté- siennes(a,b)êz=r eiqest représenté par
le pointMde coordonnées po- laires(r,q)êOn dit queMest l"image dez,
et quezestl"affixedu pointM.On note alorsM(z).
ConséquenceLe pointM0d"affixe le complexe conjugué dez,zest alors desymétrique par rapport à l"axe des abscisses du pointM.PAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ
41 RAPPELS SUR LES NOMBRES COMPLEXES1.3Opérations sur les conjugués, les modules et les arguments
Propriété 1 :Opérations sur les conjugués, modules et arguments. êLe conjugué de la somme et du produit ne pose pas de problème.En effet, on a :z+z0=z+z
0,zz=zz
0 zz 0 =z z0(z06=0),z
n=(z)n êLe module du produit est le produit des modules mais pour l"addition, on ne peut rien dire.On a :
jzz0j=jzj jz0j,jznj=jzjn zz0=jzjjz0j,jzj=jzj
Attention :jz+z0j6jzj+jz0j
êL"argument du produit est la somme des argument. De même le quotient des arguments est la différence des arguments. argzz0=argz+argz0(mod 2p), argzn=nargz(mod 2p) arg zz 0 =argzargz0(mod 2p), argz=argz(mod 2p)1.4Application des complexes en géométrie êSoit 2 pointsAetBd"affixes respectiveszAetzB. On a alors : z !AB=zBzAetAB=jzBzAj êSoit 2 vecteurs!uet!vd"affixes respectiveszetz0. On a alors :1)(!u,!v) =argz0z
(mod 2p) 2) !uet!vsontcolinéairessi :z0z est réel 3) !uet!vsontperpendiculairessi :z0z est imaginaire pur. êSoit quatre pointsA(zA),B(zB),A0(zA0)etB0(zB0). On a alors : !AB,!A0B0) =argzB0zA0z BzA (mod 2p)PAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ 5 Remarque :Nous pouvons résumer par un schéma l"intervention des nombres complexes en géométrie.Propriétés géométriques!Traduction!Relations entre affixesCalculs dansC!Traduction!Nouvelle prop.géométriques2Les transformations élémentaires et les fonctions
complexes associées 2.1 Définition Définition 1 :Une transformation du plan est une bijection du plan dans lui-même. À tout pointM, on associe un unique pointM0, et tout pointM0a un unique antécédent. SiTest la transformation, on noteT1la transformation réciproque. M T!T1M0avecT(M) =M0etT1(M0) =MExemple :La translation, la rotation,la symétrie centrale, la réflexion ou
l"homothétie sont des transformations. Par contre la projection orthogonale n"est pas une transformation car une fois le point projeté, on ne peut plus revenir en arrière : l"antécédent n"est pas unique. Remarque :La transformation qui au pointMassocie lui-même s"appelle l"identité. Elle est notée :Id 2.2 Isométrie Définition 2 :Une isométrie est une transformation que conserve les distances. Soitiune isométrie : 8< :A i!A0 B i!B0on a alors :A0B0=ABRemarque : êLes isométries élémentaires sont : les translations, les rotations, les symé- tries centrales et les réflexions.êOn distingue deux sortes d"isométrie :
1)Les déplacements: isomètries que conservent les angles orientés :
!O0A0,!O0B0) = (!OA,!OB)On range dans cette catégorie : les translations et les rotationsPAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ
62 TRANSFORMATIONS ÉLÉMENTAIRES2)Les antidaplacements: isométries qui changent les angles orientés en
leur opposé. (!O0A0,!O0B0) =(!OA,!OB) On range dans cette catégorie : les réflexions et les symétries glissées êL"image d"une droite par une isométrie est une droite. L"image d"un cercle par une isométrie est un cercle de même rayon.Propriétés :Une isométrie conserve :
êLes distances :A0B0=AB
êLes aires :A=A0
êLe parallèlisme : si(D)//(D)alors(D0)//(D0)êL"orthogonalité : si(D)?(D)alors(D0)?(D0)
êLes angles géométriques :[AOB=\A0O0B0
êLe milieu : siI=m[AB]alorsI0=m[A0B0]
êL"alignement : siA,BetCsont alignés alorsA0,B0etC0le sont aussi. êLe contact : siIest l"intersection des droites(D)et(D)alorsI0est l"inter- section de(D0)et(D0) 2.3La translation
2.3.1Définition et propriétés Définition 3 :Une translationtde vecteur!uest une transformation
définie par : M t!M0tel que!MM0=!uExemple :Image d"un trianglePropriétés :êPour tous pointsAetB, on a :!A0B0=!AB
êLa translation n"admet pas de point fixe.
êLa translation réciproque est la translation de vecteur!u.PAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ
2.4 LA ROTATION7êL"image(D0)d"une droite(D)par une translation est :
1.(D0)//(D)si la direction de(D)est différente de!u
2.(D0) = (D)si(D)et!uont même direction.
2.3.2Fonction complexe associée
Si le vecteur
!u(b)de la translation a pour affixeb, alors l"imageM0(z0)du pointM(z)par la translationt, verifie : !MM0=!u z 0z=b z 0=z+b Conclusion :La fonction complexe associée à la tranlation est de la forme z 0=z+b 2.4La rotation
2.4.1Définition et propriétés Définition 4 :Une rotationrde centreWet d"angleqest une transforma-
tion définie par : M r!M0tel que(!WM,!WM0) =qetWM0=WMExemple :Image d"un triangle (q=p3 )Propriétés : êLa rotation possède un point invariant : son centre.