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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés1Intérieur et adhérence

Exercice 1[ 01113 ][correction]

SoientEun espace vectoriel normé etFun sous-espace vectoriel deE.

Montrer que si

◦F?=∅alorsF=E.

Exercice 2[ 01114 ][correction]

SoientAetBdeux parties d"un espace vectoriel normé(E,N). a) On supposeA?B. EtablirA◦?B◦et¯A?¯B. b) Comparer(A∩B)◦etA◦∩B◦d"une part puis(A?B)◦etA◦?B◦d"autre part. c) ComparerA?Bet¯A?¯Bd"une part puisA ∩Bet¯A∩¯Bd"autre part.

Exercice 3[ 01115 ][correction]

Montrer que siFest un sous-espace vectoriel deEalors son adhérence¯Fest aussi un sous-espace vectoriel deE.

Exercice 4[ 03279 ][correction]

SoitAune partie d"un espace vectoriel norméE. Etablir

Vect(¯A)?VectA

Exercice 5[ 01116 ][correction]

SoitAune partie d"un espace vectoriel norméE. Etablir que sa frontière Fr(A) est une partie fermée.

Exercice 6[ 01117 ][correction]

SoitFune partie fermée d"un espace vectoriel norméE. Etablir

Fr(Fr(F)) =Fr(F)

Exercice 7[ 01118 ][correction]

SoientAun ouvert etBune partie d"un espace vectoriel norméE. a) Montrer queA∩¯B?A∩B b) Montrer queA∩B=∅ ?A∩¯B=∅.Exercice 8[ 01119 ][correction] On suppose queAest une partie convexe d"un espace vectoriel norméE. a) Montrer que¯Aest convexe. b) La partieA◦est-elle convexe?

Exercice 9[ 01120 ][correction]

SoientAetBdeux parties non vides d"un espace vectoriel norméE.

Etablir

d(¯A,¯B) =d(A,B) (en notantd(A,B) = infx?A,y?Bd(x,y))

Exercice 10[ 01121 ][correction]

SoientA1,...,Andes parties d"un espace vectoriel norméE. a) Etablirn i=1A i=n? i=1A i. b) Comparern i=1A ietn? i=1A i.

Exercice 11[ 01122 ][correction]

Soientf:E→Fcontinue bornée etA?E,Anon vide. Montrer ?f?∞,A=?f?∞,¯A

Exercice 12[ 02943 ][correction]

Déterminer l"adhérence et l"intérieur de l"ensembleDn(C)des matrices diagonalisables deMn(C).

Exercice 13[ 03026 ][correction]

SoitAune partie d"un espace norméE.

a) Montrer que la partieAest fermée si, et seulement si, FrA?A. b) Montrer que la partieAest ouverte si, et seulement si,A∩FrA=∅ Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés2Exercice 14[ 03470 ][correction]

DansM2(C), on introduit

U={M? M2(C)/SpM?U}etR={M? M2(C)/?n?N?,Mn=I2}

a) Comparer les ensemblesRetU. b) Montrer queUest une partie fermée deM2(C). c) Montrer queUest inclus dans l"adhérence deR. d) Qu"en déduire? Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Corrections3Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

Supposons

◦F?=∅et introduisonsx?◦F, il existeε >0tel queB(x,ε)?F. Pour toutu?Etel queu?= 0E, considérons y=x+ε2 u?u? on ay?B(x,ε)doncy?F, orx?Fdoncu?F. AinsiE?FpuisE=F.

Exercice 2 :[énoncé]

a) Siaest intérieur àAalorsAest voisinage deaet doncBaussi. Par suite a?B◦. Siaest adhérent àAalorsaest limite d"une suite convergente d"éléments deA. Celle-ci est aussi une suite convergente d"éléments deBdonca?¯B. On peut aussi déduire ce résultat du précédent par un passage au complémentaire. b)A∩B?A,Bdonc(A∩B)◦est inclus dansA◦∩B◦. Inversement siaun élément deA◦∩B◦, alorsAest voisinage deaetBaussi doncA∩Best voisinage deaet doncaest intérieur àA∩B. Ainsi(A∩B)◦etA◦∩B◦sont égaux. A?A?BetB?A?BdoncA◦?B◦est inclus dans(A?B)◦. L"égalité n"est pas toujours vraie. Un contre-exemple est obtenu pourA= ]0,1]etB= [1,2[où A ◦?B◦= ]0,1[?]1,2[alors que(A?B)◦= ]0,2[. c) Par passage au complémentaire des résultats précédents :A?Bet¯A?¯Bsont égaux alors que¯A∩¯Best inclusA∩Bsans pouvoir dire mieux. On peut aussi mener une résolution directe en exploitant a) et la caractérisation séquentielle des points adhérents pour l"inclusion deA?Bdans¯A?¯B. Exercice 3 :[énoncé]¯F?Eet0E?¯Fcar0E?F.

Soientλ,μ?Ketx,y?¯F.

Il existe deux suites(xn)et(yn)d"éléments deFvérifiant x n→xetyn→y

On a alors

λx n+μyn→λx+μy avecλxn+μyn?Fpour toutn?N. On en déduitλx+μy?¯F.Exercice 4 :[énoncé]

PuisqueA?VectA, on a¯A?VectA.

Puisque VectAest un sous-espace vectoriel, on montrer aisément queVectAl"est aussi. Puisqu"il contient¯A, on obtient

Vect(¯A)?VectA

Exercice 5 :[énoncé]

On a Fr(A) =¯A\◦A=¯A∩CE◦A=A∩C EA On en déduit que Fr(A)est fermée par intersection de parties fermées

Exercice 6 :[énoncé]

On sait

Fr(F) =¯F∩C

EF donc

Fr(Fr(F)) =Fr(F)∩C

EFr(F)

Or Fr(F)?¯F=FdoncCEF?CEFr(F)puisC

EF?C EFrF.

De plus FrF?C

EFdonc FrF?C

EFrFpuis

Fr(Fr(F)) =Fr(F)

Exercice 7 :[énoncé]

a) Soitx?A∩¯B. Il existe une suite(bn)?BNtelle quebn→x. Orx?AetA est ouvert donc à partir d"un certain rangbn?A. Ainsi pournassez grand b n?A∩Bet puisquebn→x,x?A∩B. b) SiA∩B=∅alorsA∩¯B?A∩B=∅=∅.

Exercice 8 :[énoncé]

a) Soienta,b?¯A. Il existe(an)?ANet(bn)?ANtelles quean→aetbn→b.

Pour toutλ?[0,1],

λa+ (1-λ)b= limn→+∞(λan+ (1-λ)bn) avecλan+ (1-λ)bn?[an,bn]?Adoncλa+ (1-λ)b?¯A. b) Soienta,b?A◦. Il existeαa,αb>0tel queB(a,αa),B(b,αb)?A. Posons

α= min(αa,αb)>0.

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Corrections4Pour toutλ?[0,1]et toutx?B(λa+ (1-λ)b,α)on ax= (λa+ (1-λ)b) +αu

avecu?B(0,1). a Aest convexe doncλa?+(1-λ)b?=x?A. AinsiB(λa+(1-λ)b,α)?Aet donc λa+ (1-λ)b?A◦. FinalementA◦est convexe.

Exercice 9 :[énoncé]

Pour toutx?¯Aety?¯B, il existe(an)?ANet(bn)?BNtelles quean→xet b n→y. On a alorsd(x,y) = limn→+∞d(an,bn)ord(an,bn)>d(A,B)donc à la limite d(x,y)>d(A,B)puisd(¯A,¯B)>d(A,B)et finalement l"égalité.

Exercice 10 :[énoncé]

a) n? i=1A iest un fermé qui contientn? i=1A idoncn i=1A i?n? i=1A i.

Pour toutj? {1,...,n},Aj?n

i=1A ietn i=1A iest fermé doncA j?n i=1A ipuis n i=1A i?n i=1A i. b) n? i=1A iest un fermé qui contientn? i=1A idoncn i=1A i?n? i=1A i. Il ne peut y avoir égalité : pourA1=Q,A2=R\Qon aA

1∩A2=∅etA

1∩A

2=R.

Exercice 11 :[énoncé]

Pour toutx?A,x?¯Aet donc|f(x)|6?f?∞,¯A. Ainsi ?f?∞,A6?f?∞,¯A Soitx?¯A, il existe(un)?ANtel queun→xet alorsf(un)→f(x)par continuité def. Or|f(un)|6?f?∞,Adonc à la limite|f(x)|6?f?∞,Apuis ?f?∞,¯A6?f?∞,AExercice 12 :[énoncé] Commençons par montrer queDn(C)est dense dansMn(C). SoitA? Mn(C). La matriceAest trigonalisable, on peut donc écrire A=PTP-1avecP?GLn(C)etT? T+n(C). Posons alors pourp?N?, on pose A Par opérations,Ap-----→p→+∞Aet pourpassez grand les coefficients diagonaux de la matrice triangulaireT+Dpsont deux à deux distincts, ce qui assure A p? Dn(C). AinsiA?D n(C)et doncD n(C) =Mn(C). Montrons maintenant que l"intérieur deDn(C)est formée des matrices possédant exactementnvaleurs propres distinctes.

SoitA? Dn(C).

Cas|SpA|< n.

On peut écrireA=PDP-1avecP?GLn(C)etD=diag(λ,λ,λ2,...,λn).

Posons alorsDp=D+(

(((0 1/p

0 0 (0)

(0) 0) )))etAp=PDpP-1. La matriceDpn"est pas diagonalisable cardimEλ(Dp)< mλ(Dp)doncApnon plus et puisqueAp→A, on peut affirmer que la matriceAn"est pas intérieure à D n(C).

Cas|SpA|=n.

Supposons par l"absurde queAn"est pas intérieur àDn(C). Il existe donc une suite (Ap)de matrices non diagonalisables convergeant versA. Puisque les matricesAp ne sont pas diagonalisables, leurs valeurs propres ne peuvent être deux à deux distinctes. Notonsλpune valeur propre au moins double deAp. PuisqueAp→A, par continuité du déterminantχAp→χA. Les coefficients du polynôme caractéristiqueχApsont donc bornés ce qui permet d"affirmer que les racines de Aple sont aussi (car siξest racine deP=Xn+an-1Xn-1+···+a1X+a0, on a|ξ|6max(1,|a0|+|a1|+···+|an-1|)). La suite complexe(λp)étant bornée, on peut en extraire une suite convergente(λ?(p))de limiteλ. On a alors A p-λ?(p)In→A-λIn. Or les valeurs propres deAétant simples, on a dimker(A-λIn)61et donc rg(A-λIn)>n-1. La matriceA-λInpossède donc un déterminant extrait non nul d"ordren-1. Par continuité du déterminant, on peut affirmer que pourpassez grand rg(A?(p)-λ?(p)In)>n-1 et doncdimker(A?(p)-λ?(p)In)61ce qui contredit la multiplicité de la valeur propreλ?(p). C"est absurde et on conclut que la matriceAest intérieure àDn(C).

Exercice 13 :[énoncé]

a) SiAest fermée alors¯A=Adonc FrA=A\A◦?A. Inversement, si Fr(A) =¯A\A◦?Aalors puisqueA◦?Aon a¯A?A. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dDquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28