Topologie
Exercice 54 [ 01153 ] [correction] Soient A et B deuxpartiesferméesd’unespacevectorielnormé E dedimension finie Onsuppose A ∪ B et A ∩ B connexespararcs,montrerque A et B sont
TD 4: Topologie - Max Planck Society
TD 4: Topologie Exercice 1 Pour chacun des sous-ensembles suivants de R2, indiquer s’il est ouvert, fermé, les deux ou aucun
1 Espaces m´etriques 1 Distance, boules, ouverts, ferm´es
Proposition 1 8 Les ouverts de (A,δ) sont exactement les ensembles O ∩ A ou` O est un ouvert de (E,d), c’est a dire les ”traces sur A” des ouverts de E Cette topologie de A s’appelle la ”topologie induite par E sur A”, ou plus simplement la ”topologie induite” Les ferm´es de (A,δ) sont exactement
TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE - Université Paris-Saclay
Remarquer que A est un ouvert de R et D est un ferm´e de R Ils sont a fortiori ouvert (resp ferm´e) dans E En revanche, B et C ne sont ni ouverts, ni ferm´es dans R Proposition 8 Soit E un sous-ensemble de R Une partie A ⊂ E est ouverte (resp ferm´ee) dans E si et seulement si il existe un ouvert U
Exercices de licence - univ-lillefr
Exercice 9 Udans N est dit ouvert s’il est stable par divisibilit´e, c a d tout diviseur de n∈ Uest encore dans U Montrer qu’on a d´efini ainsi une topologie sur N qui n’est pas la topologie discr`ete Exercice 10 On consid`ere dans N∗, la famille de progressions arithm´etiques P a,b= {a+bn/n∈ N∗},
Exo7 - Exercices de mathématiques
Topologie Exercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur www maths-france * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exercice 1 ** Montrer que la boule unité d’un espace vectoriel normé est un convexe de cet espace Correction H [005839] Exercice 2 *** I
Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 13 Soit Rn considéré comme groupe additif muni de sa topologie usuelle Soit G un sous-groupe de Rn 1 On suppose que 0 est isolé dans G Montrer que tout point est isolé, que G est discret et fermé dans Rn On se restreint maintenant au cas n=1 2 Montrer qu’alors, G est soit f0g, soit de la forme aZ, a>0
Feuille d’exercices no 1 – Espaces métriques
3M260 – Topologie et calcul différentiel Université Pierre et Marie Curie Mathématiques Année 2016/2017 Feuille d’exercices no 1 – Espaces métriques Dans tout ce qui suit, si (X,d) est un espace métrique et qu’il n’y a pas d’ambiguïté sur le choix de X et d,
Corrigé de la feuille d’exercices no5
D n’est pas ouvert Dans toute boule de centre (0;0), qui est élément de D, il existe des éléments qui ne sont pas dans D, par exemple les éléments du type (0; p 2/n) 5 E n’est pas ouvert car son complémentaire, D, n’est pas fermé E n’est pas fermé car son complémentaire n’est pas ouvert 6
[PDF] la communication intercellulaire
[PDF] adherence cellulaire cours
[PDF] les jonctions cellulaires pdf
[PDF] migration cellulaire
[PDF] la chanson de craonne analyse
[PDF] le son è exercices
[PDF] le son ai ei exercices
[PDF] son ai ei cp
[PDF] liste de mot en è
[PDF] mots où on entend e
[PDF] de l'adjectif au nom ce2
[PDF] de l'adjectif au nom
[PDF] souligne les adjectifs qualificatifs dans le texte
[PDF] texte avec adjectifs qualificatifs ce2
1.Espaces m´etriques
1 Distance, boules, ouverts, ferm´es...
D´efinition 1.1.SoitEun ensemble (non vide). On appelle distance surEune applicationddeE×E dans[0,+∞[v´erifiant les trois propri´et´es suivantes:1.d(x,y) = 0?x=y?x,y?E,
2.d(x,y) =d(y,x)?x,y?E,
Sidest une distance surEon dit que (E,d) est un espace m´etrique.Exemples
1/Ret la valeur absolue:d(x,y) =|x-y|.
2/Cet le module:d(x,y) =|x-y|.
3/Rn(ouCn) et la distance euclidienned(x,y) =??|xi-yi|2?1/2
5/ Les espaces vectoriels norm´es fournissent des exemples tr`es important d"espaces m´etriques. SoitE
un espace vectoriel surK=RouC. On appelle norme surEune applicationNdeEdans [0,+∞[ telle que:1.N(λx) =|λ|N(x),?x?E,?λ?K,
3.N(x) = 0?x= 0.
On dit alors que (E,N) est un espace vectoriel norm´e (surK). Un espace vectoriel norm´e est un exemple
d"espace m´etrique car l"applicationd(x,y) =N(x-y) est une distance. V´erification. Soit (E,d) un espace m´etrique. Pour touta?EetR >0 on appelle boule ouverte de centreaet de rayonrl"ensembleB(a,r) :={x?E|d(a,x)< r},
et boule ferm´ee de centreaet de rayonrl"ensemble BPar exemple pour la distance euclidienne dansR2, les boules ouvertes sont des disques usuels. Mais la
forme des boules d´epend beaucoup de la distance choisie. Dessins des boules ded1,d2etd∞dansR2.
D´efinition 1.2.Soit(E,d)un espace m´etrique etAune partie deE. On dit queAest un ouvert de (E,d)si pour touta?Ail exister >0tel queB(a,r)?A. On dit queAest un ferm´e de(E,d)si soncompl´ementaireAcest un ouvert de(E,d). En particulier∅est `a la fois un ouvert et un ferm´e de(E,d),
de mˆeme queA.Proposition 1.3.Soit(E,d)un espace m´etrique.
1. Si pour touti?I,Oiest un ouvert, alors?
i?IOiest encore un ouvert.2. SiO1,···,Onsont des ouverts, alors?n
p=1Oiest encore un ouvert. Par passage au compl´ementaire on a de mˆeme 1Proposition 1.4.Soit(E,d)un espace m´etrique.
1. Si pour touti?I,Fiest un ferm´e, alors?
i?IFiest encore un ferm´e.2. SiF1,···,Fnsont des ferm´es, alors?n
p=1Fpest encore un ouvert. Voisinages. On dit qu"un sous-ensembleAdeEest un voisinage dea?Es"il existe un ouvertOde (E,d) tel quea?OetO?A. Proposition 1.5.Une boule ouverteB(a,r)est un ouvert de(E,d). Une boule ferm´eeBf(a,r)est un ferm´e de(E,d).L"ensembleT(ouTd) des sous-ensembles ouverts de (E,d) s"appelle "la topologie" associ´ee `a (E,d),
ou induite pardsurE:T={O?E|O est un ouvert de(E,d)}.
Des distances diff´erentesd1etd2peuvent induire des topologies identiques:d1?=d2maisTd1=Td2. On dit dans ce cas que les distancesd1etd2sont topologiquement ´equivalentes.On dit que deux distances surE,detd?sont m´etriquement ´equivalentes s"il existe deux contantes
0< a,btelles que
Proposition 1.6.Deux distances m´etriquement ´equivalentes sont topologiquement ´equivalentes.
Exercice 1.7.1. Montrez queδd´efinie parδ(x,y) =|arctan(x)-arctan(y)|est une distance surR.Montrez que la topologie induite parδest la topologie usuelle (celle induite par la valeur absolue).
Montrez queδet la distance usuelle ne sont pas m´etriquement ´equivalentes.2. Montrez que deux distancesdetd?surEsont topologiquement ´equivalentes si et seulement si:
?x?E,?ε >0,?r >0t.q. Bd(x,r)?Bd?(x,ε) et ?x?E,?ε >0,?r?>0t.q. Bd?(x,r?)?Bd(x,ε). Distance induite, topologie induite.Si (E,d) est un espace m´etrique etAun sous-ensembledeE, la restriction ded`a l"ensembleA×A, c"est `a direδ=d|A×Aest une distance surA. On dit queδ
est la distance "induite" pardsurA. On dit que (A,δ) est le sous-espace m´etrique induit par (E,d). En
g´en´eral, quand il n"y pas de risques de confusions, on dit simplement que "Aest un sous-espace m´etrique
deE".Consid´erons maintenant les boules deA. NotonsBδ(x,r) les boules ouvertes deApour la distanceδ
etBd(x,r) celles deEpour la distanced. On a: Bδ(x,r) =Bd(x,r)∩A,
c"est `a dire que les boules ouverts deEsont les traces surAdes boules ouvertes deE. La mˆeme chose a
lieu pour les boules ferm´ees. On en d´eduit que Proposition 1.8.Les ouverts de(A,δ)sont exactement les ensemblesO∩Ao`uOest un ouvert de (E,d), c"est `a dire les "traces surA" des ouverts deE. Cette topologie deAs"appelle la "topologieinduite parEsurA", ou plus simplement la "topologie induite". Les ferm´es de(A,δ)sont exactement
les ensemblesF∩Ao`uFest un ferm´e deE, c"est `a dire les "traces surA" des ferm´es deE.Exercice 1.9.1. Montrez que l"intervalle]1,2]est un ferm´e de]1,3[pour la topologie induite (induite
parRsurA=]1,3[).2. L"ensemble{1n
,n?N?}peut-t"il ˆetre une boule ouverte (d"un certain espace m´etrique)? 22 Suites convergentes
D´efinition 2.1.Soit(E,d)un espace m´etrique. Soit(an),n?Nune suite deE. On dit que cette suite
est convergente s"il existe??Etel que:Dans ce cas un tel?est unique et s"appelle la limite de la suiteanet on note?= lim∞an. On dit aussi
queanconverge vers?.On dit qu"une suite (an) deEest born´ee s"il existe une boule ouverte (ou ferm´ee) qui contient tout les
termes de la suite, c"est `a dire s"il existeb?Eetr >0 tels quean?B(b,r),?n?N. Plus g´en´eralement,
on dit qu"un sous-ensembleAdeEest born´e siAest contenu dans une boule deE. Proposition 2.2.Toute suite convergente est born´ee.3 Adh´erence, int´erieur, fronti`ere...
Dans cette section (E,d) est un espace m´etrique. SoitAune partie deE. On appelle adh´erence deA,
le sous-ensemble ferm´e deEform´e par l"intersection de tous les ferm´es deEcontenantA. On le note
adh(A) ouA. C"est aussi le plus petit ferm´e contenantA(au sens de la relation d"inclusion):A?Fet Fferm´e?A?F.On dit qu"un pointa?Eest "adh´erent `aA" sia?A. En particulierAest ferm´e si et seulement siA=A. Proposition 3.1.x?Asi et seulement si pour tout ouvertOdeEtel quex?O:O∩A?=∅. Proposition 3.2.Soit(E,d)un espace m´etrique etA?E. Un ´el´ementx?Eest dansAsi etseulement sixest limite d"une suite d"´el´ements deA. En particulierAest ferm´e si et seulement si toute
suite d"´el´ements deAqui converge dansE, a pour limite un ´el´ement deA.EXEMPLES (dansR)...
On dit queA?Eest dense siA=E. Par exempleQest dense dansR. Exercice.Montrez queCc(R) (fonctions continues `a support born´e) est dense dansC0(R) (fonctions continues qui tendent vers 0 `a l"infini) pour la distance :d(f,g) := sup|f-g|.Int´erieur.SoitAune partie deE. On appelle int´erieur deA, le sous-ensemble ouvert deEform´e par
la r´eunion de tous les ouverts deEcontenus dansA. On le note int(A) ou°A. C"est aussi le plus grand
ouvert contenu dansA(au sens de la relation d"inclusion):O?AetOouvert?O?°A. En particulierAest ouvert si et seulement siA= int(A)
Fronti`ere.SiA?E, on appelle "fronti`ere deA", et on noteFr(A) ou∂Al"ensemble des pointsx?Etels que tout ouvertOdeEcontenantxv´erifie:O∩A?=∅etO∩Ac?=∅. Cela revient `a dire que:
?r >0 :B(x,r)∩A?=∅etB(x,r)∩Ac?=∅. Points d"accumulation.SiA?E, on dit quex?Eest un point d"accumulation deAsi pour tout r >0 la bouleBo(x,r) contient au moins un point deAautre quex. cela revient `a dire quexest dansl"adh´erence deA\ {x}. Cela est ´egalement ´equivalent `a dire que: pour toutr >0B(x,r)∩Acontient
une infinit´e de points.Points isol´es.SiA?E, on dit quea?Aest un point isol´e deAsi il exiter >0 tel queB(x,r)∩A={a},
autrement dit sian"est pas un point d"accumulation deA.EXEMPLES (dansR)...
34 Produits d"espaces m´etriques
Soient (E1,d1) et (E2,d2) deux espaces m´etriques. On munit le produit cart´esienE1×E2d"une distance
δ, qui est l"une des trois distances suivantes, qui sont m´etriquement ´equivalentes:1(x,y) =d1(x1,y1) +d2(x2,y2),
ou d(x,y) =?d1(x1,y1)2+d2(x2,y2)2?1/2, ou ∞(x,y) = sup{d1(x1,y1) +d2(x2,y2)}.lorsquex= (x1,x2) ety= (y1,y2), avecxi,yi?Ei. Il s"agt bien d"une distance (v´erifier). Il n"y a pas de
choix "canonique" de la distance produit (tout comme il n"y a pas de distance canonique surR2=R×R).
En revanche, ces distances sont m´etriquement ´equivalentes et induisent la mˆeme topologie surE1×E2
(et il existe bien une unique "topologie" canonique pour le produit, voir le paragraphe suivant). Plus
g´en´eralement, siE1,···Ensont des espaces m´etriques munis de distancesd1,···,dn, on muni le produit
cart´esienE=E1× ··· ×Ende l"une des "distances produit" correspondantes comme par exemple
2(x,y) =??
i(xi,yi)2?121(x,y) =?
i(xi,yi) ouδ∞(x,y) = sup Par exemple dans le cas o`uEi=Rpour toutiavecdi(x,y) =|x-y|, on retrouve l"espaceRnmuni de ladistance euclidienne si l"on choisit la distance produitd2: l"espaceRnest bien le "produit" desnespaces
m´etriques tous ´egaux `aR. Le r´esultat naturel suivant est utile dans la pratique:Proposition 4.1.Soit(E,d)l"espace m´etrique de(E1,d1),···,(Endn). Soitxν,ν?Nune suite deE.
dansEjvers?j.5 Topologies g´en´erales
SoitEun ensemble. On dit qu"un sous-ensembleTdeP(E) est une "topologie" si les axiomes suivants sont satisfaits parT:1.∅ ? T,E? T,
2. Si?i?I,Oi? T, alors?
i?IOi? T,3. SiO1? T,···On? T, alors?i=n
i=1Oi? T.Alors les ´el´ements deTs"appellent les "ouverts de E" et les "ferm´es deE" sont les compl´ementaires des
ouverts:F?Eest dit "ferm´e" si il existeO? Ttel queF=E\O. Ainsi un espace m´etrique est un cas particulier d"espace topologique.Les d´efinitions qui pr´ec`edent se g´en´eralisent presque toutes (sauf celles qui n´ecessitent la notion de
distance, comme les suites cauchy, la compl´etude ...)6 Limites, continuit´e dans les espaces m´etriques
Soient (E,d) et (F,d?) deux espaces m´etriques et une applicationf:D→F, o`uDest le domaine de
d´efinition def. 4 D´efinition 6.1.SoitA?Deta?A. On dit quefposs`ede une limite quandxtend versaetx?A si il existe??Ftel que: ?ε >0,?r >0tel quex?B(a,r)∩A?f(x)?B(?,ε). (ou?x?A,d(x,a)< r?d?(f(x),?)< ε).Dans ce cas la limite?est unique et on la note
?= limx→a,x?Af(x). Noter quefn"a pas besoin d"ˆetre d´efinie au pointa. Proposition 6.2.?= limx→a,x?Af(x)si et seulement si pour toute suite(an)deAde limitea, on a lim ∞f(an) =?. D´efinition 6.3.Soita?D. On dit quefest continue au pointasilimx→a,x?Df(x) =f(a).On dit quefest continue surDsifest continue en tout point deD.Dans la d´efinition 6.3, on a envisag´e le cas le plus g´en´eral ou le domaine de d´efinitionDserait diff´erent
de l"espace m´etriqueE. Cependant, on pourrait ´egalement consid´erer le sous-espace m´etriqueD(muni
de la m´etrique induite) et s"int´eresser `a la continuit´e defau pointa, lorsque l"espaceEest remplac´e
parD. On v´erifie ais´ement que ces deux notions de continuit´e au pointa, co¨ıncident. De sorte qu"il est
suffisant de condid´erer la continuit´e defdans le cas o`uD=E.Exemples.
1. SiE= Ω ouvert deRnetF=Rmon retrouve les notions usuelles d"application continue de
plusieurs variable deRn`a valeurs dansRm. cas d"une variable : fonctions polynˆomiales, fonctions usuelles: sin,cos,exp etc...2. Si (E,d) est un espace m´etrique eta?E, l"applicationd(a,.) est continue surE. Elle est mˆeme
lipschitzienne de rapport 1 puisqu"elle v´erifie: d"apr`es l"in´egalit´e triangulaire.3. Si (E,d) est un espace m´etrique et siA?E, l"applicationd(.,A) d´efinie par
d(x,A) = infa?Ad(x,a), x?E, est une application continue car Lipschitzienne surE:4. SoientE1,···Ensont des espaces m´etriques munis des distancesd1,···,dn, et notonsEl"espace
produitE1× ··· ×Enmuni de l"une des distances produit. Soitj? {1,···,n}. Notonspj
l"application deEdansEjd´efinie parpj(x) =xjsix= (x1,···,xn)?E. Alorspiest continue. Proposition 6.4.On supposeD=Eet on consid`ere une applicationfdeEdansF. Les 3 propri´et´es suivantes sont ´equivalentes:1.fest continue surE,
2. l"image r´eciproque de tout ouvert deF, est un ouvert deE,
3. l"image r´eciproque de tout ferm´e deF, est un ferm´e deE,
Attention, il faut distinguer le fait quef, d´efinie surE, soit continue en tout point d"un ensemble
A?E(ce qui tient compte du comportement def"en dehors deA"), et le fait quef|Asoit continue (sur Amais pour la distance induite surApard) ce qui ne tient compte que du comportement def"dansA". Par exemple, la fonctionf=1[0,1]d´efinie surR, n"est pas continue sur [0,1]. Maisf|[0,1]qui est la
fonction constante 1, est continue sur [0,1]. 5 Exercice 6.5.1. Montrez que sifest continue en tout point deA, alorsf|Aest continue (pour la m´etrique induite).2. Montrez que l"ensemble des pointsX= (x,y,z)?R3tels quex2< yz+ 1est un ouvert deR3.
3. montrez quefest continue de(E,d)dans(F,d?)si et seulement si pour toutA?F: adh?f-1(A)??
f -1(A). Hom´eomorphismes. SoientEetFdeux espaces m´etriques. On appelle hom´eomorphisme deEsurF toute bijection continue deEdansFdont la r´eciproque est continue surF. On dit alors queEetF sont hom´eomorphes. Exemple:Rest hom´eomorphe `a l"intervalle ]-π2 ,+π2 Proposition 6.6.SoitEetFdeux espaces m´etriques etf,gdeux applications continues deEdansF. Sifetgco¨ıncident sur une partie dense deE, alorsf=g. Exercice 6.7.SoientEetFdeux espaces m´etriques etf,gdeux applications continues deEdansF.Montrez l"ensemble{x?E|f(x) =g(x)}est un ferm´e (deE). En d´eduire une autre d´emonstration de
la proposition pr´ec´edente. Composition d"applicationsConsid´erons des espaces m´etriquesE,FetG(on ne pr´ecise pas les distances). Proposition 6.8.Consid´erons des applicationsf:E→F,g:F→G. On suppose quefest continue au pointa?Eet quegest continue au pointf(a). Alorsg◦fest continue au pointa. Il existe un ´enonc´e analogue avec les limites. par exemple: Proposition 6.9.Consid´eronsa?E,b?Fet des applicationsf:E\ {a} →F,g:F\ {b} →G. On suppose que?x?E\ {a},f(x)?=b. Supposons quelimx→af(x) =betlimy→bg(y) =??F. Alors lim x→ag◦f(x) =?.7 Suites de Cauchy, espaces m´etriques complets
D´efinition 7.1.Soit(E,d)un espace m´etrique et(xn),n?Nune suite deE. On dit que la suite(xn) est une suite de Cauchy si: ?ε >0,?N?Nt.q. p > N et q > N?d(xp,xq)< ε. On dit qu"un espace m´etrique est complet si toute suite de Cauchy est convergente.1. Munis de la distance usuelle,Qn"est pas complet etRest complet (par construction deR).Rn,
C nsont complets (pour la distance usuelle et celles m´etriquement ´equivalentes).2. L"espaceC([0,1],R) est complet pour la norme sup.
Notez bien que la compl´etude d´epend de la m´etrique choisie, et pas seulement de la topologie. Voir
exercice en TD. Autre exemple:Rest complet et ]-π2 ,+π2 [ n"est pas complet, mais ces deux espaces m´etriques sont hom´eomorphes (d´eja vu).Exercice 7.2.1/ Trouvez une m´etriquedsurRqui induise la mˆeme topologie que la topologie usuelle,
mais telle que(R,d)ne soit pas complet. 2/ Trouvez une m´etriquedsurI=]-π2 ,+π2 [qui induise la topologie usuelle, mais pour lequel(I,d)soit complet.L"exercice suivant est un r´esultat pratique qui est juste une reformulation de la notion de suite de
Cauchy. SiA?Eon appelle "diam`etre deA" la quantit´e suivante (qui est infinie siAn"est pas born´ee):
diam(A) := supdx,y?Ad(x,y). 6Exercice 7.3 ("La propri´et´e des ferm´es emboit´es").Soit(E,d)un m´etrique complet etAn,n?N
une suite de d´ecroissante (c"est `a dire queAn+1?An) de ferm´es non vides deEtelle quediam(An)→0
quandn→ ∞. Montrez qu"il existex0?Etel que∩nAn={x0}. Proposition 7.4.Soit(E,d)un espace m´etrique etA?E.1.(A,d)complet?Aferm´e (dansE).
2. SiEest complet:Aferm´e (dansE)?(A,d)complet.
Soit (E,d1) et (F,d2) des espaces m´etriques, on dit qu"une applicationfdeEdansFest born´ee sil"ensemble{f(x),x?E}est born´e, c"est `a dire s"il existe une boule (ouverte pour fixer les id´ees)B=
B(a,r),r >0 telle quef(x)?B,?x?E. NotonsB(E,F) l"ensemble des applications born´ees deEdansF. Il existe une distance naturelle sur cet ensemble d´efinie par:d(f,g) := sup{d2?f(x),g(x)?,x?E}.
C"est une distance (v´erifier). Le r´esultat suivant est tr`es utile.Th´eor`eme 7.5.Soient(E,d1)et(F,d2)des espaces m´etriques. Supposons que(F,d2)est complet. Alors
B(E,F)muni de sa distance naturelledest complet.
Une cons´equence est le r´esultat suivant que l"on utilise fr´equemment. On noteCb(E,F) l"espace des
applications continues et born´ees deEdansF. C"est un sous-espace m´etrique deB(E,F) et il est lui
aussi muni de la distancedinduite.Th´eor`eme 7.6.Soient(E,d1)et(F,d2)des espaces m´etriques. Supposons que(F,d2)est complet. Alors
C b(E,F)muni de la distancedest complet. (Cons´equence: on retrouve le fait queC([0,1],R) est complet puisqueC([0,1],R) =Cb([0,1],R).)Th´eor`eme 7.7.Soient(E1,d1)···(En,dn)des espaces m´etriques. L"espace m´etrique produit(E,δ)est
complet si et seulement si chacun des espacesE1···Edest complet.Enfin une application tr`es utiles de la notion d"espace complet est le th´eor`eme suivant, appel´e th´eor`eme
du point fixe de Picard ou de Banach. Th´eor`eme 7.8 (Point fixe).Soit(E,d)un espace m´etrique complet etfune application deEdansE. Supposons qu"il existek?[0,1[tel que
Alors il existe un unique point fixe pourfc"est `a dire un unique pointx?Etel quef(x) =x. Une applicationfqui v´erifie ces conditions est dite "contractante".Pour finir ce paragraphe voici un r´esultat simple mais qui aura de nombreuses cons´equences impor-
tantes, par exemple dans l"´etude des espaces vectoriels norm´es.Exercice 7.9 ("Lemme de Baire").Soit(E,d)un espace m´etrique complet. D´emontrez les r´esultats
(´equivalents) suivants:1/ Toute intersection d´enombrable d"ouverts denses dansE, est encore dense dansE. C"est `a dire:
si pour toutn?Nl"ensembleOnest un ouvert deEdense dansE, alorsA=∩nOnest dense dansE.2/ Toute r´eunion d´enombrable de ferm´es d"int´erieur vide est encore d"int´erieur vide. C"est `a dire: si
pour toutn?N,Fnest un ferm´e deEd"int´erieur vide, alorsA=?nFnest encore d"int´erieur vide.8 Compacit´e
Soit (E,d) un espace m´etrique etKun sous-ensemble deE. On dit qu"une famille (Oi)i?Ide sous- ensembles deEconstitue "un recouvrement deK" siK?? i?IOi. C"est un "recouvrement ouvert" (on dit aussi un "recouvrement d"ouverts") si chaqueOiest un ouvert deE. Bien entendu, siK=Eet si (Oi)i?Iest un recouvrement deEon a l"´egalit´eE=? i?IOi. Dans cette d´efinition l"ensemble des indices Iest quelconque. On dit que c"est un "recouvrement fini" si l"ensemble des indicesIest fini. 7 D´efinition 8.1.Soit(E,d)un espace m´etrique.1/On dit que(E,d)est compact si de tout recouvrement ouvert deEon peut extraire un recouvrement
fini. Autrement dit, si pour toute famille(Oi)i?I, d"ouverts deEtels queE=? i?IOi, on peut trouver un nombre fini d"indicesi1,···,intels queE=Oi1?···?Oin.2/SoitK?Eon dit queKest un compact de(E,d)si l"espace m´etrique induit(K,d)est compact.
Autrement dit, si pour toute famille(Oi)i?I, d"ouverts deEtels queK?? i?IOi, on peut trouver un nombre fini d"indicesi1,···,intels queK?Oi1?···?Oin.Remarques
1/ Cette d´efinition entraˆıne que siK?A?Ealors:Kest un compact de (A,d)?Kest un compact
de (E,d).2/ Cette d´efinition ne d´epend que de la topologie de (E,d).
Queques propri´et´es imm´ediates :
Proposition 8.2.Soit(E,d)un espace m´etrique etKnune suite d´ecroissante (c"est `a direKn+1?Kn)
de compacts non vides deE. Alors?Kn?=∅.Proposition 8.3.1/ Tout compact d"un m´etrique est ferm´e et born´e (la r´eciproque est fausse).
2/ Tout espace m´etrique compact est complet.
3/ Tout ferm´e d"un compact est compact.
Suites extraites. Valeurs d"adh´erence d"une suite.Soitxn,n?Nune suite d"un espacem´etriqueE. On appelle "suite extraite dexn" une suiteynde la formeyn=x?(n)o`u?:N→Nv´erifie
?(n)< ?(n+1) (??est strictement croissante). Autrement dit les termes de la suiteynsont "extraits" de la suitexn:y1=xn1, puisy2=xn2, etc···avecn1< n2< .... On dit que?est "une valeurd"adh´erence" de la suitexnsi il existe une suite extraitex?(n)qui converge vers?. Cela s"exprime aussi
ainsi: ?ε >0,?N?N:?n > Nt.q. xn?B(?,ε), ou encore par :?n?N:??A n,o`uAn={xp,p≥n}.Th´eor`eme 8.4.Un espace m´etrique(E,d)est compact si et seulement si de toute suite deEon peut
extraire une sous-suite convergente (ou encore "ssi toute suite poss`ede au moins une valeur d"adh´erence").
Exercice 8.5.Soit(E,d)un espace m´etrique compact etxnune suite deEqui n"a qu"une seule valeur d"adh´erence. Alorsxnest convergente.Th´eor`eme 8.6.L"espace m´etrique produitE1×···×Endenespaces m´etriquesE1,···,Enest compact
si et seulement si chaque espaceEiest compact.Th´eor`eme 8.7 (de Bolzano-Weierstrass).Les compacts deRn(ou deCn) sont les ferm´es born´es.
En particulier, de toute suite born´ee deRon peut extraire une sous-suite convergente.