Devoir Maison n 15

l'Allemagne a maintenu le cap de la rigueur Résultat: le soutien de la demande dans les pays voisins, qui s'est accompagné de la montée des dettes publiques, a contribué à soutenir les exportations de l'Allemagne, laquelle se retrouve aujourd'hui avec un taux de chômage inférieur à 5 et elle se désendette rapidement

Devoir Maison n 6 - Frédéric Gaunard

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Devoir Maison n 15

Devoir Maison n 15 Solution Exercice 1 (1) La variable aléatoire Xest égale au numéro de l’urne qu’on choisit au hasard, on reconnait la loi uniforme: X֒→ U(J1;nK) En particulier, pour tout k∈ J1;nK, P(X= k) = 1/n (2) La variable aléatoire Y est égale au numéro de la boule tirée qui peut donc être n’importe

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pertinent de (re)penser la place du français dans le contexte qui nous concerne directement, celui de notre université Car, comme l’a démontré le philosophe Ludwig Wittgenstein, « les

I- Compréhension : (7 pts)

4) Relie le terme « couvée » à son sens exact : poule (1pt) vache II- Langue: (7 pts) A/ Annexe : 1) Souligne le GNS et encadre le GV (1pt) * J’appris à travailler la terre * Tante Rude et Manine arrivent Devoir de synthèse N°1 **Matière Français** Prof :Aouni&Hamdi Niveau : 7ème B Ecole Préparatoire De Ben Aoun 2011/2012

Séance 1 : Du Bellay : Pourquoi le poète écrit-il

A Le texte évoque le poète qui s’exprime à la 1PS Omniprésence du pronom personnel de la P1 « je » en fonction de sujet des verbes « aime ; cherche ; veux » et « me » fonction de complément souvent du verbe « faut » ou « trouve », dans des tournures négatives

9ème année de base 2012 00

b) Les organisateurs textuels de temps : – des mots qui précisent le temps de l’action; – la variation du temps des verbes o LE CADRE (le décor, le milieu ou le contexte) : Dans un récit, l’histoire se déroule dans un ou plusieurs lieux Les mots qui nous renseignent à ce sujet s’appellent organisateurs textuels de lieu

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ECE 1 - Année 2016-2017Lycée français de VienneMathématiques - F. Gaunardhttp://frederic.gaunard.com

Devoir Maison n◦15

Solution

Exercice 1.

(1) La variable aléatoireXest égale au numéro de l"urne qu"on choisit au hasard, on reconnait

la loi uniforme:X ?→ U(?1;n?). En particulier, pour toutk??1;n?,P(X=k) = 1/n.

(2) La variable aléatoireYest égale au numéro de la boule tirée qui peut donc être n"importe

quelle valeur entre1etn. Ainsi,Y(Ω) =?1;n?. (3) SiX=k, cela signifie qu"on tire une boule dans l"urnek. Sij??1;k?, alors la boule

numérojest bien dans l"urne dans laquelle on tire et sa probabilité d"être tirée est1/k. Si

j > k, la boule numérojn"est pas dans l"urne et ne peut être tirée. En conclusion, P (X=k)(Y=j) =?????1

0,sij > k

Soitj??1;n?:

P(Y=j) =n?

k=1P (X=k)(Y=j)P(X=k) n? k=jP (X=k)(Y=j)P(X=k) n? k=j1 k·1n 1 nn k=j1k.

(5) Le calcul de l"espérance deYest alors un calcul de somme double qui représente un excellent

exercice:

E(Y) =n?

j=1jP(Y=j) =n? j=1j? 1 nn k=j1k? n? j=1n k=jj kn Or,

2Solution

Donc,

E(Y) =n?

k=1k j=1j kn=n? k=11knk j=1j n? k=11 kn·k(k+ 1)2=12nn k=1(k+ 1) 1 2n? n(n+ 1)2+n? n+ 3 4. Exercice 2.(D"aprèsEML 2017) On considère une urne contenant initialement une boule bleue

et deux boules rouges. On effectue, dans cette urne, des tirages successifs de la façon suivante: on

pioche une boule au hasard, on note sa couleur, puis on la replace dans l"urne en ajoutant une boule de la couleur de celle qui vient d"être obtenue. Pour toutk?N?, on noteBk: "la boule tirée auk-ième tirage est bleue" etRkl"évènement: "la boule tirée auk-ième tirage est rouge".

Partie I - Simulation informatique

(1) Le programme ne pose aucune difficulté: (2) Les instructions permettent d"afficher la moyenne empirique (i.eobservée) sur 1000 sim- ulations de la variable aléatoire comptant le nombre de boules rouges obtenues après 10 tirages. NotantXcette variable aléatoire, on peut donc supposer queE(X)?6.657. Partie II - Rang d"apparition de la première boule bleue et rang d"apparition de la première boule rouge

On définit la variable aléatoireYégale au rang d"apparition de la première boule bleue etZla

variable aléatoire égale au rang d"apparition de la première boule rouge. (3) (a) SiY=n, cela veut dire que lesn-1premiers tirages ont donné une boule rouge.

Plus précisement,

(Y=n) =R1∩R2∩...∩Rn-1∩Bn. D"après la formule des probabilités composées,

P(Y=n) =P(R1)PR1(R2)× ··· ×P?

R n-1|n-2? k=1R k? P? B n|n-1? k=1R k?

Devoir Maison n◦153

Mais, si on a?jk=1Rkcela veut dire qu"on a déjà tiréjboules rouges, et qu"on en a donc rajoutéjdans l"urne menant le total de boules rouges à2 +j, ainsi P R j+1|j? k=1R k? 2 +j 3 +j.

D"autre part,

P B n|n-1? k=1R k? 1

3 +n-1=1n+ 2.

Il suit que

P(Y=n) =2

3? n-2? j=12 +j3 +j? 1n+ 2 n-2? j=02 +j

2 + (j+ 1)?

1n+ 2 2 n+ 1×1n+ 2 2 (n+ 1)(n+ 2), ce qui est bien ce qu"on attendait. (b) La variable aléatoireYadmet une espérance si la série de terme généraln·P(Y=n) est convergente, c"est à dire si la série de terme général 2n (n+ 1)(n+ 2) est convergente. Mais, ce n"est pas le cas. Un argument peut être de voir que 2n (n+ 1)(n+ 2)=2n×11 +3n+2n2≥13·1n

et d"utiliser le critère de comparaison des séries à termes positifs, la série harmonique?1

nétant une série (de Riemann) divergente. La variable aléatoireYn"admet donc pas d"espérance eta fortioripas de variance non plus.

(4) Il est clair queZ(Ω) =N?. Le même raisonnement que précédemment permet d"écrire que

P(Z=n) =P(B1)PB1(B2)× ··· ×P?

B n-1|n-2? k=1B k? P? R n|n-1? k=1B k?

Ici,P(B1) = 1/3,

P? B j+1|j? k=1B k? 1 +j 3 +j, et P? R n|n-1? k=1B k? 2

3 +n-1=2n+ 2.

4Solution

Au final,

P(Z=n) =1

3? n-2? j=11 +j3 +j? 2n+ 2 n-2? j=01 +j

1 + (j+ 2)?

2n+ 2

1×2

n(n+ 1)×2n+ 2 4 n(n+ 1)(n+ 2). Cette fois, la variableZadmet une espérance. En effet, la série de terme généralnP(Z=N) est convergente car nP(Z=n) =4n

et le critère de comparaison des séries à termes positifs s"applique (car la série de Riemann?1

n2est convergente). En revanche,Zn"admet pas de variance car elle n"admet pas de moment d"ordre2: la série de terme généraln2P(Z=n)diverge pour la même raison que la série de terme généralnP(Y=n)diverge.quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

[PDF] Devoir Maison n 15

Devoir maison - allezcours

Devoir Maison n 6 - Frédéric Gaunard

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I- Compréhension : (7 pts)

Séance 1 : Du Bellay : Pourquoi le poète écrit-il

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EXEMPLE DE PROGRESSION ANNUELLE Seconde

Devoir Maison n◦15

Solution

Exercice 1.

0,sij > k

Soitj??1;n?:

P(Y=j) =n?

E(Y) =n?

2Solution

E(Y) =n?

Partie I - Simulation informatique

Plus précisement,

P(Y=n) =P(R1)PR1(R2)× ··· ×P?

Devoir Maison n◦153

D"autre part,

3 +n-1=1n+ 2.

Il suit que

P(Y=n) =2

2 + (j+ 1)?

P(Z=n) =P(B1)PB1(B2)× ··· ×P?

Ici,P(B1) = 1/3,

3 +n-1=2n+ 2.

4Solution

Au final,

P(Z=n) =1

1 + (j+ 2)?

1×2