Cours de MATHÉMATIQUES - Wallis and Futuna

Devoir maison n°2 augmente de volume C'est un manuel de règles et de formules de géométrie que Héron a collectées auprès de sources diverses

Devoir à la maison N°3 « Tetraèdre » CORRECTION

210 Devoir à la maison N°3 « Tetraèdre » CORRECTION 12/11/2012 Exercice 4 : du Module 4 de géométrie dans l’espace Calculer le volume d’une boîte de chocolat qui a la forme d’un prisme droit de base un triangle équilatéral de côté 4cm et de 10cm de longueur

Chapitre 11 : CONES, PYRAMIDES ET VOLUMES DE SOLIDES

Calculer le Volume d'un prisme droit Calculer le volume d'une pyramide Calculer le volume d'un cône Faire marquer le devoir Maison dans le cahier de textes Il est à rendre pour le Lundi 20 Mars 2017 Objectif : Calculer des volumes de solides Activité 1: Réflexion Construire un cube à partir de 3 pyramides (activité 2 page 345)

210 Devoir à la maison N°3 « Tetraèdre » CORRECTION 12/11/2012

GEOMETRIE DANS L’ESPACE - Maths & tiques

Volume de la boule = 4 3 π r3 Exemple : Volume de la terre V π= 3 4 r3 ≈ 108 269 693 200 km3 Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir-p252 n°13 p253 n°17 p256 n°37 -p251 n°4 p252 n°12, 7*, 10* p257 n°47* p258 n°50* p253 n°16 -p261 n°43 p263 n°57 -p255 n°10 p260 n°42, 41, 39* p255 n°10*

TD d exercices de Géométrie dans l espace

2 Le volume de ce réservoir est-t-il suffisant pour que les moteurs de la fusée fonctionnent pendant 10 minutes, sachant que ces moteurs consomment 1500 litres de carburant par seconde ? Rappels : Volume d'un cône de hauteur h et de rayon de base R : Volume d'un cylindre de hauteur h et de rayon de base R : Exercice 6 (Brevet 2004)

Devoir Maison : Vacances de Noël

Devoir Maison : Vacances de Noël Travail à faire sur copies numérotées, agrafées, correctement présentées A rapporter le jeudi 9 janvier Pénalité de retard : 2 points retirés par jour de retard La présentation, la qualité de rédaction, l’orthographe sont prises en ompte dans la notation (sur 1 point)

Formulaire officiel secteur tertiaire Devoirs surveillés

Devoir maison de math-sciences (Terminale BEP métiers de l’électronique)) : Fonctions de références, géométrie plane, transformations de formules ; mécanique, oxydoréduction, hydrostatique, optique DS13c_ind2_3 Corrigé du DS13_ind2_3 DS5_rout_1 Devoir surveillé de math-sciences (seconde professionnelle routiers- DS5_rout_1) :

Boîtes en carton sur mesure (3 - Académie de Créteil

devoir maison individuel de synthèse Pré-requis – Savoir utiliser un logiciel dynamique de géométrie et un tableur-grapheur – Savoir utiliser une calculatrice – Tester une égalité Objectifs – Prise en compte du socle commun – Pratiquer la différenciation pour permettre à chaque élève de progresser à son rythme

Wallis et Futuna

Cours de

MATHÉMATIQUES

- Fabien PUCCI -

Classe de Terminale S

Enseignement obligatoire

Année 2015

Table des matières

1 Suites - Raisonnement par

récurrence 7

I Démonstration par récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

II Comportement global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

III Convergence d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

IV Opérations sur les limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

V Théorèmes fondamentaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

VI Comportement de suites particulières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Feuille d"exercices no1 :Récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Feuille d"exercices no2 :Comportement global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Feuille d"exercices no3 :Limite de suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Fiche no1 :Suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Devoir surveillé no1 :Suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Devoir surveillé no1 :Suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2 Droites et Plans de l"espace49

I Rappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

II Positions relatives de droites et de plans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

III Parallélisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

IV Applications : sections d"un cube et d"un tétraèdre par unplan. . . . . . . . . . . . . . . 57

V Orthogonalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Test no2 :Droites et Plans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Test no2 :Droites et Plans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3 Limites69

I Limite à l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

II Limite en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

III Opérations sur les limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

IV Limite d"une fonction composée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

V Théorèmes de comparaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Devoir en temps libre no4 :Limite, Courbe et Asymptote. . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3

Fiche no2 :Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Devoir surveillé no3 :Fonctions - Suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4 Probabilités Conditionnelles - Lois discrètes97

I Probabilité (Rappels). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

II Probabilités conditionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

III Indépendance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Fiche no3 :Probabilités Conditionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Fiche no4 :Variables aléatoires discrètes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5 Continuité111

I Continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

II Les grands théorèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6 Dérivation121

I Rappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

II Fonction dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

III Calculs de dérivées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

IV Dérivée et variations(Rappels). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

V Compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Fiche no5 :Dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7 L"exponentielle139

I La fonction exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

II Étude de la fonction exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

III Compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Fiche no6 :Exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Devoir surveillé no4 :Exponentielle - Probabilités Conditionnelles. . . . . . . . . . . . . . 154

Devoir surveillé no4 :Continuité - Probabilités Conditionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . 156

8 Géométrie vectorielle159

I Rappels et prolongements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

II Repérage dans l"espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

III Droites et Plans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Devoir en temps libre no5 :Extraits de bac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Fiche no7 :Géométrie dans l"Espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Feuille d"exercices no6 :Extraits de bac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Devoir surveillé no5 :Géométrie Vectorielle - Exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

9 Fonctions Logarithmes187

I Logarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

II Propriétés algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

III Propriétés analytiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

IV Composée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

V Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Fiche no8 :Logarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Devoir surveillé no6 :Logarithme - Probabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

10 Produit scalaire dans l"espace et Applications215

I Produit scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

II Équations cartésiennes d"un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

III Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

IV Hors-programme mais.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

Fiche no9 :Produit scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Bac Blanc 1244

11 Calcul Intégral251

I Primitives d"une fonction sur un intervalle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

II Intégrale d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

III Conséquences du théorème (I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

IV Formule de la moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

V Calcul d"aires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

VI(Hors-programme)Intégration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

Fiche no10 :Calcul Intégral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

12 Lois Continues273

I Rappels de première. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

II Variable aléatoire à densité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

III Exemples de lois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

IV Problèmes de bac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

Fiche no11 :Lois Continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

Devoir surveillé no7 :Intégration (Liban 2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

Devoir en temps libre no7 :Intégration (Sujets de bac). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

13 Les Nombres Complexes I293

I L"ensemble des nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

II De la forme trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

III Équations du second degré dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

6Chapitre 0:

Devoir surveillé no8 :Géométrie - Probabilités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

14 Loi normale313

I La Loi normale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

II Loi normale centrée réduite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

III Lois normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

IV Approximation normale d"une loi binomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

V Un peu d"histoire et de culture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

Fiche no12 :Loi normale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

Devoir surveillé no9 :Loi normale - Complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

15 Nombres Complexes II337

I Forme exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

II Applications en géométrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

Fiche no13 :Les nombres Complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

16 Fluctuation d"échantillonnage - Estimation353

I Échantillonnage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

II Estimation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

Fiche no14 :Fluctuation d"échantillonnage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

Fiche no15 :Estimation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

17 Bac 2015 obligatoire371

I Pondichéry 17 avril 2015. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

II Liban 27 mai 2015. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

III Centres étrangers 10 juin 2015. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

IV Polynésie 12 juin 2015. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

V Asie 16 juin 2015. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

VI Antilles-Guyane 22 juin 2015. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

VII Métropole 22 juin 2015. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

VIII Amérique du Nord 2 juin 2015. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

Devoir surveillé no10 :Bac - Sujet A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

Devoir surveillé no10 :Bac - Sujet B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

Correction du devoir no10 :Bac - Sujet A(Correction). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 Correction du devoir no10 :Bac - Sujet B(Correction). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

Bac Blanc 2407

F.PUCCI

Chapitre

Suites - Raisonnement par

récurrence "annéedernière, nous avons découvert le monde des suites et essentiellement celui des suites particulières que sont les suites arithmétiques et géométriques.

Cette année concentre ses efforts sur le comportement des suites en général et aborde la notion

de convergence, c"est-à-dire leur comportement à l"infini.

Pour ce faire, nous démontrerons quelques théorème fondamentaux et découvrirons un nouveau

mode de raisonnement très efficace :le raisonnement par récurrence.

Sommaire

I Démonstration par récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.1 Un exemple pour susciter l"intérêt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.2 Démonstration par récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 II Comportement global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 II.1 Suites monotones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.2 Encadrement de suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 III Convergence d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 III.1 Suites convergentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 III.2 Suites divergentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 III.3 Suites arithmétiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 IV Opérations sur les limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 IV.1 Suites explicites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 IV.2 Cas général. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 V Théorèmes fondamentaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 VI Comportement de suites particulières. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 VI.1 Suites géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 VI.2 Théorème de convergence monotone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 VI.3 Suites adjacentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Feuille d"exercices no1 :Récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Feuille d"exercices no2 :Comportement global. . . . . . . . . . . . . . . 31 Feuille d"exercices no3 :Limite de suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Fiche no1 :Suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Devoir surveillé no1 :Suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Devoir surveillé no1 :Suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 7

8Chapitre 1:Suites - Raisonnement par

récurrence

IDémonstration par récurrence

I.1 Un exemple pour susciter l"intérêt

Soit la suite (un)n?Ndéfinie par :?u

0= 0 u n+1= 2un+ 1. On souhaiterait obtenir une formule permettant de calculerexplicitementunen fonction den. À première vue, cette formule ne saute pas aux yeux.

Dans une telle situation, le calcul des premiers termes est souvent intéressant pour dégager une

relation. Un calcul rapide donne : u

1= 2u0+ 1 = 1 (21-1)

2= 2u1+ 1 = 3 (22-1)

3= 2u2+ 1 = 7 (23-1)

4= 2u3+ 1 = 15 (24-1)

5= 2u4+ 1 = 31 (25-1)

La suite (un)n?Nsemble obéir à une loi toute simple : les puissances successives de 2 moins 1. Nous pouvons donc émettre la conjecture suivante : ?n?N, un= 2n-1. ATTENTIONUne conjecture n"est pas une preuve (ni une affirmation nécessairement vraie,

certaines conjectures se révèlent parfois fausses...). Cen"est que l"énoncé d"une propriété résul-

tant d"un certain nombre d"observations. 1 Alors comment confirmer, par une démonstration, la propriété conjecturée ci-dessus? Notons (Pn) la propriété, définie par :?n?N, un= 2n-1. Supposons un instant, que pour un certain entiern, on ait effectivement la propriétéun= 2n-1.

Alors, on aurait :

u n+1= 2un+ 1 = 2(2n-1) + 1 = 2n+1-1. Ce qui correspond à la propriété (Pn+1) à l"ordren+ 1.

Autrement dit, si la propriété est vraie à un certain rangnalors elle le sera également au rang

suivantn+ 1. On dit que la propriété (Pn) esthéréditaire.

Or, on a déjà vérifié que la propriété ((P)n) était vraie au rang 0, 1, 2, 3, 4, 5, c"est-à-dire que

((P)0), ((P)1), ((P)2), ..., ((P)5) sont vraie. On dit que la propriété ((P)n) estinitialisée.

Mais comme elle est héréditaire, elle sera vraie encore au rangn= 6, puis au rangn= 7, etc...Si bien que notre propriété est finalement vraie à toutrangn.

1. En gros et comme toujours : " Affirmer n"est pas démontrer ».

I. DÉMONSTRATION PAR RÉCURRENCEF.PUCCI

Chapitre 1:Suites - Raisonnement par

récurrence 9

I.2 Démonstration par récurrence

Soit une propriété ((P)n) définie surN.

?Si la propriété est initialisée à partir du rang 0 (oun0),

?et si la propriété est héréditaire à partir du rang 0 (oun0), c"est à dire que pour

toutk >0 (ouk > n0), (P)k=?(P)k+1, Alors : la propriété est vraie à partir du rang 0 (oun0).

Définition 1(Axiome de récurrence)

Pour démontrer que pour tout entiern?n0,Pn(proposition qui dépend den) est vraie, il faut et il suffit : ?(Initialisation)Vérifier quePn0est vraie2. ?(Hypothèse de récurrence)Supposer quePkest vraie pour un certain entier k?n0. ?(Propriété d"hérédité)Démontrer quePk+1est vraie3. ?(Conclusion)Pour toutn?n0,Pnest vraie.

Méthode 1(Démonstration par récurrence)

Ce principe de récurrence va nous permettre de démontrer uneinégalité importante, historique-

ment et pour la suite.

Soit un réelastrictement positif. On a alors :

?n?N,(1 +a)n?1 +na.

ROC(Inégalité de Bernoulli)

Preuve:Notons ((P)n), la proposition?n?N,(1 +a)n?1 +na.et démontrons que celle-ci est vraie par récurrence. ?Initialisation :Pourn= 0, (1 +a)0= 1 et 1 + 0×a= 1, donc (1 +a)0?1 + 0×a. ((P)0) est donc vraie et la propriété est initialisée. ?Hérédité :Supposons ((P)k) vraie pour un certain entierk >0, c"est-à-dire (1+a)k?1+kaet montrons que, sous cette hypothèse, ((P)k+1) est vraie aussi, c"est-à-dire (1+a)k+1?1+(k+1)a: (1 +a)k?1 +kaHypothèse ((P)k) (1 +a)(1 +a)k>(1 +a)(1 +ka) On multiplie par 1 +astrictement positif (1 +a)k+1?1 +ka+a+ka2 = 1 + (k+ 1)a+ka2 ?1 + (k+ 1)a((P)k+1)

3. En pratique, on aura souventn0= 0

3. Sous et seulement sous l"hypothèsePkvraie!!!

F.PUCCII. DÉMONSTRATION PAR RÉCURRENCE

10Chapitre 1:Suites - Raisonnement par

récurrence

La proposition est héréditaire.

?La proposition ((P)n) est donc initialisée et héréditaire. D"après le principe de récurrence, on en

déduit qu"elle est vraie pour tout entiern: ?n?N,(1 +a)n?1 +na. 1 ExerciceLa suite (un)n?Nest définie par :?u0= 1 u n+1=⎷2 +un.

1/Démontrer que pour tout natureln, 0?un?2.

2/Prouver que la suite est strictement croissante.

ATTENTIONLes deux conditions de l"axiome (1) doivent être soigneusement vérifié. Deux exemples pour le prouver :

Exemple 1 (Hérédité seulement vérifiée):Soit la propriété suivante : ((P)n) :?n?N, 3 divise

2 n.

Si l"on suppose que 3 divise 2

nc"est-à-dire ((P)n) vraie alors il existe un entier naturelktel que : 2 n= 3k.

En multipliant par 2 : 2

n+1= 2×3k= 3(2k) et 3 divise donc 2n+1et ((P)n+1) est alors vérifiée.

Conclusion : la proposition est héréditaire mais comme ellen"est jamais initialisée, la proposition ne

peut être vraie. Heureusement car cette proposition est fausse! Elle l"est déjà pourn= 1 : 3 ne divise

pas 2!!!

Exemple 2 (Initialisation vérifiée jusqu"à un certain rang):Soit la propriété ((P)n) suivante :

?n?N,n2-n+ 41 est un nombre premier.

L"initialisation est vérifiée car pourn= 0 on obtient 41 qui un nombre premier. Cependant l"hérédité

n"est pas assurée bien que ((P)n) soit vraie jusqu"àn= 40 4. Pourtant, pourn= 41, on a : 412-41 + 41 = 412qui n"est pas un nombre premier. La propriété est donc fausse.

Conclusion : La véracité d"une proposition pour certaines valeurs au départ ne prouve pas la généralité!

IIComportement global

Avant de s"intéresser à ce qu"il va se passer " loin », il est toujours une bonne idée de chercher

à connaître le comportement global de la suite globalement et notamment voir s"il est possible de restreindre et simplifier l"étude ultérieure.

Intuitivement et en première approche, le comportement de la suite en +∞va tenir des variations

de la suite. On commence donc par rappeler quelques définitions de première.

II. COMPORTEMENT GLOBALF.PUCCI

Chapitre 1:Suites - Raisonnement par

récurrence 11

II.1 Suites monotones

On dit qu"une suite (un)n?Nest :

?croissantesi?n?N, un?un+1. ?décroissantesi?n?N, un?un+1. ?constantesi?n?N, un=un+1. Une suite croissante ou décroissante est ditemonotone.

Définition 2

Attention, les suites peuvent être ni croissantes, ni décroissantes. Prenez par exemple,un= (-1)n,un=(-1)n n,?u 0= 1 u n+1= sin(un),un= tan(n), ... Comparez deux termes d"une suite reste toujours aussi difficile directement. On se ramène donc encore à comparer leur différence à 0 ou leur quotient à 1 :

Soit (un)n?Nune suite réelle.

?Siun+1-un?0 alors (un)n?Nest croissante. ?Si?n?N,un>0 etun+1un?1 alors (un)n?Nest croissante.

Méthode 2

2ExerciceÉtudier le sens de variation des suites suivantes :

1/un=n2-n+ 2.

2/vn=?2

3? n .3/ ?w0= 2 w n+1=wn-n

4/?α0= 1

n+1= (n2+ 1)αn5/ ?γ0= 2 n+1=-γ2n+γn

6/?n?N?,δn=2nn.

Soientfune fonction définie sur [0;+∞] et (un)n?Nla suite définie parun=f(n). ?Sifest croissante alors la suite (un)n?Nest croissante. ?Sifest décroissante alors la suite (un)n?Nest décroissante. Proposition 1(Suites définies explicitement par une fonction)

En gros, la suite a le même comportement que la fonction mais la réciproque est fausse, c"est-à-

dire que la fonction n"a pas nécessairement le même comportement que la suite.

F.PUCCIII. COMPORTEMENT GLOBAL

12Chapitre 1:Suites - Raisonnement par

récurrence

Prenons par exemple, la fonctionf:x?-→

x+ sin(2πx) et la suite (un)n?Ndéfinie par u n=f(n). ??n?N,un=n+sin(2πn) =n5. La suite (un)n?Nest donc croissante. ?La fonction, représentée enrouge, n"est même pas monotone. u1= 1?u1u1 u2= 2?u2u2 u3= 3?u3u3 u4= 4?u4u4 u5= 5?u5u5

12345nu

n Cf

3ExerciceA l"aide des fonctions associées, déterminer le sens de variations des suites suivantes :

1/un=n2-10n+ 26.

2/vn=3n-1

n+ 2.3/wn=n2+ 1quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

[PDF] Cours de MATHÉMATIQUES - Wallis and Futuna

Wallis et Futuna

Cours de

MATHÉMATIQUES

Classe de Terminale S

Enseignement obligatoire

Année 2015

Table des matières

1 Suites - Raisonnement par

2 Droites et Plans de l"espace49

3 Limites69

4 Probabilités Conditionnelles - Lois discrètes97

5 Continuité111

6 Dérivation121

7 L"exponentielle139

8 Géométrie vectorielle159

9 Fonctions Logarithmes187

10 Produit scalaire dans l"espace et Applications215

Bac Blanc 1244

11 Calcul Intégral251

12 Lois Continues273

13 Les Nombres Complexes I293

6Chapitre 0:

14 Loi normale313

15 Nombres Complexes II337

16 Fluctuation d"échantillonnage - Estimation353

17 Bac 2015 obligatoire371

Bac Blanc 2407

F.PUCCI

Chapitre

Suites - Raisonnement par

Sommaire

8Chapitre 1:Suites - Raisonnement par

IDémonstration par récurrence

I.1 Un exemple pour susciter l"intérêt

Soit la suite (un)n?Ndéfinie par :?u

1= 2u0+ 1 = 1 (21-1)

2= 2u1+ 1 = 3 (22-1)

3= 2u2+ 1 = 7 (23-1)

4= 2u3+ 1 = 15 (24-1)

5= 2u4+ 1 = 31 (25-1)

Alors, on aurait :

1. En gros et comme toujours : " Affirmer n"est pas démontrer ».

I. DÉMONSTRATION PAR RÉCURRENCEF.PUCCI

Chapitre 1:Suites - Raisonnement par

I.2 Démonstration par récurrence

Soit une propriété ((P)n) définie surN.

Définition 1(Axiome de récurrence)

Méthode 1(Démonstration par récurrence)

Soit un réelastrictement positif. On a alors :

ROC(Inégalité de Bernoulli)

3. En pratique, on aura souventn0= 0

3. Sous et seulement sous l"hypothèsePkvraie!!!

F.PUCCII. DÉMONSTRATION PAR RÉCURRENCE

10Chapitre 1:Suites - Raisonnement par

La proposition est héréditaire.

1/Démontrer que pour tout natureln, 0?un?2.

2/Prouver que la suite est strictement croissante.

Si l"on suppose que 3 divise 2

En multipliant par 2 : 2

IIComportement global

II. COMPORTEMENT GLOBALF.PUCCI

Chapitre 1:Suites - Raisonnement par

II.1 Suites monotones

On dit qu"une suite (un)n?Nest :

Définition 2

Soit (un)n?Nune suite réelle.

Méthode 2

2ExerciceÉtudier le sens de variation des suites suivantes :

1/un=n2-n+ 2.

2/vn=?2

4/?α0= 1

6/?n?N?,δn=2nn.

F.PUCCIII. COMPORTEMENT GLOBAL

12Chapitre 1:Suites - Raisonnement par

Prenons par exemple, la fonctionf:x?-→

12345nu

3ExerciceA l"aide des fonctions associées, déterminer le sens de variations des suites suivantes :

1/un=n2-10n+ 26.

2/vn=3n-1