Chapitre 4 : Régression linéaire
Interprétation : Ne pas extrapoler la droite au delà des limites du domaine observé de X Ici, la droite a été ajustée pour des âges compris entre 40 et 66 ans Le coe cient xe la hauteur de la droite la droite d'équation y = 60,3928+1,5771x s'appelle la droite de régression estimée de Y sur X d ) aleursV ajustées, résidus et
TD Interprétation d’un ECG
déviation axiale gauche au-delà de -30° déviation axiale droite au-delà de +100° Axe droit: Axe du œu ente +90 et +120° (sufa e du QRS en D3 > D2, en VF comparable à D3, négative en VR) Angulation physiologique: enfant, sujet longiligne Axe anormal: surcharge ventriculaire droite
12 Régression linéaire simple - GERAD
s’ eloigne de X I L’IC de la droite de r egression ne convient pas pour e ectuer des pr evisions puisqu’il concerne la vraie r eponse moyenne au point X= x 0, soit un param etre de la population, et non une nouvelle observation, i e une nouvelle valeur pour la v a Y I L’IP en x 0 est toujours plus grand que l’IC en x 0 car il d epend
2 CORRÉLATION ET RÉGRESSION
ei est le résidu entre la droite (estimée) et la valeur réellement observée (yi) Dans cette équation, b0 et b1 représentent les paramètres (estimés) de la droite donnant le meilleur ajustement au sens des moindres carrés Clairement, si on intervertit les rôles de x et y, il n'y a aucune raison pour que b0 et b1 demeurent inchangés
ETUDE DES FONCTIONS - AlloSchool
Si ???? est continue à droite de et lim f x f a o rf Alors la courbe admet une demi-tangente verticale à droite de Interprétation géométriques Exemple : Soit la fonction définie par : f x x x2 1 1 étudier la dérivabilité de a droite en x 0 1 2 donner une interprétation géométrique Solution : D f f >1, 1) 22
Cours 12 : Corrélation et régression
On peut concevoir le coefficient de corrélation comme un indice de la qualité de la droite idéale passant par les points (ou encore comme la pente quand les valeurs des deux variables ont étés normalisée -transformée en cote z )
TD Interprétation d’une radiographie thoracique
Module de Cardiologie Interprétation d’une radiographie thoracique Télé thorax (TLT) de face: se prend en inspiration forcée, les membres supérieurs en pronation forcée les paumes en dehors Télé thorax de profil: se prend le coté malade sur la plaque, les bras levés
1 Nombre dérivé et tangente à une courbe
1 3 2 Équation de la tangente Définition 3 Dans un repère, soit f une fonction dérivable en a La tangente T à la courbe C f représentative de la fonction f au point A d’abscisse a est la droite passant par A et de coefficient directeur
SCANNER THORACIQUE INTERPRETATION PAR LE REANIMATEUR
Intérêt de l’angioscanner thoracique 1- Diagnostic positif et différentiel de l’embolie pulmonaire 2- Retentissement sur le cœur droit (critères de gravité) 3- Analyse des veines (phlébo-scanner)
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1/62/6 3/6 4/6 5/6 6/6
12. Regression lineaire simple
MTH2302D
S. Le Digabel,
Ecole Polytechnique de Montreal
A2017 (v2)MTH2302D: regression1/46
1/62/6 3/6 4/6 5/6 6/6
Plan1. Introduction
2. Regression lineaire simple
3. Estimation des parametres
4. Intervalles de conance et tests
5. Analyse des residus
6. Correlation
MTH2302D: regression2/46
1/62/6 3/6 4/6 5/6 6/6
1. Introduction
2. Regression lineaire simple
3. Estimation des parametres
4. Intervalles de conance et tests
5. Analyse des residus
6. Correlation
MTH2302D: regression3/46
1/62/6 3/6 4/6 5/6 6/6
Regression lineaire : introduction
But :etablir un lien entre une variable dependanteYet une variable independanteXpour pouvoir ensuite faire des previsions surYlorsqueXest mesuree.Exemple 1 L'analyse de la temperature de fonctionnement d'un procede chimique sur le rendement du produit a donne les valeurs suivantes pour la temperatureXiet le rendement correspondantYi:Temperature
CRendement %Temperature
CRendement %
1004515070
1105116074
1205417078
1306118085
1406619089
MTH2302D: regression4/46
1/62/6 3/6 4/6 5/6 6/6
Exemple 1 (suite)
Le graphe ci-dessous represente les points(Xi;Yi)pour ces donnees et suggere une relation lineaire entreXetY.404 0 0 0 80890901101301
01 0190
400 0 8918 0 3+4, -408MTH2302D: regression5/46
1/62/6 3/6 4/6 5/6 6/6
1. Introduction
2. Regression lineaire simple
3. Estimation des parametres
4. Intervalles de conance et tests
5. Analyse des residus
6. Correlation
MTH2302D: regression6/46
1/62/6 3/6 4/6 5/6 6/6
Modele lineaire
Denition
Unmodele de regression lineaire simpleest de la formeY=0+1X+"
ou IYest lavariable dependante(une v.a.).
I0et1sont lescoecients(ordonnee a l'origine et pente).
I Xest lavariable independante(variable explicative). I "est uneerreuraleatoire.MTH2302D: regression7/461/62/6 3/6 4/6 5/6 6/6
Modele lineaire (suite)
L'esperance deYpour chaqueXest le point sur la droite d'equation E(YjX) =0+1X.On suppose que
IPour chaque valeur deX, E(") = 0et V(") =2.
I "N(0;2). ILes erreurs"sont independantes (non correlees).
On cherche a
IEstimer les parametres0,1et2.
I Verier si le modele est adequat.MTH2302D: regression8/461/62/6 3/6 4/6 5/6 6/6
1. Introduction
2. Regression lineaire simple
3. Estimation des parametres
4. Intervalles de conance et tests
5. Analyse des residus
6. Correlation
MTH2302D: regression9/46
1/62/6 3/6 4/6 5/6 6/6
Parametres0et1
Supposons quenpaires d'observations(X1;Y1),(X2;Y2),:::, (Xn;Yn)ont ete faites. Substituant dans le modele lineaire, on obtient Y i=0+1Xi+"i)"i=Yi01Xi: Les coecients sont determines par la methode des moindres carres qui minimise la somme des carres des erreurs :L(0;1) =nX
i=1(Yi01Xi)2: On resout le systeme de deux equations a deux inconnues rL(^0;^1) = 0.MTH2302D: regression10/461/62/6 3/6 4/6 5/6 6/6
Parametres0et1(suite)
rL(^0;^1) = 0)80=Y^1X
1=P n i=1XiYinXYP n i=1X2inX2=SXYS
XXavec
IX=1n P n i=1XietY=1n P n i=1Yi. ISXX=Pn
i=1(XiX)2=Pn i=1X2inX2= (n1)S2.
ISY Y=Pn
i=1(YiY)2=Pn i=1Y2inY 2. ISXY=Pn
i=1(XiX)(YiY) =Pn i=1XiYinXY. Exemple 2 :retrouver ces formules.MTH2302D: regression11/461/62/6 3/6 4/6 5/6 6/6
Droite de regression pour l'exemple 1404
0 0 0 80890901101301
01 0190+,--./0+1,23/+/1.41/002,-Voirchier Excel .
MTH2302D: regression12/46
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Point de vue algebrique
IEtant donnesnpoints de donnees
(X1;Y1);(X2;Y2);:::;(Xn;Yn)deR2, on essaie de trouver l'equation d'une droite qui passe par lesnpoints. ICette equation estY=0+1Xavec0;12R.
I0et1devraient ^etre les solutions du systemeAx=bavec
A=2 66641X1
1X2......
1Xn3 7775;x=0
1 ;b=2 6 664Y1 Y 2... Y n3 7 775.
I
Resolution au sens des
moindres ca rres ^0;^1) = A>A1A>b.MTH2302D: regression13/46
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Proprietes de0et1
La droite de regression estimee est
^Y=^0+^1X.Les variables aleatoires
^0et^1sont des estimateurs de l'ordonnee a l'origine0et de la pente1.Theoreme1.E(^0) =0et E(^1) =1(estimateurs non biaises).
2.V(^0) =2"
1n +X 2S XX# et V(^1) =2S XX.3.Cov(^0;^1) =2X
S XX.MTH2302D: regression14/46
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Parametre2
Rappel : le modele de regression estY=0+1X+"avec
"N(0;2).La dierence entre la valeur estimee
^Yi=^0+^1Xiet la valeur observeeYiest appeleeresiduet est denoteeEi=^YiYi.On denit
ILasomme des carres d^ue a l'erreurpar
SS E=nX i=1E 2i=nX i=1(^YiYi)2. ILasomme des carres d^ue a la regressionpar
SS R=nX i=1(^YiY)2=^21SXX=S2XYS XX.MTH2302D: regression15/46
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Parametre2(suite)
La quantiteSY Yrepresente la variabilite totale desYi. On peut la decomposer par SY Y=SST=SSE+SSR.Theoreme
1.E(SSE) = (n2)2.
2.^2=SSEn2MSEest donc un estimateur sans biais de2.MTH2302D: regression16/46
1/62/6 3/6 4/6 5/6 6/6
Exemple 1 (suite)
L'analyse de la temperature de fonctionnement d'un procede chimique sur le rendement du produit a donne les valeurs suivantes pour la temperatureXiet le rendement correspondantYi:Temperature
CRendement %Temperature
CRendement %
1004515070
1105116074
1205417078
1306118085
1406619089
Voir chier ExcelMTH2302D: regression17/46
1/62/6 3/6 4/6 5/6 6/6
1. Introduction
2. Regression lineaire simple
3. Estimation des parametres
4. Intervalles de conance et tests
5. Analyse des residus
6. Correlation
MTH2302D: regression18/46
1/62/6 3/6 4/6 5/6 6/6
Distributions pour
^0et^1TheoremeLa statistique^00r
MS Eh1n +X 2S XXi suit une loi de Student an2degres de liberte.TheoremeLa statistique^11pMS
E=SXX suit une loi de Student an2degres de liberte.MTH2302D: regression19/461/62/6 3/6 4/6 5/6 6/6
Intervalles de conance pour0et1Theoreme
Intervalles de conance bilateraux au niveau de conance1 pour0et1:0=^0t=2;n2v
uutMS E" 1n +X 2S XX#1=^1t=2;n2rMS
ESXX.Voirchier Excel .
MTH2302D: regression20/46
1/62/6 3/6 4/6 5/6 6/6
Intervalles de conance pour la droite de regression Il s'agit d'un intervalle de conance pour E(Y0jx0), la reponse moyenne a la valeurx0. Pourx0donne soit^Y0=^0+^1x0l'estimateur de E(Y0jx0).Theoreme Intervalle de conance pour E(Y0jx0)au niveau de conance 1:E(Y0jx0) =^Y0t=2;n2sMS
E1n +(Xx0)2S XXMTH2302D: regression21/46
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Exemple 1 (suite)
Le calcul de l'intervalle de conance a 95% en chaque point x0=Xi,i= 1;2;:::;10donne le tableau suivant :x
0100 110 120 130 140
^y045.56 50.39 55.22 60.05 64.88 limites1:301:100:930:790:71x0150 160 170 180 190
^y069.72 74.55 79.38 84.21 89.04 limites0:710:790.931:101:30Voirchier Excel .MTH2302D: regression22/46
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Exemple 1 (suite)
a partir des donnees du tableau precedent, on a trace l'intervalle de conance pour la droite de regression :44040 400 40 0 40 084080
091099
093
09+ 094
09 09 09 098
09