Terminale S 2019 / 2020 A

On sait calculer l’aire d’un rectangle : L ℓ aire= L×ℓ l’aire d’un triangle b h aire= base×hauteur 2 = b×h 2 l’aire d’un trapèze rectangle B b h aire= (petite base+grande base) 2 ×hauteur = (b+B) 2 ×h Le plan étant rapporté à un repère orthonormé ŠO, Ð→ i , Ð→ j ‘, on se propose de calculer l’aire du

Terminale S 2019 / 2020 A

L’aire est celle d’un rectangle de longueur 6 et de hauteur 2 donc = 6 ×2 = 12 ua Ainsi − 5 1 2dx = 12 Calculons − 5 2 (2 x 4) dx L’aire est celle d’un triangle de longueur 3 et de hauteur 6 donc = 2 3×6 = 9 ua Ainsi − 5 2 (2 x 4) dx = 9 2 5 6

Expérimenter, Aire maximale dans un triangle

Aire maximale dans un triangle Aide mathématique Niveau I 1) Exprimer l’aire f (x) du rectangle ANMP en fonction d’une longueur variable nommée x 2) Si on appelle m la valeur qui semble être la valeur maximale de l’aire du rectangle ANMP, montrer que m est un maximum pour la fonction f Expérimenter, conjecturer, démontrer

Math´ematiques en Terminale S Calcul int´egral

Calcul int´egral Terminale S Section 1 Aire sous une courbe On consid`ere la fonction f d´eﬁnie par f(x) = x2+4 pour tout x dans l’intervalle [0;3] On souhaite d´eterminer l’aire du domaine sous la courbe repr´esentative C de f Pr´ecis´ement le domaine d´elimit´e par la courbe et l’axe des abscisses en hauteur, et les

MATHEMATIQUES Orthogonalité et distances dans l’espace

Le triangle FIG est isocèle de sommet principal I Sa hauteur issue de I vaut 1 et sa base FG vaut 1 Donc son aire est égale à 1×1 2 = 1 2 E F H G I Le volume V du tétraèdre FBIG est donc V = 1 3 (aire de FIG) ×BF = 1 3 × 1 2 ×1 = 1 6 b En utilisant la formule fournie dans l’énoncé, la distance du point F au plan (BGI) en

Exo7 - Cours de mathématiques

carrées Supposons que l’on parte d’un segment de longueur 1 Il est facile de construire un segment de longueur p 2 : c’est la longueur de la diagonale du carré de côté 1 Repartons du segment diagonal de longueur p 2 : on construit un triangle rectangle avec un côté de longueur 1, et l’hypoténuse a alors pour longueur p

TS sujets bac espace - pagesperso-orangefr

Or est un triangle rectangle isocèle en avec 1 donc T[\] X unité d’aire De plus, X (car ^0) donc Finalement S _ 2) a 82`0 donc le barycentre existe Par définition : 8 8 0 Or : 8 8 0 a 8 8 8 8 0 a 82 2 2 a 82 8 1 82 b 82 8 1 82 82 8 8 1 82

Matière : Mathématiques Classe : Terminale SG Exercice I

Démontrer que les points C, E, H et F sont sur un même cercle de centre D (1 pt) 5) M est un point variable d’affixe z distinct de F On pose ’= +4−6 +2 Trouver l’ensemble des points M dans chacun des cas suivants : a) ′ = 1 (1 pt)

C:/Documents and Settings/jandrieux/Bureau/Presidence 2011

Soit &’:0 un rectangle et 2 le milieu de #&0’ Lecercledecentre& et de rayon &2 coupe #&’’ en 1 Lecercledecentre’ et de rayon ’2 coupe la perpendiculaire à (&’) passant par 1 en 3 31 est la longueur du côté d’un carré dont l’aire est égale à l’aire du rectangle &’:0 Justiﬁer la dernière aﬃrmation du texte

Terminale S2 - 2019 / 2020 A7 - cours

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Le principe du calcul intégral est de calculer des aires.

C'est même sa raison d'être !

Il va donc falloir faire plusieurs choses :

• définir correctement la notion d'unité d'aire (le cm

2 ? l'are ? l'hectare ? en maths, on s'en

fiche un peu : c'est pourquoi on se contentera dans l'immense majorité des cas de ce qu'on

va appeler l'unité d'aire, et que seulement en cas de nécessité on convertira cette grandeur

" passe-partout » en une autre unité ; • rappeler quelques formules simples qui datent de l'école primaire ;

• approcher des aires " non évidentes » c'est-à-dire ne correspondant pas aux formules

habituelles (celles du primaire, justement !) et donc se donner un moyen de les calculer.

0) Préliminaires : unité d'aire et conversion

• Unité d'aire et conversion

On considère un repère (O ;

Åi , Åj) du plan.

On appelle unité d'aire (ua) l'aire du parallélogramme (rectangle si le repère est orthogonal) défini

par les vecteurs unitaires du repère.

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Si par exemple dans un repère orthogonal, ║ ║Åi = 2 cm et ║ ║Åj = 3 cm alors 1 ua = 6 cm2.

Dans un repère orthonormé d'unité

║ ║Åi = 4 cm, alors 1 ua = 16 cm2. • Formules d'aires classiques 1 ua

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B A • Construction de la courbe (droite) d'une fonction affine Le rappel date de troisième, revu en seconde puis en première puis en terminale, mais on n'est jamais trop prudent.

Une fonction affine f(x) = ax

+b (a est le coefficient directeur et b l'ordonnées à l'origine) est

représentée graphiquement par une droite. Il suffit donc d'en connaitre deux points pour pouvoir la

tracer, et, donc, il suffit pour cela de calculer deux images. Evidemment, l'obtention de la droite ne dépend pas des nombres choisis (ici 1 et -2).

1) Intégrale d'une fonction continue sur un intervalle [a ; b]

a) Cas d'une fonction positive a b

Notons

situé sur Ainsi

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Définition

? dans un repère (O ;

Åi , Åj).

b a dxxf)(, l'aire ? du domaine situé entre l'axe des abscisses et ?, et entre les droites d'équation x = a et x = b.

Remarque

L'aire est exprimée en unités d'aire mais l'intégral n'a pas d'unité.

Exemples

Pour le moment, pour calculer une intégrale, on respecte donc le protocole suivant :

• tracer la courbe de la fonction f dans un repère, entre les abscisses a et b (bornes de l'intégrale)

• visualiser (en hachurant par exemple) l'aire correspondant à l'intégrale

• reconnaitre la " forme » géométrique et appliquer la formule qui convient pour calculer l'aire

-1 5 2

Calculons Ð

-5 1 2dx.

L'aire

? est celle d'un rectangle de longueur 6 et de hauteur 2 donc ? = 6×2 = 12 ua. Ainsi -5 1

2dx = 12.

Calculons Ð-

5 2 )42(dxx.

L'aire

? est celle d'un triangle de longueur 3 et de hauteur 6 donc ? = 263× = 9 ua. Ainsi 5 2 )42(dxx = 9. 2 5 6

Page 5

En effet si on note

M(x , y) ? ?

? y = 21x-et -1 Â x Â 1 ? y2 = 1 - x2 et -1 Â x Â 1 et y Ã 0 ? x2 + y2 = 1 et -1 Â x Â 1 et y Ã 0 ? x2+y2 = 1 et -1 Â x Â 1 et y Ã 0 ? OM = 1 et -1 Â x Â 1 et y Ã 0

? M(x , y) est sur le demi-cercle de centre O et de rayon 1 situé au-dessus de l'axe des abscisses.

Calculons Ð+

3 0 )1(dxx.

L'aire

? est celle d'un trapèze de petite base 1, de grande base 4 et de hauteur 3 donc ? = 32

41×+

15 ua.

Ainsi 3 0 )1(dxx = 2 15. 3 4 1

Calculons Ð

1 1 2 1dxx.

L'aire

? est celle d'un demi disque de centre O et de rayon 1, donc ? = 2

1π×12 = 2

π ua.

Ainsi 1 1 2

1dxx = 2

1 -1

Page 6

Quelques règles simples

Si a = b, alors Ð b a dxxf)( = 0

En effet, dans ce cas, car le domaine d'aire

?, de largeur nulle (aucune distance entre a et ... a), est réduit à un segment.

Il a donc une aire nulle.

Concrètement,

ÓÑ5 5 ( )x2-3x+7 dx = 0 sans avoir besoin de faire un calcul. Pour m > 0, ÓÑa b mdx = m(b - a)

Si la fonction

f(x) = m est constante, le domaine est un rectangle de hauteur m et de largeur b - a.

Par exemple,

5 1

2dx = 2(5-(-1)) = 2×6 = 12 (c'est bien ce qu'on avait trouvé !)

Ou encore

ÓÑ1 2020 πdx = π(2020-1) = 2019π.

Pour tous réels

a, b et c, on a : Ð c a dxxf)( = Ð b a dxxf)( + Ð c b dxxf)(

Il suffit d'un schéma pour comprendre cette règle qui s'appelle la relation de Chasles pour les

intégrales. m a b m b-a

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c a dxxf)( = ? ; Ð b a dxxf)( = ?1 et Ð c b dxxf)( = ?2. Or ? = ?1 + ?2.

Donc Ð

c a dxxf)( = Ð b a dxxf)( + Ð c b dxxf)(. b) Cas d'une fonction négative

La définition de l'intégrale d'une fonction positive amène un constat : puisqu'il s'agit d'une aire,

alors l'intégrale d'une fonction positive est positive. L'aire est en effet une donnée physique positive !

Mais interrogeons-nous sur ce que cela implique.

Une fonction positive a une courbe située au-dessus de l'axe des abscisses (en rouge ci-dessous).

Son intégrale a donc été définie comme étant égale à l'aire du domaine situé entre l'axe des

abscisses et la courbe de la fonction.

Si une fonction est négative, sa courbe est située en-dessous de l'axe des abscisses (en vert), mais il

est tout à fait aisé de définir de façon complètement analogue le domaine situé entre la courbe de la

fonction et l'axe des abscisses : la seule différence c'est que ce domaine est sous l'axe en question.

Par contre son aire reste une donnée physique positive. a a b c c ?1 ?2

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La question de l'intégrale d'une fonction négative amène donc une question, sous la forme d'une

" décision » à prendre : souhaite-t-on que l'intégrale reste une aire et soit donc positive dans ce cas

de figure aussi ? ou bien veut-on que le signe de l'intégrale " suive » celui de la fonction qu'on

intègre et devienne donc négative quand la fonction l'est ?

Cette question du signe en soulève une autre : pour qu'il y ait un " signe », il faut une orientation,

afin de définir ce qui sera positif, de ce qui ne le sera pas.

Dans un repère (

O ; Åi , Åj) du plan, ce sont les vecteurs qui orientent les axes : sur l'axe des abscisses, les abscisses positives sont à droite de l'origine parce que le vecteur

Åi est orienté vers la

droite et de même, sur l'axe des ordonnées, les ordonnées positives sont au-dessus de l'origine

parce que le vecteur

Åj est orienté vers le haut.

Interrogeons-nous sur l'axe des abscisses.

Nous avons défini l'intégrale d'une fonction f sur un intervalle [a ;b] ce qui suppose que a < b. Autrement dit, on intègre dans le sens positif que l'axe des abscisses.

Que se passerait-il si au lieu d'intégrer de 1 à 4 par exemple, on intégrait de 4 à 1, c'est-à-dire à

" rebrousse-poil », dans le sens négatif ?

La réponse est dans cette " propriété » qui est en fait une façon de compléter la définition d'une

intégrale :

ÓÑb a f(x)dx = -ÓÑ

a b f(x)dx Ainsi l'intégrale est un objet orienté par le sens de l'axe des abscisses :

Pour une fonction positive, si

a < b alors : ÓÑa b f(x)dx Ã 0 et ÓÑb a f(x)dx Â 0.

Concrètement on a vu dans les exemples que

ÓÑ2 5 (2x-4)dx = 9.

On en déduit alors dans calcul que

ÓÑ5 2 (2x-4)dx = -9.

Il est donc naturel de prolonger cette orientation à l'axe des ordonnées, en " décidant » (c'est ça, el

sens d'une définition : construire un objet mathématique pour qu'il ait les propriétés que l'on

souhaite) qu'à fonction positive, intégrale positive, et qu'à fonction négative, intégrale négative.

• • a b Åi Åj

Page 9

Définition

a ; b], de courbe représentative ? dans un repère (O ;

Åi , Åj).

Dans ces conditions on pose

b aquotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

[PDF] Terminale S 2019 / 2020 A

Terminale S2 - 2019 / 2020 A7 - cours

Page 1

C'est même sa raison d'être !

Il va donc falloir faire plusieurs choses :

2 ? l'are ? l'hectare ? en maths, on s'en

0) Préliminaires : unité d'aire et conversion

On considère un repère (O ;

Åi , Åj) du plan.

Page 2

Dans un repère orthonormé d'unité

Page 3

Une fonction affine f(x) = ax

1) Intégrale d'une fonction continue sur un intervalle [a ; b]

Notons

Page 4

Définition

Åi , Åj).

Remarque

Exemples

Calculons Ð

L'aire

2dx = 12.

Calculons Ð-

L'aire

Page 5

En effet si on note

M(x , y) ? ?

Calculons Ð+

L'aire

41×+

15 ua.

Calculons Ð

L'aire

1π×12 = 2

π ua.

1dxx = 2

Page 6

Quelques règles simples

En effet, dans ce cas, car le domaine d'aire

Il a donc une aire nulle.

Concrètement,

Si la fonction

Par exemple,

2dx = 2(5-(-1)) = 2×6 = 12 (c'est bien ce qu'on avait trouvé !)

Ou encore

ÓÑ1 2020 πdx = π(2020-1) = 2019π.

Pour tous réels

Page 7

Donc Ð

Mais interrogeons-nous sur ce que cela implique.

Page 8

Dans un repère (

Åi est orienté vers la

Åj est orienté vers le haut.

Interrogeons-nous sur l'axe des abscisses.

ÓÑb a f(x)dx = -ÓÑ

Pour une fonction positive, si

Concrètement on a vu dans les exemples que

ÓÑ2 5 (2x-4)dx = 9.

On en déduit alors dans calcul que

ÓÑ5 2 (2x-4)dx = -9.

Page 9

Définition

Åi , Åj).

Dans ces conditions on pose