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Introduction `a l’optimisation - univ-toulouse

Introduction `a l’optimisation 1 1 Probl´ematique 1 1 1 Cadre Un probl`eme d’optimisation consiste, ´etant donn´ee une fonctionf: S → R,`atrouver: 1) son minimum v (resp son maximum) dans S 2) un point x0 ∈ S qui r´ealise ce minimum (resp maximum) i e f(x0)=v Vocabulaire – f est la fonction objectif – v est la valeur optimale

Introduction a l’optimisation` - AESE

2 Introduction a` l’optimisation L’optimisation consiste a` trouver le maximum ou le minimum d’une fonction, c’est-a`-dire la valeur de x qui produit la plus grande (ou la plus petite) valeur de y = f(x) Ici, y = f(x) est appele´e fonction objectif Cette fonction peut eˆtre contrainte, c’est-a`-dire sujette a` une autre fonction

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l T+1 0,a T+1 0,a T+1l T+1 = 0, (15) which means that either the asset holdings (a) must be exhausted on the terminal date, or the shadow price of capital (l t) must be 0 on the terminal date Since u0> 0, the marginal value of capital (l) cannot be 0 and thus the capital stock should optimally be exhausted by the terminal date T +1, i e , a T+

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Introduction à l'Optimisation Ce livre d'introduction à l'Optimisation a servi de support écrit pour de nombreux enseignements à Mines ParisTech, à l'université Paris Dauphine, à l'École Centrale Paris et d'autres cours spécialisés Il est couramment utilisé dans des masters uni L'arthrose et sa solution

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Chapitre 1

Introduction `a l"optimisation

1.1 Probl´ematique

1.1.1 Cadre

Un probl`eme d"optimisation consiste, ´etant donn´ee une fonctionf:S→

R,`atrouver:

1) son minimumv(resp. son maximum) dansS

2) un pointx

?Squi r´ealise ce minimum (resp. maximum) i.e. f(x )=v.

Vocabulaire

...fest lafonction objectif -vest lavaleur optimale est lasolution optimale -S={solutions r´ealisables du probl`eme} -´ecriture du probl`eme:min x?S f(x)resp.max x?S f(x) Remarque1) L"optimisation est une branche des math´ematiques. Dans la pratique, on part d"un probl`eme concret, on le mod´elise et on le r´esoud math´ematiquement (analytiquement: probl`eme d"optimisation, num´eriquement: programme math´ematique).

2) Lien minimum/maximum: soitfune fonction dont on veut trouver le

maximum. Le probl`eme max x?S f(x)renvoit(x ,v) alors que le probl`eme min x?S f(x)renvoit(x ,-v). D"o`u ce lien. Ainsi la recherche d"un maxi- mum peut toujours se ramener `a la recherche d"un minimum.

1.1.2 Applications

L"optimisation intervient dans de nombreux domaines: •en recherche op´erationnelle (probl`eme de transport, ´economie, gestion de stocks...) •en analyse num´erique (approximation/r´esolution de syst`emes lin´eaires, non lin´eaires...) •en automatique (mod´elisation de syst`emes, filtrage...) •en ing´enierie (dimensionnement de structures, conception opti- male de syst`emes (r´eseaux, ordinateurs...))

1.2 Diff´erents types d"optimisation

1.2.1 Classification des probl`emes d"optimisation

- optimisation lin´eaire fest une fonction lin´eaire:f(x)= Sest d´efini par des fonctions affines:ax+b≥0 - optimisation lin´eaire quadratique fest une fonction convexe quadratique:f(x)= +< b,x > Aest une matrice sym´etrique semi-d´efinie positive Sest d´efini par des fonctions affines:ax+b≥0 - optimisation convexe fest une fonction convexe etSun domaine convexe - optimisation diff´erentiable fest une fonction diff´erentiable Sest d´efini par des fonction (=contraintes) diff´erentiables - optimisation non diff´erentiable :f(x)=max{f (x),..,f (x)} - optimisation en dimension infinie :probl`emes variationnelsJ(x)=?

L(t,x(t),x(t))dtavecxdans un

ensemble de fonctionsX,x(0) =x etx(T)=x Nous ´etudierons, dans ce cours, uniquement des probl`emes d"optimisation non lin´eaire.

1.2.2 Optimisation non lin´eaire

On distingue trois types de probl`emes:

-probl`eme sans contraintes: min x?R nf(x) -probl`eme avec contraintes de type ´egalit´e:min x?S f(x)avecSde la formeS={x?R t.q.g (x)=0 pouri=1..l}avecg →R -probl`eme avec contraintes de type in´egalit´e:min x?S f(x)avecSde la formeS={x?R t.q.h (x)≥0pouri=1..l}avech →R

1.3 Exemples de probl`emes d"optimisation non lin´eaire

1. Soitf:R

→Rqui au couple (a,b) associe le r´eela +ab-5a+2b. C"est un probl`eme sans contrainte, chaque variablea,bvarie dansR tout entier.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_4