Chap E1 : fondement de l’analyse : R et les suites r eelles
(R A T) s’appelle une relation d’ordre sur E b) Exemple de relation d’ordre : (i) Les ordres usuels Det Edans les ensembles de nombres N;Z;Q;R (ii) Attention la relation >ou
3 Nombres r´eels, suites num´eriques - orgfreecom
3 1 5 Relation d’ordre 3 1 6 Exposants entiers relatifs 3 1 7 Intervalles de IR 3 1 8 Droite num´erique achev´ee 3 1 9 Identit´es remarquables 3 1 10 Valeur absolue et distance 3 1 11 Quelques in´egalit´es classiques 3 2 Borne sup´erieure, borne inf ´erieure 3 2 1 Axiome de la borne sup´erieure 3 2 2 Propri´et´es de la
Example1 - Michigan Technological University
The ordered pairs (2,2) and (3,3) must be added to R, to obtain this new reflexive relation that is the reflexive closure of R cs2311-s12 - Relations-part2 note 1 of slide 9
Une Propriete Arithmetique des Suites Recurrentes Lineaires D
1 2 Suites d’ordre deux On consid`ere ξ une suite v´erifiant la relation: ξn+2 = aξn+1 +bξn, n ≥ 0, o´u a, b ∈ Fp avec a = 0 On notera, Δ = D(f)=a2 +4b Les r´esultats ci-deous sont bien connus et d´emontr´es en [1]
UN Mf:TALANGAGE ,DE GRAMMAIRES TRANSFORMATIONNELLES
a) Propri~t~s poss~d~es par un sommet b) Construction des relations simples c) Construction des relations multiples 4 ° - Reconnaissance d'une figure dans une structure arborescente a) Schema de figure b) Figures dans une arborescence munie d'une relation d'ordre restreinte
R epublique Alg erienne D emocratique et Populaire Universit
On conviendra de noter xRyla relation x2E, y2Eet (x;y) 2R On va etudier deux types de relations particuli erement importantes, la relation d’ equiva-lence et la relation d’ordre 1 2 2 Relation d’ equivalence Une relation binaire Rsur un ensemble Eest dite relation d’ equivalence si elle est : a) r e exive : 8x2E; xRx
Solution Outlines for Chapter 6 - Earlham College
Proof To show that isomorphism is an equivalence relation, I must show re exive, symmetric and transitive First, notice that GˇGby the identity map Thus the isomorphism relation is re exive Suppose that GˇH Then there exists an isomorphism ˚: GH But this implies that ˚ 1: HGis also an isomorphism Thus HˇGand the relation is symmetric
Sets and set operations - University of Pittsburgh
relation from the set A to the set B 12 CS 441 Discrete mathematics for CS M Hauskrecht Set operations Definition: Let A and B be sets The union of A and B, denoted
Exchange Rate Fundamentals and Order Flow
relation, in which the exchange rate can be expressed as the sum of two terms, one reflecting measured macro fundamentals, Ft, and the other unexplained by measured macro fundamentals, Ut: st= Ft+Ut, where st denotes the log nominal exchange rate Naturally, both of these terms are discounted sums of expected current and future values, i e :2
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MPSI 1Semaine 16, du 5 au 9 fevrier 2018Chap. E1 : fondement de l'analyse :Ret les suites reellesSi les points d'une droite sont repartis en deux classes, de telle maniere que tous les points
de la premiere classe soient places a gauche de tous les points de la seconde, alors il existe un unique point de division, qui engendre cette repartition en deux classes, cette coupure de la droite en deux parties. R. Dedekind,Stetigkeit und irrationale Zahlen, 1872.I Proprietes des relations d'ordres
1) Proprietes de l'ordre dansN
Ces proprietes ont ete donnees au chap. A2. Elles se demontrent a partir de la def. axiomatique deNi.e. par recurrence.P1Toute partie non vide deNadmet un plus petit element (ou minimum).Rappel :SiA?N, on dit qu'un entierM?Nest unmajorantdeAssi?a?A,a⩽M. On dit
qu'une partieAdeNestmajoreessi elle admet un majorant;P2Toute partie non vide majoree deNadmet un plus grand element (ou maximum).2) Passage deNaZpuis aQ:
a)DansZ: P1n'est plus vraie,Zn'admet pas de plus petit element, mais :P1;bToute partie non videminoreedeZadmet un plus petit element (ou minimum).b)DansQ:P1;betP2sont denitivement perdues :
P.ex. pourP2:A=Q-?alorsAest majore par 0, maisAn'a pas de plus grand element. Preuve { Par l'absurdesi on avait una=max(A)commea<0 alorsa?2 est aussi dansAet aavec×surK+s'appellecorps totalement ordonne.(iii) Exemples :(Q;+;×)et(R;+;×)sont des corps totalement ordonnes, en considerant l'ordre
usuel≥.Contre-exemple : Si on considere≥l'ordre lexicographique surC, alors≥est un ordre total sur
C, compatible avec+, mais≥n'est pas compatible avec×surC+. Cf. ex. pl.4) Majorant, Max, Sup., Minorant, Min., Inf (important 6 notions distinctes!) :
Parmi les six denitions suivantes 4 sont deja connues, 2 sont nouvelles, et centrales pour toute la suite du cours d'analyse. Dans ce qui suitEest un ensemble quelconque muni d'une relation d'ordre⩾quelconque.On note alorsa⩽b?b⩾a.
a)Majorant, minorant {SoitAune partie deE.Def. 1SoitM?E. On dit queMest unmajorantdeAssi
On dit queAestmajoreessi
Def. 2Soitm?E. On dit quemest unminorantdeAssi
On dit queAestminoreessi
Savoir faire :SoitAune partie deE.
An'est pas majoree si, et seulement si,
b)Maximum, minimum -SoitAune partie deE. Def. 3a1estmaximumouplus grand elementdeAssi [a1?Aet?a?A;a⩽a1].Def. 4Aadmet unmaximumssi?a1?A;?a?A;a⩽a1.
Prop.SiAadmet un maximum (resp. un minimum) alors celui-ci estunique. On note alors max(A)(resp. min(A)) cet unique maximum (resp. minimum). 2MPSI 1Semaine 16, du 5 au 9 fevrier 2018Preuve - Methode standard pour l'unicite, on en prend deux, on montre qu'ils sont egaux.Soient
M1etM2deux maximum (maxima) deA.
Par def.⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩?a?A; a⩽M1(1) ?a?A; a⩽M2:(2)c) Borne superieure (Sup.) et borne inferieure (Inf.) : nouveaute (i) Exemple important (utilisant notrehabitudedes nombres reels) : si, dansR, on considereA=[0;1[alorsAn'a pas de max. mais 1 joue un r^ole special : c'est leplus petit des majorants deA. On va dire 1=sup(A)(ii)Def. 5On dit queA?Eadmet uneborne superieuresi, et seulement si,Aest
majoreeetl'ensemble de tous les majorants deAadmet unplus petit element.On note alors sup(A), leplus petit des majorants deA.(iii)Def. 6On dit queA?Eadmet uneborne inferieuresi, et seulement si,Aest
minoreeetl'ensemble de tous les minorants deAadmet unplus grand element. On note alors inf(A), leplus grand des minorants deA.(iv)Lien entre max. et sup.Prop.SiAadmet un maximum alorssup(A)=max(A).
On a vu au (i) avecA=[0;1[qu'on peut avoir un sup. sans avoir de max. Terminologie :Quand sup(A)=max(A)on dit que \le sup. est atteint". Preuve de la prop. :On veut montrer que siAadmet un max c'est bien le plus petit des majorants deA. NotonsM=max(A).Par l'absurde, s'il existe unN?E, majorant deA, tel queNFait :DansQ, il existe (beaucoup de) parties majorees qui n'ont pas de borne superieure.Exemple :Attention on ne veut pas parler de nombre reel a ce stade, cf. regle du jeu, on ne
sort pas deQ..On considereA={r?Q; r2<2}.
AlorsAest majore par 2 par exemple. En eet sir>2 alorsr2>4 et doncr??A. Donc par contraposee sir?Aalorsr⩽2. On va demontrer queAn'admet pas de borne superieure dansQ. Par l'absurde, supposons queAa une borne superieureM?Q. On distingue deux cas : ?1er cas :M2<2 autrement ditM?Aest donc lemaximumdeA. On considere alors la suite(un)?QNdenie par?n?N?,un=(M+1?n)2. Alorsun?→n→+∞M2. CommeM2<2, il existe un rangn0tel que pour toutn⩾n0,un?[M2;2[. Mais alorsM+1?n?A,contradiction avec le fait queMsoit le maximum deA. ?2eme cas :M2>2.On va construire cette fois un autre majorant deAstrictement plus petit queM. On considere la suite(vn)denie par?n?N?,vn=(M-1?n)2. De m^emevn?→n→+∞M2et il existe unn0?N,?n⩾n0,vn?]2;M2]. Mais alors pourn⩾n0,M-1?nest un majorant deA(car si on avait unr?Atel que r>M-1?n, on auraitr2>(M-1?n)2⩾2 impossible pourr?A). DoncM-1?nest un majorant deAstrictement plus petit queM,contradiction avec la def.de la borne sup.2) Theoreme-denition de(R;+;×)a) Thm. def(H.P.)Il existe un corps totalement ordonneessentiellement uniquecontenant
Qet ayant la propriete suivante (P.B.S.) toute partie non vide majoree admet une borne superieure. Par def. ce corps totalement ordonne est note(R;+;×;⩽).4MPSI 1Semaine 16, du 5 au 9 fevrier 2018Explication du \essentiellement unique" :Si on considere deux corpsK1etK2veriant ces
proprietes, il existe un isomorphisme entre les deux, compatible avec l'ordre i.e. croissant. Remarque 1Il est equivalent, dans le theoreme precedent, de remplacer la P.B.S. par la P.B.I. : toute partie non vide minoree admet une borne inferieure. Remarque 2 :le≪contenantQ≫dans le theoreme du 2) a) peut ^etre enleve car il n'est pas dicile de demontrer que tout corps totalement ordonne contientQ(i.e. un sous-corps isomorphe a(Q;+;×)).3)(?)Commentaires H.P. sur la partieexistencedans le theoreme fondamental du 2):
La partieexistencedu theoreme precedent demande uneconstruction. Cetteconstruction deR est H.P.4) Important : comment on deduit toutes les prop. deRdes axiomes du 2)
a) Regle du jeu ici On veut (peut) deduire toutes les prop. connues (et les autres...) deRdes trois proprietes :Rest un corps totalement ordonne,RcontientQetRa la P.B.S. Bref, on considere au depart unRabstrait et axiomatique, dont on va dessiner les contours au fur et a mesure qu'on va derouler les consequences des axiomes, cela donnera l'idee de l'unicite de Rdans le theoreme du 2) : on retrouvera notamment leR\concret" des developpements decimaux. b) Denition et proprietes de la valeur absolue : (i)Def.Pour toutx?R, commeRest totalement ordonne, on peut considerer le max. dexet de-x, on note :?x?=max(x;-x) (ii)Prop.(I.T)?(a;b)?R2,?a+b?⩽?a?+?b?. (I.T.2)?(a;b)?R2,??a?-?b??⩽?a-b?. (iii)Rem.Reciproque du (i) : expression du max avec la valeur absolue. ?(x;y)?R2;max(x;y)=x+y+?x-y?2 c) La propriete d'Archimede deduite de la P.B.S. Prop.?(a;b)?(R+?)2;?n?N,na>b.Dem. en exercice(?): par l'absurde avec P.B.S. d) De la propriete d'Archimede aux reels comme on les conna^t :Cette prop. va nous dire comment les entiersN, les decimaux, les rationnels sont \plonges" dans notreR
encore axiomatique (cf. aussi e)) Dans ce qui suit, on suppose seulement que(R;+;×)est un corps totalement ordonnee ayant la prop. de la PBS et donc la prop. d'Archimede : on n'utilise en fait que la prop. d'Archimede et pas la P.B.S. (i)Relation entreRetN:Prop. 1:?x?R+?,?n?N, 0<1naque d'eau".(iii) Prop.def. de la partie entiere⌊x⌋le plus grand entier inferieur ou egal ax.Existe par Archimede. Retenir :?x?R;⌊x⌋⩽x<⌊x⌋+1.5
MPSI 1Semaine 16, du 5 au 9 fevrier 2018(iv) Rappel de Prop.?(x;y)?R2?n?Z,⌊x+y⌋⩾⌊x⌋+⌊y⌋et⌊x+n⌋=⌊x⌋+n.
Revoir les exercices faits au A3 sur la partie entiere. (v)) Ayant deni la partie entiere, on denit lesvaleurs decimales approcheesd'un nombre reel, a la precision 10 -n. Approximation par defaut, par exces.?x?R;?n?N,?!an?Z;an10 n:(vi)Prop.(preuve avec le(v) :Dest dense dansRN.B.on retrouve la densite deQd'une autre facon. (viii) Rem. L'ensembleR∖Qest aussi dense dansR(sera montre au IV 1) c)). e) La prop. de la borne sup. donne l'existence de reels veriant certaines proprietes. (i) Ainsi on peut demontrer l'existence de racines carrees pour les nombres positifs en considerant directement pour touta>0,=sup{x?R;x2III Suites reelles et limite de suites
1) Rappels sur les suites
a)Rappel de def.Une suite reelleuest uneapplicationdeNdansR, autrement dit un element deF(N;R). Pourn?N, l'imageu(n)se note plut^otunet s'appelle len-ieme termede la suite. Se donner l'applicationurevient a se donner leN-uplet(u0;:::;un;:::). C'est pour cela qu'on note aussiRNpour l'ensembleF(N;R). La suiteuelle-m^eme se note aussi(un)n?Nou simplement(un): parenthese essentielle! b)Rappel de structureRN=F(N;R)est unR-e.v. de reference. Loi×pour les suites, comme pour les fonctions : siuetvsont deux suites on denitu:vpar ?n?N,(uv)n=un:vn. c)Notion de suite extraite (ou sous-suite) Def.Soit(un)?RN. Une suite extraite de(un)est par def. une suite(vn)de la forme(vn)= (u'(n))ou'?N→Neststrictement croissante. Exemple :On considerera souvent pour une suite(un)les deux suites extraites(u2n)et (u2n+1). Par exemple si?n?N;un=(-1)nalors(u2n)est constante egale a 1 et(u2n+1)constante egale a-1. Terminologie :On dit aussisous-suitepoursuite-extraite.2) Premieres proprietes des suites
a) Monotonie : (i) Une suite(un)estcroissantessiUne suite(un)estdecroissantessi
(ii) Une suite(un)estmonotonessi(un)est croissante ou(un)est decroissante.Deux methodes pour tester la monotonie :
signe deun+1-unou bien comparerun+1?una 1. 6MPSI 1Semaine 16, du 5 au 9 fevrier 2018(iii) Une suite(un)estcroissante a partir d'un certain rangssi
b) Suites bornees (i) Une suite(un)est majoree (resp. minoree) ssi l'ensemble{un; n?N}est majore (resp. minore).Autrement dit(un)est majoree ssi
Attention a l'ordre des quanticateurs!
(ii) Une suite(un)est bornee ssi(un)est majoree et minoree ssi(?un?)est majoree.Avec des quanticateurs :(un)bornee ssi
(iii)Rem.Une suite(un)qui estbornee a partir d'un certain rangest bornee.Preuve :
c) Negation des proprietes du a) et b) : bien utiliser les quanticateurs.3) Limite nie
a) Def.(un)convergeversl?R.Rem. (se ramener a 0)un→l?(un-l)→0.
Avantage :un→0??un?→0.
b) Prop. (dem.) unicite limite. Prop. (dem.) toute suite extraite converge aussi versl. c) Exemple 1?n?→n→+∞0 par prop. d'Archimede. d) Toute suite convergente est bornee (dem.). Toute suite convergeant versl>0 est, a partir d'un certain rang, minoree par un reel positif (dem.)4) Limite innie
a) Def. deun→+∞. b) Terminologie : (i) On dit que(un)a une limite dansRsi(un)a une limite nie ou innie (ii) Mais on garde la terminologie(un)converge seulement pour le cas d'une limitenie. (iii) On dit qu'une suite estdivergentesi elle n'est pas convergente. Donc deux cas : limite innie (le 4) ou pas de limite dansR. c) Siua une limite dansR, toute suite extraite a la m^eme limite. (dem.). d) Siun→+∞alors(un)minoree. (dem.).5) Methodes pour montrer qu'une suite n'a pas de limite
a) Trouver deux suites extraites convergeant vers des limites dierentes :Exples de((-1)n),((-1)n+1n
b) Trouver une relation entre les termes de la suite qui donne une contradiction a la limite :Exemple de(tan(n)).
IV Applications de la P.B.S. aux proprietes des suites reelles :1) Theoreme de la limite monotone :
TheoremeToute suite croissante majoree converge dansRet toute suite croissante non majoree tend vers+∞(dem.). Analogue pour decroissante minoree ou non minoree. \Majoree-par" : preciser TOUJOURS la CONSTANTE qui majore votre suite sinon pas de point!Dem. a conna^tre :Un candidat limite naturel?
2) Theoreme sur les suites adjacentes :
a) Denition :(un)et(vn)sont adjacentes ssi(un)cro^t,(vn)decroit etun-vn?→n→+∞0. b) Theoreme : si(un)et(vn)sont adjacentes alors elles convergent, vers la m^eme limite (dem.).3) Exemples de suites adjacentes :
a) Ex. :un=n k=01k!etvn=un+1n:n!. (i)(un)et(vn)sont adjacentes et donc CV. (ii) Pour la valeur de la limite : on demontrera que cette limite estecf. chap. F. 7 MPSI 1Semaine 16, du 5 au 9 fevrier 2018Application ae??Q. b)La moyenne arithmetico-geometrique :Ex. :(u0;v0)?(R+?)2etun+1=12
(un+vn)etvn+1=⎷u nvnsontadjacentes. Rappel de l'Inegalite Arithmetico-Geometrique 01) Caracterisation du sup A comme limite d'une suite d'elements deACarac. du sup. (dem.) :M=supA?⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩?a?A; a⩽M;
?(an)?AN; an?→n→+∞M.Prop. {Si supAn'est pas atteint on peut prendre(an)strictement croissante.
Remarque {Ceci donne un exemple deconstruction par recurrence.2) Caracterisation de la densitea) Caract.(dem.)Adense dansRssi \tout reel est limite d'une suite d'elements deA".
Exple connu :A=Q.
b) Prop. (dem.)R∖Qest dense dansR.3) Theoreme des segments emboites. a) Def.segment: intervalleferme, borne[a;b].b) Rappel de def. :x?⋂n?NIn??n?N; x?In.c) Thme :Si(In)n?Nsuite de segments tels que :?n?N; In+1?Inalors :⋂
n?N[an;bn]≠∅. Si en outrediam(In)=(bn-an)?→n→+∞0alors⋂n?N[an;bn]={l}.d) Rem. Si on prend des ouverts embo^tes l'intersection peut ^etre vide, exple :In=]0;1n
4) Propriete de Bolzano-Weierstrass
a) Lemme : Un reellest limite d'une suite extraite deu=(un)ssi pour toutVvoisinage del, u-1(V)={n?N; un?V}est inni. (On dira queVest \atteint une innite de fois" par la suite).b) Theoreme de Bolzano Weierstrass (dem.(?)) : toute suite bornee admet une suite extraite
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