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(R A T) s’appelle une relation d’ordre sur E b) Exemple de relation d’ordre : (i) Les ordres usuels Det Edans les ensembles de nombres N;Z;Q;R (ii) Attention la relation >ou

3 Nombres r´eels, suites num´eriques - orgfreecom

3 1 5 Relation d’ordre 3 1 6 Exposants entiers relatifs 3 1 7 Intervalles de IR 3 1 8 Droite num´erique achev´ee 3 1 9 Identit´es remarquables 3 1 10 Valeur absolue et distance 3 1 11 Quelques in´egalit´es classiques 3 2 Borne sup´erieure, borne inf ´erieure 3 2 1 Axiome de la borne sup´erieure 3 2 2 Propri´et´es de la

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1 2 Suites d’ordre deux On consid`ere ξ une suite v´eriﬁant la relation: ξn+2 = aξn+1 +bξn, n ≥ 0, o´u a, b ∈ Fp avec a = 0 On notera, Δ = D(f)=a2 +4b Les r´esultats ci-deous sont bien connus et d´emontr´es en [1]

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R epublique Alg erienne D emocratique et Populaire Universit

On conviendra de noter xRyla relation x2E, y2Eet (x;y) 2R On va etudier deux types de relations particuli erement importantes, la relation d’ equiva-lence et la relation d’ordre 1 2 2 Relation d’ equivalence Une relation binaire Rsur un ensemble Eest dite relation d’ equivalence si elle est : a) r e exive : 8x2E; xRx

Solution Outlines for Chapter 6 - Earlham College

Proof To show that isomorphism is an equivalence relation, I must show re exive, symmetric and transitive First, notice that GˇGby the identity map Thus the isomorphism relation is re exive Suppose that GˇH Then there exists an isomorphism ˚: GH But this implies that ˚ 1: HGis also an isomorphism Thus HˇGand the relation is symmetric

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Republique Algerienne Democratique et Populaire

Ministere de l'Enseignement Superieur et de la Recherche Scientique

Universite A.MIRA-BEJAIAFaculte de Technologie

Departement de TechnologieElements d'analyse et d'algebre

Polycopie de cours

Redige par

Mr RAHMANI Samir

Annee Universitaire : 2015/2016

Table des matieres

Table des Matieres 2

Introduction 4

1 Ensembles, Relations et Applications 6

1.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 Generalites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Operations sur les ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.3 Ensemble produit (Produit cartesien). . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.1.4 Partition d'un ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.5 Ensemble des parties de E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Relations dans un ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Relation d'equivalence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.3 Classe d'equivalence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.4 Ensemble quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.5 Relation d'ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.6 Ordre total. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.7 Ordre partiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1

1.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1 Denitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 2

Table des Matieres31.3.2 Injection, Surjection, Bijection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 2

1.3.3 Application composee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 3

1.3.4 Application reciproque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 3

1.4 Divers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 5

1.5 Borne inferieure et borne superieure d'une partie non vide deR. . . . . . .15

2 Nombres complexes 18

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 8 2.2 Ecriture des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 8

2.2.1 Conjugues et modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 9

2.3 Le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 0

2.3.1 Forme trigonometrique d'un nombre complexe. . . . . . . . . . . . .

2.4 Notation exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.1 Proprietes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21
2.5 Equation du second degre dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1

2.6 Racines n-iemes d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 1

3 Structures algebriques fondamentales 24

3.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 4

3.1.1 Sous-groupe deG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

3.1.2 Homomorphisme de groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 6

3.2 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 7

3.3 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 0

4 Suites numeriques 31

4.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.1 Suites bornees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 2

4.1.2 Suites monotones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Suites, fonctions et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 2 3

Table des Matieres44.2.1 Suites convergentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 2

4.2.2 Suites adjacentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.3 Suites denies par recurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 5

4.2.4 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 6

4.3 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Suites arithmetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5 Suites geometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 9

5 Determinants 41

5.1 Determinant d'une matrice carree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 1

5.1.1 Generalites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.2 Determinants particuliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 2

5.1.3 Calcul d'un determinant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.4 Operations sur les determinants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Comatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Systemes d'equations lineaires 47

6.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 7

6.2 Systeme lineaire sous forme matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 8

6.3 Resolution du systeme (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 9

6.3.1 Resolution par la methode de Cramer. . . . . . . . . . . . . . . . .

4 9

6.3.2 Resolution par la methode de la matrice inverse. . . . . . . . . . . .

5 0

6.3.3 Resolution par la methode de Fontene Rouche. . . . . . . . . . . . .

5 1 4

Introduction

Vous commencez des etudes scientiques. Ce polycopie vous est destine. Son objectif est double : consolider les bases mathematiques acquises au lycee, et vous familiariser avec les notions plus delicates que vous allez aborder et les methodes que vous devrez acquerir.Vous pourrez l'utiliser de maniere reguliere pour consolider vos acquis. Le present cours ne couvre qu'une partie des modules Maths 1 & 2 destines aux etudiants de la premiere annee du socle commun Technologie. Ce volume se compose de six chapitres. Chaque chapitre remet en place les bases indis- pensables pour aborder des etudes scientiques, et introduit quelques notions nouvelles, qui seront pour la plupart traitees en cours de cette annee. Il ne me reste plus qu'a vous feliciter de votre choix pour des etudes scientiques et a vous souhaiter de les mener avec succes.

L'auteur.

5 1

Ensembles, Relations et Applications

1.1 Ensembles

Un ensemble est une collection d'objets satisfaisant une m^eme propriete, chaque objet est un element de l'ensemble. On peut citer comme exemples : l'ensemble des points d'un plan; l'ensemble des entiers naturelsN, ...

1.1.1 Generalites.

SoientEetFdeux ensembles. On note :

1. Appartenance :x2E: veut dire que l'element x appartient aE. La negation de cette

relation estx =2E.

On a :x6=fxg.

2. Inclusion :EF(ouFE) :Eest inclus dansFsi tout element deEest un

element deF. Sa negation estE*F. On dit aussi queEest une partie deFou queEest un sous-ensemble deF.

3. Egalite :(E=F)()(EFetFE).

6 Ensembles, Relations et Applications74. Ensemble vide :est un ensemble sans element, note .

Eet sont parmi les parties deE.

5. Ensembles disjoints :EetFsont dits disjoints siE\F= .

6. Cardinal deE:est le nombre d'elements de E, on le note Card(E).

7. Complementaire :SoitEF.CEF=FE=fx= x2F et x =2Eg.

1.1.2 Operations sur les ensembles.

SoitAE,BE. On a :

a) l'intersection :A\B=fx2E= x2A et x2Bg. b) la reunion :A[B=fx2E= x2A ou x2Bg. c) l'inclusion :AB()(8x2E; x2A=)x2B). d) l'egalite :A=B()(8x2E; x2A()x2B). Ces denitions s'etendent a une famille (Ei)i2IdeE, on a alors :T i2IE i=fx2E=8i2I; x2Eig. S i2IE i=fx2E=9i2I; x2Eig.

Proprietes :

SoitAE,BEetCE. On a :

a) commutativite :A\B=B\A; A[B=B[A. b) associativite :A\(B\C) = (A\B)\C=A\B\C; A[(B[C) = (A[B)[C=

A[B[C.

c) distributivite :A\(B[C) = (A\B)[(A\C); A[(B\C) = (A[B)\(A[C).

A\A=A,A[A=A,A\CAE= ,A[CAE=E.

C A[BE=CAE\CBE; CA\BE=CAE[CBE,AB()CBECAE,CE(CAE) =A.

AE;\A=;[A=A; E\A=A; E[A=E:

1.1.3 Ensemble produit (Produit cartesien).

EF=f(x;y)= x2E et y2Fg.

Par denition, on a :

(x;y) = (x0;y0)()(x=x0et y=y0). 7 Ensembles, Relations et Applications8(x;y)6= (y;x)()x6=y. nQ k=1E k=f(x1;;xn)= xk2Ek; k= 1;;ng. -Les ensemblesEE,EEE, ... sont notesE2; E3, ... -La diagonale deEEest l'ensemble des couples (x;x) oux2E.

Proprietes :

1.(A0A et B0B) =)(A0B0AB).

2.(AB6= )()(A6=et B6= ).

3.A(B[C) = (AB)[(AC).

4.A(B\C) = (AB)\(AC).

5.(C6=et AC=BC) =)A=B.

Preuve :

1.Soit (x;y)2A0B0()(x2A0et y2B0).

Or, (A0A et B0B) =)(x2A et y2B) =)(x;y)2AB.

d'ouA0B0AB.

Le reste de la preuve : Exercice.

1.1.4 Partition d'un ensemble.

Une partition d'un ensembleEest une famille (Ei)i2Ide parties deEtelles que :S i2IE i=E et Ei\Ej=;8i6=j. Pour toute partieAE,AetCAEforment une partition deE.

1.1.5 Ensemble des parties de E.

Dans l'ensemble des parties deE, on compte l'ensembleEet et toutes les autres parties deE, on noteP(E) l'ensemble des parties deE.

Ainsi, on a :AE()A2 P(E).

E2 P(E) quelque soitE.

P(E)6= m^eme siE= (P(E) =fg).

Card(P(E)) = 2Card(E).

a) Exemple :E=f1;3;5g;P(E) =f;E;f1g;f3g;f5g;f1;3g;f1;5g;f3;5gg.

Card(P(E)) = 23= 8.

8 Ensembles, Relations et Applications91.2 Relations

1.2.1 Relations dans un ensemble.

On denit une relation binaire sur un ensembleEsi l'on se donne une partieRde EE. Lorsqu'un couple (x;y)2EE2 R, on dira quexetysont lies par la relation R. On conviendra de noterxRyla relationx2E,y2Eet (x;y)2 R. On va etudier deux types de relations particulierement importantes, la relation d'equiva- lence et la relation d'ordre.

1.2.2 Relation d'equivalence.

Une relation binaireRsur un ensembleEest dite relation d'equivalence si elle est : a) re exive :8x2E; xRx. b) symetrique :8x;y2E; xRy=)yRx. c) transitive :8x;y;z2E;(xRy et yRz) =)xRz.

On ecrit :xy(modR).

Exemple :Soitn2Z. SoitRla relation binaire denie surZpar : aRb()(ab) est divisible parn. ou bienaRb() 9k2Z= ab=kn.

Rest une relation d'equivalence. En eet :

a)Rre exive() 8a2Z; aRa?.

Soita2Z:aa= 0:n=)(9k= 02Z= aa=kn) =)aRa=) Rre

exive. b)Rsymetrique() 8a;b2Z; aRb)bRa?. Soienta;b2Z:aRb()(9k2Z= ab=kn) =)(9k0=k2Z= ba=k0n) =)bRa. =) Rsymetrique. c)Rtransitive() 8a;b;c2Z;(aRb et bRc) =)aRc?.

Soienta;b;c2Z:aRb() 9k02Z= ab=k0n... (1)

etbRc() 9k002Z= bc=k00n... (2) (1)+(2)=) 9k= (k0+k00)2Z= ac=kn. =)aRc=) Rtransitive.

Conclusion :Rest donc une relation d'equivalence.

9 Ensembles, Relations et Applications101.2.3 Classe d'equivalence. On appelle classe d'equivalence d'un elementx2Eet on note (_x;x;C x), l'ensemble de tous les elements qui sont en relation avecxsuivantR.

On ecrit :x=fy2E= yRxg 6=car x2x.

Theoreme :Deux classes d'equivalence sont disjointes ou confondues. Corollaire :L'ensemble des classes d'equivalence forme une partition deE.

1.2.4 Ensemble quotient.

E=R=fx; x2Eg= l'ensemble des classes d'equivalence deEsuivantRest appele ensemble quotient deEparR.

Exemple :xRy()x=y(Rrelation d'equivalence surE).

x2E,x=fy2E= yRxg=fy2E= y=xg=fxg.x=fxg,E=R=fx; x2Eg=ffxg; x2Eg.

Surjection canonique deEsurE=R:

On considere l'applications:E!E=R; x7!s(x) =x.

On asest surjective par denition deE=R.

Soity2E=R=) 9x2E= y=x: appele surjection canonique deEsurE=R.

1.2.5 Relation d'ordre.

Une relation binaireRdenie sur un ensembleEest dite relation d'ordre si elle est : a) re exive :8x2E; xRx. b) anti-symetrique :8x;y2E;(xRy et yRx) =)x=y. c) transitive :8x;y;z2E;(xRy et yRz) =)xRz.

1.2.6 Ordre total.

On dit qu'une relation d'ordreRdenie surE, un ordre total si : (8x;y2E),xRyouyRx[xetysont comparables].quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

[PDF] R epublique Alg erienne D emocratique et Populaire Universit