5 TD Chapitre 1 Exercice 1 : Soit un effet d’une valeur nominale de 30 000 venant à échéance le 1er juin Il est escompté le 1er mars (date de valeur) au taux de 8
2 CHAPTER 1 INTRODUCTION 1 2 Financial Derivatives 1 2 1 Forwards contract A forward contract is an agreement which allows the holder of the contract to buy or sell a certain
Les math”matiques financi‘res offrent l’occasion d’appliquer la notion de suites ( arithm”tique et g”om”trique ) dans l’”conomie (Production, Banque, Finance , Éetc ) En conclusion, ce programme de math”matiques de la s”rie G contribue de mani‘re
Math Matiques Financi Res at efluxcynz duckdns If you are looking for Math Matiques Financi Res PDF, here we have provided the Math Matiques Financi Res PDF book in efluxcynz duckdns org, we also commented on the Math Matiques Financi Res PDF book, please create a free account to get access PDF book Math Matiques Financi Res
Math Matiques Financi Res at eahafka duckdns Download Math Matiques Financi Res Books with PDF format, many other books available such as Math Matiques Financi Res PDF, Math Matiques Financi Res Books PDF in eahafka duckdns you can access with various devices Math Matiques Financi Res [Download eBook] Math Matiques
Maths Pour Economistes Lanalyse En Economie Et Gestion pdf Maths Pour Economistes Lanalyse En Economie Et Gestion Repository Id: #6042508921d4c Page 1/12 3405432
Math Matiques Financi Res at hunsfak duckdns If you are looking for Math Matiques Financi Res PDF, here we have provided the Math Matiques Financi Res PDF book in hunsfak duckdns org, we also commented on the Math Matiques Financi Res PDF book, please create a free account to get access PDF book Math Matiques Financi Res
D'où lc tableau d'amortissement ci-après Annuité 1 16 07206 127 140 447,20 154491 92 708631 Amortissem ent 74407 92 96 121 682 09 151 Échéances Capital restant dû
Mathematics of Signal Processing: A First Course Charles L Byrne Department of Mathematical Sciences University of Massachusetts Lowell Lowell, MA 01854
Read PDF Mathematics Das Pauldas paul below Librivox is a dream come true for audiobook lovers All the books here are absolutely free, which is good news for those
[PDF] Liban 2014 Enseignement spécifique Corrigé - Math France
[PDF] SMIA - Université Chouaib Doukkali
[PDF] Maths MPSI - Decitre
[PDF] tableau des équivalences - Université Laval
[PDF] Le choix des séquences mathématiques et des sciences pour la
[PDF] Séries (Math 3) - usthb
[PDF] Baccalauréat 2017 - S Nouvelle Calédonie
[PDF] Download Maths Magic Book - Queen Mary University of London
[PDF] tableau des équivalences - Université Laval
[PDF] TABLEAUX DE CORRESPONDANCE DE CODES DE COURS EN
[PDF] Mathématique 436
[PDF] Mathématiques, enseignement secondaire, éducation des adultes
[PDF] Mathématiques 5eme, Livre du professeur - Magnard
[PDF] Mathématiques 5e - phare-prof
[PDF] Mathématiques pour l 'ingénieur
Mathematics of Signal Processing:
A First Course
Charles L. Byrne
Department of Mathematical Sciences
University of Massachusetts Lowell
Lowell, MA 01854
March 31, 2013
(Text for 92.548 Mathematics of Signal Processing) (The most recent version is available as a pdf le at 2
Contents
I Introduction xiii
1 Preface 1
1.1 Chapter Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Course Aims and Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 Some Examples of Remote Sensing . . . . . . . . . . 2
1.2.2 A Role for Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Limited Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.4 Course Emphasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.5 Course Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Applications of Interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Sensing Modalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 Active and Passive Sensing . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.2 A Variety of Modalities . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Inverse Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Using Prior Knowledge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Urn Models in Remote Sensing 13
2.1 Chapter Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 The Urn Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Some Mathematical Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 An Application to SPECT Imaging . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Hidden Markov Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
II Fundamental Examples 19
3 Transmission and Remote Sensing- I 21
3.1 Chapter Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Fourier Series and Fourier Coecients . . . . . . . . . . . . 21
3.3 The Unknown Strength Problem . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.1 Measurement in the Far-Field . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.2 Limited Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
i iiCONTENTS
3.3.3 Can We Get More Data? . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.4 The Fourier Cosine and Sine Transforms . . . . . . . 25
3.3.5 Over-Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.6 Other Forms of Prior Knowledge . . . . . . . . . . . 27
3.4 Estimating the Size of Distant Objects . . . . . . . . . . . . 28
3.5 The Transmission Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5.1 Directionality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5.2 The Case of Uniform Strength . . . . . . . . . . . . 30
3.6 Remote Sensing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.7 One-Dimensional Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.7.1 Measuring Fourier Coecients . . . . . . . . . . . . 32
3.7.2 Over-sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.7.3 Under-sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
III Signal Models 41
4 Undetermined-Parameter Models 43
4.1 Chapter Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Fundamental Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.1 Evaluating a Trigonometric Polynomial . . . . . . . 44
4.2.2 Determining the Coecients . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Two Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.1 The Unknown Strength Problem . . . . . . . . . . . 45
4.3.2 Sampling in Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.3 The Issue of Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 Estimation and Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.5 A Polynomial Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.6 Linear Trigonometric Models . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.6.1 Equi-Spaced Frequencies . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.6.2 Equi-Spaced Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.7 Recalling Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.7.1 Fourier Coecients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.7.2 Riemann Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.8 Simplifying the Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.8.1 The Main Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.8.2 The Proofs as Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.8.3 More Computational Issues . . . . . . . . . . . . . . 55
4.9 Approximation, Models, or Truth? . . . . . . . . . . . . . . 55
4.9.1 Approximating the Truth . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.9.2 Modeling the Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.10 From Real to Complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
CONTENTSiii
5 Complex Numbers 59
5.1 Chapter Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Denition and Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3 Complex Numbers as Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6 Complex Exponential Functions 63
6.1 Chapter Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 The Complex Exponential Function . . . . . . . . . . . . . 63
6.2.1 Real Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . 64
6.2.2 Why ish(x) an Exponential Function? . . . . . . . . 64
6.2.3 What isez, forzcomplex? . . . . . . . . . . . . . . 65
6.3 Complex Exponential Signal Models . . . . . . . . . . . . . 66
6.4 Coherent and Incoherent Summation . . . . . . . . . . . . . 67
6.5 Uses in Quantum Electrodynamics . . . . . . . . . . . . . . 67
6.6 Using Coherence and Incoherence . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.6.1 The Discrete Fourier Transform . . . . . . . . . . . . 68
6.7 Some Exercises on Coherent Summation . . . . . . . . . . . 69
6.8 Complications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.8.1 Multiple Signal Components . . . . . . . . . . . . . 71
6.8.2 Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.8.3 Unequal Amplitudes and Complex Amplitudes . . . 72
6.8.4 Phase Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.9 Undetermined Exponential Models . . . . . . . . . . . . . . 72
6.9.1 Prony's Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.9.2 Prony's Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7 Transmission and Remote Sensing- II 77
7.1 Chapter Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2 Directional Transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.3 Multiple-Antenna Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.3.1 The Array of Equi-Spaced Antennas . . . . . . . . . 78
7.3.2 The Far-Field Strength Pattern . . . . . . . . . . . . 78
7.3.3 Can the Strength be Zero? . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3.4 Diraction Gratings . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.4 Phase and Amplitude Modulation . . . . . . . . . . . . . . 81
7.5 Steering the Array . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.6 Maximal Concentration in a Sector . . . . . . . . . . . . . . 82
7.7 Higher Dimensional Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.7.1 The Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.7.2 Planewave Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.7.3 Superposition and the Fourier Transform . . . . . . 85
7.7.4 The Spherical Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.7.5 The Two-Dimensional Array . . . . . . . . . . . . . 85
7.7.6 The One-Dimensional Array . . . . . . . . . . . . . . 86
ivCONTENTS
7.7.7 Limited Aperture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.7.8 Other Limitations on Resolution . . . . . . . . . . . 87
7.8 An Example: The Solar-Emission Problem . . . . . . . . . . 88
7.9 Another Example: Scattering in Crystallography . . . . . . 88
IV Fourier Methods 95
8 Fourier Analysis 97
8.1 Chapter Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.2 The Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.3 The Unknown Strength Problem Again . . . . . . . . . . . 98
8.4 Two-Dimensional Fourier Transforms . . . . . . . . . . . . . 100
8.4.1 Two-Dimensional Fourier Inversion . . . . . . . . . . 101
8.5 Fourier Series and Fourier Transforms . . . . . . . . . . . . 101
8.5.1 Support-LimitedF(!) . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.5.2 Shannon's Sampling Theorem . . . . . . . . . . . . . 102
8.5.3 Sampling Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.5.4 What Shannon Does Not Say . . . . . . . . . . . . . 103
8.5.5 Sampling from a Limited Interval . . . . . . . . . . . 103
8.6 The Problem of Finite Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.7 Best Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.7.1 The Orthogonality Principle . . . . . . . . . . . . . . 104
8.7.2 An Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.7.3 The DFT as Best Approximation . . . . . . . . . . . 106
8.7.4 The Modied DFT (MDFT) . . . . . . . . . . . . . 106
8.7.5 The PDFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.8 The Vector DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.9 Using the Vector DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.10 A Special Case of the Vector DFT . . . . . . . . . . . . . . 110
8.11 Plotting the DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.12 The Vector DFT in Two Dimensions . . . . . . . . . . . . . 112
9 Properties of the Fourier Transform 115
9.1 Chapter Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9.2 Fourier-Transform Pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9.2.1 Decomposingf(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9.3 Basic Properties of the Fourier Transform . . . . . . . . . . 116
9.4 Some Fourier-Transform Pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.5 Dirac Deltas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.6 More Properties of the Fourier Transform . . . . . . . . . . 120
9.7 Convolution Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.7.1 Blurring and Convolution Filtering . . . . . . . . . . 121
9.7.2 Low-Pass Filtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
CONTENTSv
9.8 Functions in the Schwartz Class . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.8.1 The Schwartz Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.8.2 A Discontinuous Function . . . . . . . . . . . . . . . 125
10 The Fourier Transform and Convolution Filtering 127
10.1 Chapter Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
10.2 Linear Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
10.3 Shift-Invariant Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
10.4 Some Properties of a SILO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
10.5 The Dirac Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.6 The Impulse Response Function . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.7 Using the Impulse-Response Function . . . . . . . . . . . . 130
10.8 The Filter Transfer Function . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
10.9 The Multiplication Theorem for Convolution . . . . . . . . 130
10.10Summing Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10.11A Project . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
10.12Band-Limiting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
11 Innite Sequences and Discrete Filters 133
11.1 Chapter Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
11.2 Shifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
11.3 Shift-Invariant Discrete Linear Systems . . . . . . . . . . . 133
11.4 The Delta Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
11.5 The Discrete Impulse Response . . . . . . . . . . . . . . . . 134
quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8
Mathématiques financières EXERCICES CORRIGES