[PDF] Application des modèles à changement de régime sur l’indice S

Proportionnalité et linéarité Applications

LEÇON NO 21 Proportionnalité et linéarité Applications Clément BOULONNE Session 2020 Préambule Niveau de la leçon Classes de troisième et lycée Prérequis Quatre opérations, repérage et vecteurs

Cours 00C : La linéarité

Cours 00C : La linéarité 5 ˇ L’ensemble des solutions du système linéaire homogène associé à une matrice A 2 Mn,p est le noyau de LA 2 L(Rp,Rn) On retrouve ainsi sa structure de sous-espace vectoriel de Rp

ALG 10 Matrices et applications linéaires

1 1 Matrice d’une application linéaire dans des bases Nous avons vu dans le chapitre précédent qu’une application linéaire est entièrement définie par l’image d’une base Ce résultat théorique a une conséqence pratique importante : en dimension finie, tout problème d’algèbre linéaire est réductible à du calcul matriciel

COURS 3ÈME FONCTIONS LINÉAIRE ET AFFINE AGE 1/7

Pour déterminer l'application linéaire associée à une droite passant par l’origine, il suffit de connaître les coordonnées d’un point de cette droite Exemple : 6 5 C D x--A a pour coordonnées (1 ; 4) Le coefficient de proportionnalité associée à la droite (OA) est donc : 4 1 A A y x soit A 4 A y x L’équation de cette droite

Chapitre 3 : Déterminants

Il existe une unique application det : Mn (K)−→K telle que : (i) det est linéaire par rapport à chacune de ses colonnes; (ii) la permutation de deux colonnes multiplie le déterminant par −1; (iii) le déterminant de la matrice In vaut 1 Démonstration Nous allons faire la preuve lorsque n =2 et n =3, le cas où n ≥4 n’étant pas

Application des modèles à changement de régime sur l’indice S

APPLICATION DES MODELES A CHANGEMENT DE REGIME SUR L’INDICE S&P 500 Luis Macavilca • Taylan Kunal Yannick Le Pen Janvier 2012 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 200 400 600 800 1000 1200

CONTRÔLE DE QUALITE DES MEDICAMENTS

Linéarité: 3 points de mesure autour de la valeur nominale Contrôle des Génériques: Transfert de méthode d’un autre fabriquant PRODUIT FINI

Intégrales et primitives

Introduction Le calcul de l'aire d'une surface a été l'un des moteurs dans la mise en place des concepts mathématiques Beaucoup de grands mathématiciens se sont penchés sur ce problème,

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APPLICATION DES MODELES A

CHANGEMENT DE REGIME SUR

LINDICE S&P 500

Luis Macavilca

Yannick Le Pen

Janvier 2012

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1800

S&P500 IndexVIX

Sommaire

I. Introduction

II. Analyse de la série

III. Modélisation ARMA

IV. Estimation des modèles non linéaires

1. Threshold autoregressif (TAR)

2. Self-Exciting Threshold AutoRegressive (SETAR)

3. Smooth Threshold autoregressif (STAR)

4. Tests de non linéarité

ment de régime de Markov L'incertitude qui entoure l'accord budgétaire européen et lont

maintenu une forte volatilité sur les marchés américains et une baisse des principaux indices

boursiers européens. L'indice S&P 500, référence des gérants de fonds, a reculé d'environ 3%

depuis le début 2011. Ici dans le cadre des séries temporelles financières, la modélisation par des

insuffisante. En fait ls modèles non linéaires

permet de définir le comportement notre série en tenant compte des valeurs passées de la série et

(" Threshold effect »). Les modèles qui étudient ce phénomène sont connus sous le nom de modèle à changement régime.

régime de type TAR, STAR et des modèles à changement de régime Markovien afin de

reproduire la non-linéarité présente en moyenne tout en utilisant des outils statistiques et des tests

que des cours boursiers à court-terme. a) Données été ajustées à la clôture des marchés afin de permettre une comparaison dans le temps. Les données sont hebdomadaires (4 à 5 données par mois) allant du 2 Janvier 2002 au 19 décembre 2011 soit un total de 521 observations.

Tout au long de ce projet nous allons réaliser des tests statistiques. Nous avons fixé un seuil de

confiance de 95%. b) Etude Graphique

Commentaire :

Le graphique de notre série fait ressortir des tendances haussières et baissières. Il semblerait que

cette série soit non stationnaire. En effet la moyenne et la variance ne sont pas constantes pour tout intervalle de temps donné. Par ailleurs nous pouvons remarquer que la série connait des chocs stochastiques qui t la variance du processus au fur et à mesure stationnarité par un test adapté que nous verrons par la suite. Nous avons calculé le rendement logarithmique de notre série yt : yt = log(pt/pt-1)

Correlogramme S&P 500

Commentaire :

Le corrélogramme de la série nous montre que a série est caractérisé par un processus non

stationnaire. En fait, les termes du corrélogramme décroissent très faiblement. Les séries non

stylisé par les pointillés).

Graphique des Rendements de S&P 500

Commentaire :

Le graphique des rend

stationnaires.

Correlogramme rendement S&P 500

Commentaire :

Nous constatons dans le corrélogramme

que la probabilité critique de la statistique de Ljung-Box est pour presque tous les retards, supérieurs à 5% hypothèse nulle. Les rendements sont bien stationnaires.

Statistiques descriptives

Commentaire :

Du 02 Janvier 2002 au 27/12/2011 le rendement moyen a été de +0.00760% avec une dispersion

autour de la moyenne de 2.69%. Pendant cette période le rendement le plus haut a été de +11.35%

et le plus bas de -20%. ness) est négatif égal à -0.79

de la distribution de la fonction de densité est légèrement supérieure à celle de droite. Un

Skewness égal à zéro représente une distribution strictement symétrique comme la loi normale.

10.29.Le

kurtos distribution normale.

Néanmoins le test de Jarque-Bera va nous permettre de déterminer si notre série suit une loi

normale. Ici la statistique de test JB=1205 et elle suit une loi de Chi-deux à 2 degré de liberté.

X20.95(2) < JB, par ailleurs la p-

c) Test de stationnarité a) Estimation du modèle linéaire

Nous avons estimé 3 modèles linéaire AR, les ordres 1 et 2 ne semblent pas significatifs (les t-

Statistique sont inférieurs à 1.96 en valeur absolue). Seulement 3) est significatif, nous allons donc analyser ses résidus. b) Analyse des résidus

Correlogramme des résidus AR (3)

Commentaire :

Nous pouvons observer ici que les p-values associées aux statistiques de Ljung-Box sont supérieures à 5% résidus.

Correlogramme des résidus au carré AR(3)

Commentaire :

Le corrélogramme des résidus au carré montre que les résidus sont hétéroscédastiques. En fait

tous les p-values sont inférieures à 5% nous concluons que les résidus sont hétéroscédastiques.

c) Test de ARCH

Commentaire :

Le test ARCH nous confirme cela, nous pouvons donc conclure que nos résidus sont hétéroscédastiques mais non autocorréles. Ce ne sont pas des bruits blancs.

Nous pouvons P 500 est une marché aléatoire

hétéroscedastique. d) Test de Ramsey

Commentaire :

paramètres de notre modèle linéaire AR(3). Il va nous dire si notre modèle est bien spécifiée (hypothèse nulle).

Nous constatons ici que les p-values associées à la F-stat et Log likehood ratios sont inférieures à

5%. Nous rejetons nulle notre modèle linéaire est mal spécifié. Nous pouvons

supposer que pour notre série, un modèle à changement de régime pourrait convenir davantage.

e) Tests de stabilité des paramètres

fondé sur la somme cumulée des résidus récursifs et le CUSUM Square fondé sur la somme

cumulée du carré des résidus récursifs.

Test Cumulative Sum of Residual (CUSUM)

Nous constatons ci-dessous que les résidus récursifs (en bleu) sont très proches de zéro, il est

n rouge). Nous pouvons donc conclure

Test CUSUM Square

Ce test permet de détecter une instabilité dans la volatilité des résidus. Il est fondé sur la somme

cumulée du carré des résidus récursifs. Lorsque la courbe en trait plein traverse une des deux

lignes en pointillés, au seuil de 5%

Récursive Residuals

Le graphique ci-dessous montre les résidus -type des erreurs

en valeurs absolu apparait également en pointillés rouge pour chaque point. Si les résidus sortent

de la bande des écart-types des erreurs on peut supposer une certaine instabilité dans les

f)

Commentaire :

Ce test va nous permettre de savoir si les variables sont indépendantes et identiquement

/(6121/,1($,5(6

Depuis des années il est reconnu que la plupart des séries financières présentent des dynamiques

non linéaires, des asymétries,

rendre compte de ces phénomènes à partir des modèles linéaires autorégressifs usuels de type

ARMA, on a nécessairement recours à des processus non linéaires capables de reproduire ces caractéristiques. Ce le but de ce chapitre.

1. Threshold autoregressif (TAR)

La variable de seuil qt est supposée connue. actions et la volatilité, VIX.

Létant

censé représenter le marché américain), il est calculé en faisant la moyenne des volatilités sur les

valeur de cet indice est forte, plus les marchés ont une nervosité élevée et donc un pessimisme

américain. modelés de changement de

Nous avons fixé d=1 comme retard de la variable à seuil car après plusieurs estimations nous

ritères

AIC et BIC.

0 10 20 30
40
50
60
70
80
90

AIC(p1,p2)=n1lns1

2+n2lns2

2+2(p1+1)+2(p2+1)

BIC(p1,p2)=n1lns1

2+n2lns2

2+ln(n1)(p1+1)+ln(n2)(p2+1)

Pi = nombre de retard dans le régime i

Ni s2 i = variance résiduelle dans le régime i

Wong et Li ont montré par simulations que le critère AIC est plus adapté aux petits échantillons

et que généralement le critère BIC était le plus adapté aux grands échantillons.

AIC BIC (Wong & Li)

Commentaire :

Nous pouvons constater que nous sommes face à une divergence de résultat. Le critère AIC nous

conduit à choisir un retard égal à 4 alors que le critère BIC nous pousse à prendre un seul retard.

Estimations TAR (1,1 1)

Commentaire :

Nous avons estimés les deux modèles. Le premier tableau nous montre un TAR (1,1,1). Nous

sommes dans le régime 1 si la valeur du VIXt-1 est inférieure ou égale au seuil optimal de 1,8% et

nous serons dans le régime 2 si VIXt-1 > 1,8%.

Avec cette spécification le coefficient AR dans le régime 1 est négatif et significatif alors que

celui du régime 2 est positif mais pas significatif. négatif et significatif, régime 1 seulement si la est inférieure ou égale à 1,8%.

S&P 500 Index vs VIX Index

Commentaire :

P500 et la

tendance à baisser alors période baissière la volatilité augmente. Dans le graphique de nous pouvons voir le cours des deux indices depuis 2002. Nous pouvons voir que les deux indices sont négativement corrélés. 0 20 40
60
80
100
0 500
1000
1500

2000S&P500 IndexVIX

Estimations TAR (4,4 1)

Commentaire :

Nous avons estimé un TAR (4, 4,1), nous constatons rapidement que le régime 2 possède plus de

variables significatives que le régime 1. Ce modèle illustre mieux la réalité car dans le régime 2

tous les coefficients AR sont négatifs la variation du VIXt-1 dépasse notre seuil optimal de 1,5%. Donc nous constatons avec cette le marché est baissier. Intervalle de Confiance du seuil pour un TAR (1, 1,1)

Commentaire :

estimer notre seuil

optimal. On évalue la variance résiduelle du modèle à seuil conditionnellement à cette valeur du

également utiliser un intervalle de confiance pour le seuil, basé sur la distribution asymptotique

de la statistique du rapport de vraisemblance. Dans le graphique ci-dessus la ligne rouge représente la statistique du rapport de vraisemblance LR pour diffèrent valeurs du seuil. Tous les points qui sont en dessous de la ligne de confiance [0,0092 ;0,021 ;0,0218]. Nous pouvons constater est imprécis car il est assez large.

1. Self-Exciting Threshold AutoRegressive (SETAR)

On suppose maintenant que la variable de changement de seuil qt est un retard quelconque

qt=yt-d. Ici nous avons pris d=1. Le changement de régime est déterminé par des valeurs

retardées de la série. Nous appliquons la même méthode précédente et nous cher

qui minimise les critères AIC et BIC. Le retard p=3 minimise le critère AIC alors que le retard

p=1 minimise le critère BIC.

Nous estimons les deux modèles SETAR, la première spécification nous montre que le régime 1

régime

significatifs. Le seuil optimal est maintenant négatif -2.12%, nous pouvons supposer que le

. Pour la deuxième (2) alors que dans le régime 2 aucun des coefficients sont significatif.

Estimations SETAR

2. Smooth Threshold autoregressif (STAR)

Pour le modèle SETAR, le passage entre les deux régimes se fait brusquement en fonction du signe de yt-1 (d=1). On peut trouver une fonction continue

G(yt-1,g,c)

qui lisse le passage de 0 logistique définie par :

G(yt-1,g,c)=1

1+exp(-g[yt-1-c])

Le paramètre c est la valeur du seuil entre les deux régimes, g est le paramètre qui détermine la g

G(yt-1,g,c)

est une fonction croissante de yt-1

équation devient :

Si

G(yt-1,g,c)

= 0 nous sommes dans le régime 1 Si

G(yt-1,g,c)

= 1 nous sommes dans le régime 2 Nous allons estimer le modèle STAR par la méthode de moindres carrés non linéaires (Non- Linear Least Squares). En fait ici nous cherchons à estimer les paramètres suivants : q=(f01,f11,f02,f12,g,c)' yt-1 Ces paramètres doivent satisfaire la relation suivante : q=argminq(yt-F(yt-1,q))2 t=1 nå Où résoudre ce programme. Afin de résoudre ce programme début que g et c sont connus, on va donc se donner un ensemble des valeurs possibles pour ces deux paramètres. On va estimer par les moindres carrés les valeurs initiales de g et c qui minimisent la variance du résidu. Une fois que les valeurs initiales sont connues on peut estimer par NLS les autres paramètr cette forme :

Qn(g,c)=(yt-j(t=1

någ,c)'xt(g,c))2

Cette fonction nous permet de réduire considérablement le nombre de paramètres à estimer par la

NLS. Les valeurs initiales de

g grâce à la fonction

Qn(g,c)

qui dépend elle-même de ces deux paramètres. Nous pouvons voir ci-dessous la estimation du modèle STAR, on peut constater que le paramètre

Gamma est relativement élevé ce qui entraine un niveau de transition assez rapide. Par ailleurs

nous avons un seuil de -34% qui est assez éloigné de celui de -2.12% du modèle SETAR.

Estimation STAR

Dans ce graphique nous pouvons voir les

fur et à mesure que yt-1 augmente, conséquent nous sommes dans le régime 2.

très rapidement. Pour réaliser ce graphique nous avons considéré un paramètre gamma maximal

égal à maximisent le log vraisemblance

G(yt-1,g,c)

3. Tests de non linéarité contre un modèle SETAR

nous

dit que les coefficients dans les deux régimes sont égaux donc nous sommes face à un modèle

modèle qui représente le mieux notre série est un modèle non linéaire.

H0:f1=f2

H1:fi,1¹fi,2,iÎ0,...,{p}

de déterminer la loi asymptotique de la statistique de test. Comme on connaît que c qui minimise cÎCsupF(c)= cÎCsupT( se 2-s2 e(c) s2 e(c)) se = variance résiduel du modèle linéaire AR (p) s2 e(c) = variance résiduelle du modèle SETAR

Dans la première partie du projet nous avons retenu un AR (3) comme modèle linéaire. Le

tableau ci-dessous nous donne le résultat du test que nous avons effectué :

Nous constatons que notre statistique de test est inférieure à la valeur critique et la p-value est

modèle SETAR est le plus indiqué pour modéliser notre série, en fait nous pouvons voir que la

statistique de test est supérieure à la valeur critique donc nous rejetons Ho. (5(*,0(0$5.29,(1

un processus à changement de régime markovien. Le régime à la date t est déterminé par une

variable inobservable. On suppose que cette variable est générée par un processus de Markov sibles : 1 et 2. Estimation du modele à changement de régime Markovien

Estimation Ecart type P.Value

Régime 1 C 0.0049 0.0011 0

AR(1) -0.2335 0.0425 0

AR(2) -0.0246 0.0486 0.61

AR(3) -0.1898 0.0458 0

Régime 2 C -0.0185 0.0033 0

AR(1) 0.9513 0.1306 0

AR(2) 0.2519 0.093 0.01

AR(3) 0.1815 0.1094 0.1

AIC -2.35E+03

BIC -2.30E+03

---> Transition Probabilities Matrix (std. error, p-value) <---

Régime 1 Régime 2

0.82 (0.03,0.00) 0.86 (0.09,0.00)

0.18 (0.02,0.00) 0.14 (0.09,0.12)

Le coefficient du modèle AR(2) pour le régime 1 est significativement différent de zéro à un seuil

de 5%. Le coefficient de AR(3) pour le régime 2 est significativement different de zero à un seul

de 5%.

Concernant les probabilités de transition :

la probabilité de passer du régime 2 en t-1 au régime 1 en t est estimée à 0.86 et est pas

significativement différent de zéro.

la probabilité de passer du régime 1 en t-1 au régime 2 en t est estimée à 0,82 et est pas

significativement différent de zéro

Commentaire :

Le premier graphique représente la volatilité de notre série et le troisième graphique représente

les changements de probabilité entre deux régimes. Nous pouvons constater les changements de régimes dans les périodes de forte volatilité. (0 à 100, 300 à 500)quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9