[PDF] Mathematiques´ pour Informaticiens - UNIGE

Mathematiques - Niveau L1 Tout le cours en fiches

du programme, plus «classique», sur les suites et le calcul intégral Pour l’algèbre, la présentation reprend celle de l’ouvrage Calcul Vectoriel (Collection Sciences Sup), en allant un peu plus loin :Rn, réduction, espacesvectoriels Malgré tout le soin apporté à la rédaction, nous demandons l’indulgence du lecteur

Mathématiques Tout-en-un ECS 2e année

porte pas) Comme précédemment, pour des raisons pédagogiques - ne pas laisser le lecteur devant la trop grande facilité de lire tout de suite une solution dès la première difficulté rencontrée -, les corrigés ont été regroupés sur le site de Dunod, où ils seront disponibles pour nos lecteurs dès la rentrée scolaire

mathématiques - mathsac-noumeanc

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Mathématiques

b) Vérifier que, pour tout réel x non nul, c) En déduire la limite de f en - 2) a) Etudier les variations de f b) Dresser le tableau de variations de f 3) a) Calculer b) En déduire que la droite (D) d’équation + 4) Etudier, suivant les valeurs de x, la position de (C) par rapport 5) Tracer (C) et (C) dans le même repère

Math matiques pour informaticien

© Hachette Livre 2019 Ð Guide p dagogique, math matiques 1

Pour tout m , 0 , dÕapr s la question pr c dente, lÕ quation f(x) = m admet, si elles existent, des solutions dans lÕintervalle ] ` ;0[ De plus, dÕapr s le

Mathematiques´ pour Informaticiens - UNIGE

Mathematiques´ pour Informaticiens Ernst Hairer Universit´e de Genev` e Juin 2004 Section de math´ematiques Case postale 240 CH-1211Genev` e 24

Cours de Math matiques du signal - IUTenLigne

1 u(t) est continue sur tout intervalle ]fi,fi¯T] sauf éventuellement en un nombre fini de points de discontinuité de première espèce 2 u(t) admet en tout point de ]fi,fi¯T] une dérivée à droite et à gauche Alors la série de Fourier de u(t) est convergente sur R et a pour somme 1 2 [u(t ¯0)¯u(t ¡0)]

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Math´ematiques

pour

Informaticiens

ErnstHairer

Universit´edeGen`eveJuin2004

Sectiondemath´ematiques

Casepostale240

CH-1211Gen`eve24

Contents

ITopologiede

?etfonctionscontinues4

IICalculmatriciel17

IVOptimisation48

2

VCalculint´egral64

VI.4.3Lesyst`emesolaire(probl`eme`a

?corps)..................86

VIIS´eriesdeFourier95

Remerciements

?heuresparse- maineet

ChapterI

Topologiede

etfonctionscontinues

Elleestdoncunefonctiondequatrevariables.

I.1Distancesetnormes

Nousconsid´eronsdescouples

??.L'ensemble detouslescouplesest ?(1.1) etl'ensembledetousles ?-uplesest

Les´el´ementsde

colonnesetlesvecteurslignes.

G´eom´etriquement,l'espace

points ??(1.3) o`u ??si?

Pourcalculerladistanceentre

?,nous figureI.1,droite)etnousobtenons

Topologiede

?etfonctionscontinues5

FigureI.1:Distancesdans

?etdans

Dansl'espace

?(1.4) ??.Ladistanceentre ?et??? Th (N1) (N2) (N3) ??????(in´egalit´edutriangle). D l'in´egalit´edeCauchy-Schwarz o`u D

´efinition1.2(norme)Unenormesur

?estuneapplication? ???satisfaisant(N1), (N2)et(N3).L'espace norme???,(1.6) ?normemaximum.(1.7) lesindices de norme???, et

6Topologiede

?etfonctionscontinues Th

´eor`eme1.3Pourtout

?,ona D ??dans ??(c'est-`a-dire????? ??)etlesproduitsmixtes d´efinitionsuivante. D ????et? ????sont´equivalentes s'ilexistedesconstantespositives ??et ??tellesque ??(1.10)

I.2Convergencedesuitesdevecteurs

suitesdevecteurs.Nousconsid´eronsdonc D convergeverslevecteur ?si ??oubien

LafigureI.2montrelasuite

dans ?avec?

Topologiede

?etfonctionscontinues7

Nousobservonsquesi

????est´equivalente`a? ????,alorsona convergenceavec ???????convergenceavec? ??????(2.2)

Eneffet,

?.Puisque ????estarbitraire ?,etnousvoyonsquelaconvergence avec ????impliquecelleavec?

Noussavonsd´ej`a(th´eor`eme1.3)que

????et? ????sont´equivalentes;nousverronsplus Th ????pour? i.e.laconvergencedans D ?pour? exemple,nousdisonsqu'unesuitedesvecteurs ????tel que ?pourtout??? choisie.Commedans

Onditqu'unesuite

??(2.3) que,pour Th

´eor`eme2.3(crit`eredeCauchydans

?)Unesuitedevecteursdans ?estconvergentesiet seulementsielleestunesuitedeCauchy. ?.Sad´emonstration,parcontre, Th

´eor`eme2.4(Bolzano-Weierstrassdans

?)Chaquesuiteborn´eedevecteursdans ?admet unesous-suiteconvergente. D

´emonstration.Soit

?.Lasuitedesespremi`erescomposantes alorsunesous-suiteconvergente,disons

8Topologiede

?etfonctionscontinues pourobtenirune sous-suiteconvergente,disons, gent.Pour ??,nousexaminonslestroisi`emes ?´etapes,ilresteune suitedonttouteslescomposantesconvergent.

Pourdesensembles

?et ?dans ?,nousutilisonslesnotations ????siles´el´ementsde ?appartiennent`a ?(sous-ensemble)???? ?et??? ??(intersection)???? ?ou??? ??(r´eunionouunion)???? ?mais???? ??(diff´erence)?? ??(compl´ementaire)? ????(3.1) appel´edisque(ouboule)derayon ?etdecentre?(voirlafigureI.3).

FigureI.3:Disquesderayon

????pour???????,???????et???????, D

´efinition3.1(voisinage)Soit

?donn´e.Unvoisinagede?estunensemble? ?qui ?,i.e., ?estvoisinagede?????

Ledisque

????ou?

Chaque

norme(voirledessin`acot´e). ?estouverts'ilestunvoisinagedechacun desespoints,i.e. ?ouvert???

Topologiede

?etfonctionscontinues9 D ??estferm´esichaquesuiteconvergente ?asalimitedans ?,i.e. ?ferm´e???? ???et????? ?impliquent???

Exemplesdans.

L'intervalledit"ouvert"

un

Parcontre,lasuite

??????(pour??? d'uncertain

L'ensembledit"ferm´e"

?ni?n'ontunvoisinageenti`erement inclusdans

L'intervalle

limitedelasuiteconvergente

Enfin,l'ensemble

Lemme3.4Soit

??unenormearbitrairede a)L'ensemble ??estouvert. b)L'ensemble ??estferm´e.

FigureI.4:Ensemblesouverts

??(gauche)etferm´es ??(droite) D

´emonstration.a)Pour

?prenons Donc, ?estouvert. b)Consid´eronsunesuite detriangleimplique pour??? ?.Ceciestvraipourtout ????.Parcons´equent,??????? ?et ?estferm´e.

Autresexemples.

Ledemi-plan

tardquel'ensemble ????estouvertetque

L'ensemble

10Topologiede

?etfonctionscontinues (3.2)

Cetensemblen'estpasouvert(parex.

??????n'apasdevoisinagedans ?)maisilestferm´e(voir

FigureI.5:EnsembledeCantor

Th

´eor`eme3.5Onai)

?ferm´e ?ouvert, ii) ?ouvert ??ferm´e. D

´emonstration.i)Supposonsque

??nesoitpasouvert.Ilexistealorsun??? ?(i.e.???? telque,pourtout ????,onait ??.Enprenant ???????,nouspouvonschoisirunesuite ????.Comme ?estferm´e,nousobtenons??? ?,d'o`u unecontradiction. ii)Supposonsque convergeantversun ??,(i.e.?????).Comme?estouvert,nousavons ??pourun certain ????.Parcons´equent,?????? i) ????estouvert, ii) ??ferm´es ??estferm´e. ?),ona iii) ???ouvertpourtout?? iv) ??ferm´epourtout?? ????estferm´e.

Topologiede

?etfonctionscontinues11 D ????,donc??????? pourtout? ??telque ????.Prenons ????;alors ????et ?(ii) et(iii) etduth´eor`eme3.5. ferm´e.Eneffet,soncompl´ementaire ?estferm´e. (droite) nombreinfinid'ensembles. (1.26) dontl'intersection??? ??n'estpasouverte(figureI.7, gauche). (1.27) auneunion ??quin'estpasferm´ee.

12Topologiede

?etfonctionscontinues

I.4Fonctionscontinues

Soit ?unsous-ensemblede ?.Unefonction ?(4.1) envoielevecteur ?surlevecteur? ?.Chaquecom- posantede (4.2)

Exemples

a)Unefonction ????dedeuxvariables??? dans ?.Parexemple,lafonction? b)Deuxfonctions ????d'unevariable??? ???repr´esententunecourbedans ?.Par projetonslacourbesurleplan courbedans ?(uncercledanscetexemple). D ????estcontinueen????? ?si ?,nousobtenonsler´esultat Th

´eor`eme4.2Unefonction

????donn´eepar(4.2)estcontinueen????? ?siet seulementsichaquefonction ?estcontinueen???(?

Topologiede

?etfonctionscontinues13 ???pourl'´etudedela continuit´e.quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17