Sujet et corrigé du bac en mathématiques, série ES

Lecture 10: Dijkstra’s Shortest Path Algorithm CLRS 24 3 Outline of this Lecture Recalling the BFS solution of the shortest path problem for unweighted (di)graphs The shortest path problem for weighted digraphs Dijkstra’s algorithm Given for digraphs but easily modiﬁed to work on undirected graphs 1

Exercises 1 Minimum spanning trees and shortest paths

of Dijkstra’s algorithm, all shortest paths starting at vertex r have been found The union of these paths forms a tree, which we will call the Dijkstra tree at r a Give an example of a weighted graph, whose minimum spanning tree diﬁers from all its Dijkstra trees b Prove that a minimum spanning tree and a Dijkstra tree of G always have at

Troisième partie Graphes pondérés et algorithmedeDijkstra

Correctiondel’exercice 1:Antilles2016 Des touristes sont logés dans un hôtel H Un guide souhaite faire visiter la région à ces touristes en empruntant les routes signalées comme d’intérêt touristique parl’ofﬁce dutourisme Lestronçons deroutequ’il souhaite em-prunter sont représentés sur le graphe ci-contre

Sujet et corrigé du bac en mathématiques, série ES

En utilisant l’algorithme de Dijkstra, déterminons le trajet le moins cher pour aller de A à G: Après recours à l’algorithme de Dijkstra, nous trouvons comme trajet le moins cher pour aller de l’aéroport A à l’aéroport G: le trajet A - E - D - C - G Et ce dernier coûtera: 45 + 40 + 60 + 50 = 195 €

Compilation réalisée à partir d’exercices de BAC TES

Exercice n° 1 Un groupe d’amis organise une randonnée dans les Alpes On a représenté par le graphe ci-dessous les sommets B, C, D, F, T, N par lesquels ils peuvent choisir de passer Une arête entre deux sommets coïncide avec l’existence d’un chemin entre les deux sommets 1) a) Recopier et compléter le tableau suivant :

Tes Devoir surveillé n°6 : Exercice 1

Exercice 2 Une usine produit deux types E et F de moteurs Le bénéfice B, exprimé en milliers d’euros, pour une production journalière de x moteurs E et y moteurs F est : B x y x y x y22, 0,05 0,08 0,6 0,7 On admet que la production totale est vendue et que 0 10ddx; 08ddy 1 Calculer le bénéfice réalisé avec a

Correction Term ES spé Devoir Surveillé 3

Exercice 2 Un parc de loisirs décide d’ouvrir une nouvelle attraction pour les jeunes enfants : un parcours pédestre où chaque enfant doit recueillir, sur diﬀérents lieux, des indices pour résoudre une énigme Le parcours est représenté par le graphe ci-dessous

Corrigé du baccalauréat ES–L Antilles–Guyane juin 2016

[Corrigé du baccalauréat ES–L Antilles–Guyane \ juin 2016 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1 L’équation f (x)=0 admet exactement 2 solutions, la première sur [−1 ; 1] et la deuxième sur

MATHS APPLIQUEES A LINFORMATIQUE - Introduction à la théorie

Enfin, à titre d'exercice, nous proposons quelques problèmes et applications Nous encourageons vivement le lecteur à essayer de les résoudre afin de prendre la matière bien en main Le lecteur qui veut aborder ce chapitre devrait avoir : - une maîtrise élémentaire d'un tableur de type Excel ou OpenOffice,

Examen de Théorie des Graphes - epiportalcom

Dans cet exercice on ne considère que des graphes simples, planaires, et non-orientés Pour un tel graphe G = (V, E), on note n = jVjle nombre de sommets, e = jEj/2 le nombre d’arêtes, et f le nombre de faces Le degré moyen d’un graphe est 1 n å v2V deg(v) 1 (2pts) Justiﬁez que 3f 2e Réponse :

Exercice 3Corrigé

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

Session 2016

MATHÉMATIQUES

- Série ES -

ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Durée de l'épreuve : 3 heures

Coefficient : 7

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairem ent sur la copie. ou non fructueuse, qu'il aura développée.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements

entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 5 pages numéro tées de 1 à 5.

EXERCICE35 points

Candidatsde la série ES ayantsuivi l"enseignementde spécialité

Une compagnie aérienne utilise huit aéro-

ports que l"on nomme A, B, C, D, E, F, G et H.

Entre certains de ces aéroports, la compagnie

propose des vols dans les deux sens. Cette situation est représentée par le grapheΓ ci-contre, dans lequel : les sommets représentent les aéro-ports, les arêtes représentent les liaisons as- surées dans les deux sens par la com- pagnie.AB C D EF G H

Partie A

1. a .Déterminer, en justifiant, si le grapheΓest complet. b.Déterminer, en justifiant, si le grapheΓest connexe.

2.Déterminer, en justifiant, si le grapheΓadmet une chaîne eulérienne. Si oui, donner

une telle chaîne.

3.Donner la matrice d"adjacenceMdu grapheΓen respectant l"ordre alphabétique des

sommets du graphe.

4.Pour la suite de l"exercice, on donne les matrices suivantes :

M 2=( ((((((((((3 1 2 2 1 1 0 1

1 4 1 2 2 0 2 0

2 1 3 1 1 2 0 1

2 2 1 4 1 1 1 1

1 2 1 1 3 0 1 0

1 0 2 1 0 2 0 1

0 2 0 1 1 0 3 0

1 0 1 1 0 1 0 2)

))))))))))etM3=( ((((((((((4 8 3 7 6 1 4 1

8 4 8 8 3 6 1 4

3 8 2 7 4 1 6 1

7 8 7 6 7 3 3 2

6 3 4 7 2 3 1 4

1 6 1 3 3 0 5 0

4 1 6 3 1 5 0 4

1 4 1 2 4 0 4 0)

Un voyageur souhaite aller de l"aéroport B à l"aéroport H. a.Déterminer le nombre minimal de vols qu"il doit prendre, Justifier les réponses à l"aide des matrices données ci-dessus. b.Donner tous les trajets possibles empruntant trois vols successifs.

Partie B

Les arêtes sont maintenant pondérées par le coût de chaque vol, exprimé en euros.

Un voyageur partant de l"aéroport A doit se

rendre à l"aéroport G. En utilisant l"algorithme de Dijkstra, détermi- ner le trajet le moins cher.AB C D EF G H 40
100
45
110
50
120
60
50
40
55
80
90
1 alainpiller. frfreemaths . fr 1. a. Déterminons, en justifiant, si le graphe est complet:

D'après le cours, nous savons que:

Deux sommets sont dits adjacents s'ils sont reliés par une arêt e. Un graphe dont les sommets sont 2 à 2 adjacents est aussi appelé graphe complet. Ici, le graphe n'est pas complet car, par exemple, les sommets D et H ne sont pas adjacents.

Au total: le graphe n'est pas complet.

1. b. Déterminons, en justifiant, si le graphe est connexe: Ici, le graphe est connexe car il existe une chaîne entre deux sommet s quelconques de ce graphe. En effet, deux sommets quelconques de ce graphe peuvent, par exemple, ê tre reliés par une chaîne extraite de la chaîne:

A - B - C - D - E - H - G - F.

Au total: le graphe est donc connexe.

EXERCICE 3

[ Centres trangers 2016 ]

Partie A:

2 alainpiller. frfreemaths . fr 2. Déterminons, en justifiant, si le graphe admet une chaîne eulér ienne:

D'après le cours:

G étant un graphe connexe, les deux propriétés suivantes sont é quivalentes: Deux sommets (et deux seulement) X et Y de G sont de degré impair. G admet une chaîne eulérienne d'extrémités X et Y. Ici, le tableau des sommets degrés est le suivant:

SommetsABCDEFGH

Degrés34343232

Il y a donc 4 sommets A, C, E et G de degré impair.

Par conséquent:

le graphe n'admet pas de chaîne eulérienne. Au total: le graphe n'admet pas une chaîne eulérienne. 3.

Donnons la matrice d'adjacence du graphe:

La matrice associée au graphe probabiliste ou matrice de transition M est:

01011000

10110100

01010010

11101000

10010011

01000010

00100101

00001010

M = .

3 alainpiller. frfreemaths . fr 4. a. Déterminons le nombre minimal de vols qu'il doit prendre pour alle r de

B à H:

Pour répondre à cette question, nous allons regarder le chiffre in diqué sur la 2 e ligne (

B ), 8

e colonne (

H ), et ce, pour les matrices M, M

2 et M 3quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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