Algèbre 3

Dans R3, soit e 1= (1,0,0), e 2= (1,0,1) et e 3= (0,1,2) Montrer que {1 2 e ,e ,e 3} est une base de R 3 Théorème de la base incomplète : Soit E un ev de dimension finie et L une famille libre de E Alors il existe une base B de cardinal fini qui contient L 6 Caractérisation des sev de dimension finie Proposition :

Exercices dAlgèbre

On considère dans \3 la fonction h qui, aux vecteurs v =(,x12xx,3) et w (,yy12,y3, associe le nombre réel : ()[] 1 123 2 3 102,,,010 201 y hxxx y y = vw? La fonction h est un produit scalaire Indication: on cherchera un couple de vecteurs qui ne vérifie l’inégalité de Cauchy-Schwarz FAUX

Exercices corrig´es de Algebra Hungerford, Thomas W

“exercice 2” tout au long de la section 3, et avec la notation “exercice 3 2” dans les autres sections du chapitre V La notation “exercice II 3 2” sera utilis´ee pour l’exercice 2 de la section 3 du chapitre II • Le Lemme (ou Corollaire, Th´eor`eme, Proposition) 2 de la section 3 du

Algèbre 3 - Université du Luxembourg

EXERCICESEXERCICES Algèbre Algèbre :::: InéquationsInéquations

a) y vaut au minimum 3,25 b) z est supérieur à 55 c) La valeur maximale de t est –25 d) m vaut au plus 11 e) t vaut au maximum –13,13 f) x est au moins égal à 5,3 g) y égale au moins 10 h) m vaut moins que 3

TOUS LES EXERCICES DALGEBRE ET DE GEOMETRIE MP

TOUS LES EXERCICES DÕALGéBRE ET DE G OM TRIE MP Pour assimiler le programme, sÕentra ner et r ussir son concours El-Haj Laamri Agr g en math matiques et ma tre de conf rences Nancy-Universit

Exercices dalgèbre linéaire

1 Exercices corrigés d’algèbre linéaire 1 Espaces vectoriels, sous-espaces 2 Applications linéaires 3 Dimension, rang 4 Espaces fonctionnels

Exo7 - Cours de mathématiques - Cours et exercices de

activement par vous-même des exercices, sans regarder les solutions Pour vous aider, vous trouverez sur le site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours, ainsi que des exercices corrigés Au bout du chemin, le plaisir de découvrir de nouveaux univers, de chercher à résoudre des problèmes et d’y parvenir Bonne route

Exercices corrigés (1)

Exercices corrigés (1) A- Modélisation Une compagnie d'assurance veut utiliser un SGBD pour stocker ses contrats d'assurances de voiture Une police d'assurance est souscrite par une seule personne mais peut concerner plusieurs vehicules Chaque véhicule doit avoir un conducteur principal qui peut être différent de l'assuré lui-même

Semestre d'hiver 2012/2013

Université du Luxembourg

Gabor Wiese

gabor.wiese@uni.lu

Version du 19 décembre 2012

Préface

L'objet principal du cours sera l'étude des extensions algébriques des corps commutatifs. En par-

ticulier, la théorie de Galois sera développée et appliquée. Elle permet entreautres de démontrer que

l'équation générale de degré au moins5ne peut pas être résolue en radicaux et de résoudre (parfois

de manière négative) plusieurs problèmes classiques (provenant des anciens Grecs) de construction à

la règle et au compas comme la trisection d'un angle et la quadrature du cercle.

Au début du cours nous allons ×nir le traitement de la réduction de Jordan d'une matrice com-

mencé avant l'été.

Littérature

Voici quelques références sur la théorie de Galois en français : - Jean-Pierre Escof×er :Théorie de Galois - Jean-Claude Carrega :Théorie des corps, la règle et le compas - Antoine Chambert-Loir :Algèbre corporelle - Yvan Gozard :Théorie de Galois - Patrice Tauvel :Corps commutatifs et théorie de Galois - Josette Calais :Extension de corps, théorie de Galois - Evariste Galois : le texte original!

Voici quelques d'autres références :

- Siegfried Bosch :Algebra(en allemand), Springer-Verlag. Ce livre est très complet et bien lisible.

- Ian Stewart :Galois Theory. Ce livre est bien lisible. Le traitement de la théorie de Galois dans

le cours sera un peu plus général puisque Stewart se restreint dans les premiers chapîtres aux

sous-corps des nombres complexes. - Serge Lang :Algebra(en anglais), Springer-Verlag. C'est comme une encyclopédie de l'al- gèbre; on y trouve beaucoup de sujets rassemblés, écrits de façon concise. 1

1 RÉDUCTION DE JORDAN2

1 Réduction de Jordan

Nous commençons ce cours par la réduction de Jordan que nous avons bien préparée le semestre

précédent, mais, pas encore ×nie. Rappelons d'abord les dé×nitions etrésultats principaux déjà mis

en place avant l'été. Dans toute cette section, soitKun corps commutatif.

Le théorème suivant est souvent appelléthéorème fondamental sur les matrices, ce qui montre son

rôle fondamental : il dit que - après un choix de bases (pas oublier!!) -chaque application linéaire

peut être décrite de façon unique par une matrice, et que, réciproquement, chaque matrice - encore

pour un choix de bases ×xé - dé×nit une application linéaire.

Un mot sur les notations : contrairement à l'usage au semestre précédent, jenoterai les bases main-

tenant avec des parenthèses,S= (v1;:::;vn), et non avec des accolades car la forme des matrices

(qui est aussi noté avec des parenthèses). Si nous avons deux sous-espaceW1etW2d'un espace vec-

torielVavec des basesS1= (v1;:::;vn)etS2= (w1;:::;wm), on notera(v1;:::;vn;w1;:::;wm) quand-même parS1?S2. Théorème 1.1.SoientV;WdeuxK-espaces vectoriels de dimensions niesnetm. Rappellons que nous notonsHomK(V;W)l'ensemble de toutes les applications':V→Wqui sontK- linéaires. SoientS= (v1;:::;vn)uneK-base deVetT= (w1;:::;wm)uneK-base deW. Pour que combinaisonK-linéaire des vecteurs dans la baseTainsi : '(vi) =m? j=1a j,iwj: Nous " rassemblons» les coefcientsaj,idans une matrice : M

T,S(') :=((((((a

1,1a1,2···a1,n

2,1a2,2···a2,n.

a m,1am,2···am,n)))))) ?Matm×n(K):

L'utilité de cette matrice est la suivante : Soitv?Vun vecteur qui s'écrit en coordonnées pour

la baseScommev=((((((b 1 b 2. b n)))))) . Alors, le produit matriciel (a

1,1a1,2···a1,n

2,1a2,2···a2,n.

a m,1am,2···am,n)))))) (b 1 b 2. b n))))))

est égale au vecteur'(v)écrit en coordonnées pour la baseT. C'est à dire que nous avons exprimé

l'image'(v)en coordonnées. Alors, la matriceMT,S(')décrit l'application linéaire'en coordon-

nées.

1 RÉDUCTION DE JORDAN3

L'assertion principale du théorème c'est : L'application Hom

K(V;W)→Matm×n(K); '?→MT,S(')

est une bijection. Elle est même un isomorphisme deK-algèbres.

Démonstration.La preuve n'est qu'un calcul assez simple et a été donnée avant l'été.Elle fait partie

de celles que chaqu'un(e) devrait pouvoir reproduire. Alors, c'est le cas? Dans le reste de cette section nous nous intéressons au cas spécialW=V. Une application K-linéaire':V→Vest aussi appelléeendomorphismeet nous écrivons End

K(V) := HomK(V;V):

A partir d'ici, ×xons unK-espace vectorielVde dimension ×nien.

Dénition 1.2.Soit'?EndK(V).

-a?Kest appellévaleur proprede's'il existe0?=v?Vt.q.'(v) =av(ou équivalent : ker('-a·idV)?= 0). - On poseE?(a) := ker('-a·idV). Siaest une valeur propre de', on appelleE?(a)l'espace propre poura. - Chaque0?=v?E?(a)est appellévecteur propre pour la valeur proprea. - On poseSpec(') ={a?K|aest valeur propre de'}. - On appelle'diagonalisablesiV=? a?Spec(?)E?(a).

Vous avez déjà vu beaucoup d'exemples, en algèbre linéaire et en algèbre 2 avant l'été. Rappellons

quand-même une formulation équivalente de la diagonalisabilité (qui explique lenom). Proposition 1.3.Soit'?EndK(V)etSpec(') ={a1;:::;ar}. Les assertions suivantes sont

équivalentes :

(i)'est diagonalisable. (ii) Il existe une baseSdeVt.q. M

S,S(') =(((((((((((((((a

10 0 0 0 0 0 0 0 0

0...0 0 0 0 0 0 0 0 00 0a10 0 0 0 0 0 0 00 0 0a20 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0...0 0 0 0 0 00 0 0 0 0a20 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0...0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0...0 0 00 0 0 0 0 0 0 0ar0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0...00 0 0 0 0 0 0 0 0 0ar)))))))))))))))

1 RÉDUCTION DE JORDAN4

une baseSideE?(ai)et posonsS=S1?S2?···?Sr. Puisque'est diagonalisable,Vest la somme directe desE?(ai); ceci ne dit rien d'autre queSest une base deV. La forme diagonale de la matrice provient immédiatement du théorème fondamental sur les matrices 1.1. " (ii)?(i) » : EcrivonsS= (v1;:::;vn)eteipour le nombre de fois queaiapparaît sur la diagonale. Alors,E?(a1)est le sous-espace deVengendré par les premierse1vecteurs deS; ensuite, E ?(a2)est le sous-espace deVengendré par les prochainse2vecteurs deS, etc. Ceci montre queV Dénition 1.4.- SoitM?Matn×n(K)une matrice. Lepolynôme caractéristique deMest déni comme car

M(X) := det?X·idn-M??K[X]:

- Soit'?EndK(V). Lepolynôme caractéristique de'est déni comme car

φ(X) := carMS,S(?)(X):

Avant l'été nous nous sommes convaincues quecar?ne dépend pas du choix de la baseS. Nous avons aussi vu plusieurs exemples que nous n'allons pas répeter ici. Proposition 1.5.Spec(') ={a?K|car?(a) = 0}={a?K|(X-a)|car?(X)}.

Démonstration.C'est facile, n'est-ce pas?

A part le polynôme caractéristique nous avons également introduit le polynôme minimal dont

on rappelle aussi la dé×nition. On se souvient qu'on a démontré queK[X]est un anneau euclidien

(pour la division euclidienne de polynômes, c'est à dire "avec reste»),alors, comme on l'a démontré

également,K[X]est un anneau principal : chaque idéal est principal, c'est à dire, peut être engendré

par un seul élément. Nous allons utiliser ce fait maintenant. Dénition-Lemme 1.6.(a) SoitM?Matn×n(K)une matrice. Sif(X) =?di=0aiXi?K[X] est un polynôme, alors nous posonsf(M) :=?di=0aiMi, ce qui est encore une matrice dans Mat n×n(K). (b) L'application " evaluation » ev

M:K[X]→Matn×n(K); f(X)?→f(M)

est un homomorphisme d'anneaux (même deK-algèbres). (c) Le noyauker(evM)est un idéal principal non-nul de l'anneau principalK[X], alors, il existe un unique polynôme normalisémM(X)?K[X]qui engendreker(evM). On appellemM(X)le polynôme minimal deM. (d)mM(X)est le polynôme normalisé de degré minimal qui annuleM(c'est à dire :mM(M) = 0n où0nest la matrice zéro dansMatn×n(K)(qu'on denotéra aussi0pour simplicité)). (e) Soit'?EndK(V). Nous posons m ?(X) :=mMS,S(?)(X) et l'appellonspolynôme minimal de'. Ce polynôme ne dépend pas du choix de la baseS.

1 RÉDUCTION DE JORDAN5

Démonstration.(a) est clair.

(b) C'est un calcul facile. (c) Remarquons queK[X]est de dimension in×nie alors que la dimension deMatn×n(K)est

×nie, ce qui montre queevMne peut pas être injective. Alors, son noyau est non-nul et engendré par

un polynôme qui est unique à multiplication parK×près, ce qui nous permet de le normaliser.

(d) est clair. (e) L'indépendence du choix de la base provient du fait que la conjugaison avec la matrice de changement de base décrit un isomorphisme deMatn×n(K).

Le polynôme caracteristiquecarM(X)et le polynôme minimalmM(X)sont liés par le théorème

de Cayley-Hamilton. Théorème 1.7(Cayley-Hamilton).SoitM?Matn×n(K). Alors, car

M(M) = 0n?Matn×n(K):

En particulier,mM(X)est un diviseur decarM(X).

Démonstration.L'astuce est d'utiliser les matrices adjointes. Nous avons (X·idn-M)adj·(X·idn-M) = det(X·idn-M)·idndéf= carM(X)·idn:(1.1) Notez que la matriceX·idn-Mest à coef×cients dans l'anneau des polynômesK[X]. Mais, il

est facile de véri×er que la propriété principale des matrices adjointes que nous venons d'utiliser est

valable pour chaque anneau commutative et pas seulement pourR, le cas pour lequel vous avez vu la preuve en algèbre linéaire.

La dé×nition de la matrice adjointe montre que la plus grande puissance deXqui peut apparaître

dans un coef×cient de la matrice(X·idn-M)adjestn-1. Nous pouvons alors écrire cette matrice en tant que polynôme de degrén-1à coef×cients dansMatn×n(K): (X·idn-M)adj=n-1? i=0B iXiavecBi?Matn×n(K): Nous écrivonscarM(X) =?ni=0aiXiet reprenons l'équation (1.1) : car

M(X)·idn=n?

i=0a i·idn·Xi=?n-1? i=0B iXi?(X·idn-M) n-1? i=0(BiXi+1-BiMXi) =-B0M+n-1? i=1(Bi-1-BiM)Xi+Bn-1Xn: Nous comparons les coef×cients (encore des matrices!) pour obtenir a

1 RÉDUCTION DE JORDAN6

On peut maintenant conclure la preuve decarM(M) = 0npar un calcul simple : car

M(M)·idn=n?

quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

[PDF] Algèbre 3 - Université du Luxembourg

Algèbre 3

Semestre d'hiver 2012/2013

Université du Luxembourg

Gabor Wiese

Version du 19 décembre 2012

Préface

Littérature

Voici quelques d'autres références :

1 RÉDUCTION DE JORDAN2

1 Réduction de Jordan

T,S(') :=((((((a

1,1a1,2···a1,n

2,1a2,2···a2,n.

1,1a1,2···a1,n

2,1a2,2···a2,n.

1 RÉDUCTION DE JORDAN3

K(V;W)→Matm×n(K); '?→MT,S(')

K(V) := HomK(V;V):

Dénition 1.2.Soit'?EndK(V).

équivalentes :

S,S(') =(((((((((((((((a

10 0 0 0 0 0 0 0 0

0...0 0 0 0 0 0 0 0 00 0a10 0 0 0 0 0 0 00 0 0a20 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0...0 0 0 0 0 00 0 0 0 0a20 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0...0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0...0 0 00 0 0 0 0 0 0 0ar0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0...00 0 0 0 0 0 0 0 0 0ar)))))))))))))))

1 RÉDUCTION DE JORDAN4

M(X) := det?X·idn-M??K[X]:

φ(X) := carMS,S(?)(X):

Démonstration.C'est facile, n'est-ce pas?

M:K[X]→Matn×n(K); f(X)?→f(M)

1 RÉDUCTION DE JORDAN5

Démonstration.(a) est clair.

M(M) = 0n?Matn×n(K):

En particulier,mM(X)est un diviseur decarM(X).

M(X)·idn=n?

1 RÉDUCTION DE JORDAN6

M(M)·idn=n?