Exercices dAlgèbre
est un e v avec un nombre fini d’éléments Remarque: C’est le seul exemple parmi les e v sur un corps K infini, car si x∈E G et x ≠0, alors GG ∀∈λ K,λx∈E G? Les fonctions de [0,1] dans [0,1] forment un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de R dans R FAUX
EXERCICESEXERCICES Algèbre Algèbre :::: InéquationsInéquations
Exercices sur les inéquations – Problèmes écrits Avant de commencer chaque problème, choisis ta variable et dis ce qu’elle représente 1 Amélie a 2 ans de plus que Benjamin Le double de la somme de leur âge est plus petit que 24 Quels sont les âges que Benjamin peut avoir ? Exprime l’ensemble-solution sous forme d’intervalle 2
Exo7 - Cours de mathématiques - Cours et exercices de
activement par vous-même des exercices, sans regarder les solutions Pour vous aider, vous trouverez sur le site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours, ainsi que des exercices corrigés Au bout du chemin, le plaisir de découvrir de nouveaux univers, de chercher à résoudre des problèmes et d’y parvenir Bonne route
Exercices corrig´es Alg`ebre lin´eaire 1
Ce syst`eme admet d’autres solutions que la solution nulle On en d´eduit que {e 1,e 2,e 3,e 4} n’est pas libre (2) D’apr`es ce qui pr´ec`ede, le rang de la famille {e 1,e 2,e 3,e 4} est inf´erieur ou ´egal a 3 On consid`ere alors la famille {e 1,e 2,e 3 1 2 1
TOUS LES EXERCICES DALGEBRE ET DE GEOMETRIE MP
TOUS LES EXERCICES D'ALGÈBRE ET DE GÉOMÉTRIE MP Pour assimiler le programme, s’entraîner et réussir son concours Rappels de cours et exercices d’assimilation Plus de 400 exercices dont la majorité est issue d’oraux de concours récents Solutions complètes et détaillées EL-HAJ LAAMRI † PHILIPPE CHATEAUX † GÉRARD EGUETHER
USTO-MB
Ce document cours d’Algèbre I et II avec exercices corrigés recouvre le programme d’Algèbre linéaire de la 1ère année universitaire Le lecteur trouvera une partie cours qui a été enseigné et à la fin de chaque chapitre une partie exercices corrigés dont la plupart ont été proposé dans le cadre de travaux
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ALGÈBRE
COURS DE MATHÉMATIQUES
PREMIÈRE ANNÉEExo7
À la découverte de l"algèbreLa première année d"études supérieures pose les bases des mathématiques. Pourquoi se lancer dans une
telle expédition? Déjà parce que les mathématiques vous offriront un langage unique pour accéder à une
multitude de domaines scientifiques. Mais aussi parce qu"il s"agit d"un domaine passionnant! Nous vous
proposons de partir à la découverte des maths, de leur logique et de leur beauté.Dans vos bagages, des objets que vous connaissez déjà : les entiers, les fonctions... Ces notions en apparence
simples et intuitives seront abordées ici avec un souci de rigueur, en adoptant un langage précis et en
présentant les preuves. Vous découvrirez ensuite de nouvelles théories (les espaces vectoriels, les équations
différentielles,...).Ce tome est consacré à l"algèbre et se divise en deux parties. La première partie débute par la logique
et les ensembles, qui sont des fondamentaux en mathématiques. Ensuite vous étudierez des ensembles
particuliers : les nombres complexes, les entiers ainsi que les polynômes. Cette partie se termine par l"étude
d"une première structure algébrique, avec la notion de groupe.La seconde partie est entièrement consacrée à l"algèbre linéaire. C"est un domaine totalement nouveau pour
vous et très riche, qui recouvre la notion de matrice et d"espace vectoriel. Ces concepts, à la fois profonds et
utiles, demandent du temps et du travail pour être bien compris.Les efforts que vous devrez fournir sont importants : tout d"abord comprendre le cours, ensuite connaître
par cur les définitions, les théorèmes, les propositions... sans oublier de travailler les exemples et les
démonstrations, qui permettent de bien assimiler les notions nouvelles et les mécanismes de raisonnement.
Enfin, vous devrez passer autant de temps à pratiquer les mathématiques : il est indispensable de résoudre
activement par vous-même des exercices, sans regarder les solutions. Pour vous aider, vous trouverez sur le
site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours, ainsi que des exercices corrigés.Au bout du chemin, le plaisir de découvrir de nouveaux univers, de chercher à résoudre des problèmes... et
d"y parvenir. Bonne route!Sommaire
1 Logique et raisonnements
11 Logique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Raisonnements
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Ensembles et applications
111 Ensembles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Applications
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Injection, surjection, bijection
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Ensembles finis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Relation d"équivalence
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Nombres complexes31
1 Les nombres complexes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 Racines carrées, équation du second degré
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Argument et trigonométrie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 Nombres complexes et géométrie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 Arithmétique45
1 Division euclidienne et pgcd
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 Théorème de Bézout
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 Nombres premiers
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 Congruences
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 Polynômes59
1 Définitions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 Arithmétique des polynômes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 Racine d"un polynôme, factorisation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654 Fractions rationnelles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686 Groupes71
1 Groupe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2 Sous-groupes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763 Morphismes de groupes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774 Le groupeZ/nZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 Le groupe des permutationsSn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7 Systèmes linéaires87
1 Introduction aux systèmes d"équations linéaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872 Théorie des systèmes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3 Résolution par la méthode du pivot de Gauss
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938 Matrices99
1 Définition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992 Multiplication de matrices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013 Inverse d"une matrice : définition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064 Inverse d"une matrice : calcul
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085 Inverse d"une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires
. . . . . . . . . . . . . . 1106 Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices symétriques
. . . . . . . . . . . . . . . 1179 L"espace vectorielRn123
1 Vecteurs deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2 Exemples d"applications linéaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263 Propriétés des applications linéaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13210 Espaces vectoriels137
1 Espace vectoriel (début)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1372 Espace vectoriel (fin)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403 Sous-espace vectoriel (début)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444 Sous-espace vectoriel (milieu)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475 Sous-espace vectoriel (fin)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506 Application linéaire (début)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567 Application linéaire (milieu)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1588 Application linéaire (fin)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16111 Dimension finie167
1 Famille libre
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1672 Famille génératrice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1713 Base
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4 Dimension d"un espace vectoriel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785 Dimension des sous-espaces vectoriels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18212 Matrices et applications linéaires
1871 Rang d"une famille de vecteurs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1872 Applications linéaires en dimension finie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1923 Matrice d"une application linéaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1984 Changement de bases
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20413 Déterminants211
1 Déterminant en dimension 2 et 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2112 Définition du déterminant
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2153 Propriétés du déterminant
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2204 Calculs de déterminants
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2245 Applications des déterminants
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 IndexLogique et
raisonnementsChapitre 1Quelques motivations
Il est important d"avoir unlangage rigoureux. La langue française est souvent ambigüe. Prenons
l"exemple de la conjonction "ou»; au restaurant "fromage ou dessert» signifie l"un ou l"autre mais pas
les deux. Par contre si dans un jeu de carte on cherche "les as ou les curs» alors il ne faut pas exclure
l"as de cur. Autre exemple : que répondre à la question "As-tu10euros en poche?» si l"on dispose de
15 euros?
Il y a des notions difficiles à expliquer avec des mots : par exemple la continuité d"une fonction est
souvent expliquée par "on trace le graphe sans lever le crayon». Il est clair que c"est une définition peu
satisfaisante. Voici la définition mathématique de la continuité d"une fonctionf:I→Ren un point
x0∈I: ∀ε >0∃δ >0∀x∈I(|x-x0|< δ=⇒ |f(x)-f(x0)|< ε). C"est le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus claire! C"est lalogique.Enfin les mathématiques tentent dedistinguer le vrai du faux. Par exemple "Est-ce qu"une augmentation
de20%, puis de30%est plus intéressante qu"une augmentation de50%?». Vous pouvez penser "oui»
ou "non», mais pour en être sûr il faut suivre une démarche logique qui mène à la conclusion. Cette
démarche doit être convaincante pour vous mais aussi pour les autres. On parle deraisonnement.Les mathématiques sont un langage pour s"exprimer rigoureusement, adapté aux phénomènes complexes,
qui rend les calculs exacts et vérifiables. Le raisonnement est le moyen de valider - ou d"infirmer - une
hypothèse et de l"expliquer à autrui.LOGIQUE ET RAISONNEMENTS1. LOGIQUE2
1. Logique
1.1. Assertions
Uneassertionest une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en même temps.Exemples :
"Il pleut.» "Je suis plus grand que toi.» " 2+2=4 » " 2×3=7 » "Pour tout x∈R, on a x2⩾0.»"Pour tout z∈C, on a|z|=1.»SiPest une assertion etQest une autre assertion, nous allons définir de nouvelles assertions construites à
partir dePet deQ.L"opérateur logique "et»
L"assertion "PetQ» est vraie siPest vraie etQest vraie. L"assertion "P et Q» est fausse sinon.On résume ceci en unetable de vérité:
P\QVF VVF FFFFIGURE1.1 - Table de vérité de "P et Q»
Par exemple siPest l"assertion "Cette carte est un as» etQl"assertion "Cette carte est cur» alors l"assertion
"P et Q» est vraie si la carte est l"as de cur et est fausse pour toute autre carte.L"opérateur logique "ou»
L"assertion "PouQ» est vraie si l"une (au moins) des deux assertionsPouQest vraie. L"assertion "Pou
Q» est fausse si les deux assertionsPetQsont fausses.On reprend ceci dans la table de vérité :
P\QVF VVV FVFFIGURE1.2 - Table de vérité de "P ou Q»
SiPest l"assertion "Cette carte est un as» etQl"assertion "Cette carte est cur» alors l"assertion "PouQ»
est vraie si la carte est un as ou bien un cur (en particulier elle est vraie pour l"as de cur).
Remarque.
Pour définir les opérateurs "ou», "et» on fait appel à une phrase en français utilisant les motsou,et! Les
tables de vérités permettent d"éviter ce problème.La négation "non»
L"assertion "nonP» est vraie siPest fausse, et fausse siPest vraie.LOGIQUE ET RAISONNEMENTS1. LOGIQUE3
PVF nonPFVFIGURE1.3 - Table de vérité de "non P»
L"implication=⇒
La définition mathématique est la suivante :L"assertion "(non P) ou Q» est notée "P=⇒Q».Sa table de vérité est donc la suivante :
P\QVF VVF FVV FIGURE1.4 - Table de vérité de "P=⇒Q» L"assertion "P=⇒Q» se lit en français "P implique Q». Elle se lit souvent aussi "si P est vraie alors Q est vraie» ou "si P alors Q».Par exemple :
" 0⩽x⩽25=⇒px⩽5 » est vraie (prendre la racine carrée). "x∈]-∞,-4[ =⇒x2+3x-4>0 » est vraie (étudier le binôme). " sin(θ) =0=⇒θ=0 » est fausse (regarder pourθ=2πpar exemple)."2+2=5=⇒p2=2» est vraie! Eh oui, siPest fausse alors l"assertion "P=⇒Q» est toujours
vraie.L"équivalence⇐⇒
L"équivalenceest définie par :"P⇐⇒Q» est l"assertion "(P=⇒Q) et (Q=⇒P)».
On dira "Pest équivalent àQ» ou "Péquivaut àQ» ou "Psi et seulement siQ». Cette assertion est vraie
lorsquePetQsont vraies ou lorsquePetQsont fausses. La table de vérité est : P\QVF VVF FFV FIGURE1.5 - Table de vérité de "P⇐⇒Q»Exemples :
Pourx,x′∈R, l"équivalence "x·x′=0⇐⇒(x=0ou x′=0)» est vraie. Voici une équivalencetoujours fausse(quelle que soit l"assertionP) : "P⇐⇒non(P)».On s"intéresse davantage aux assertions vraies qu"aux fausses, aussi dans la pratique et en dehors de ce
chapitre on écrira "P⇐⇒Q» ou "P=⇒Q» uniquement lorsque ce sont des assertions vraies. Par
exemple si l"on écrit "P⇐⇒Q» cela sous-entend "P⇐⇒Qest vraie». Attention rien ne dit quePetQ
soient vraies. Cela signifie quePetQsont vraies en même temps ou fausses en même temps.LOGIQUE ET RAISONNEMENTS1. LOGIQUE4Proposition 1.
Soient P,Q,R trois assertions. Nous avons les équivalences (vraies) suivantes : 1.P ⇐⇒non(non(P))
2.(PetQ)⇐⇒(QetP)
3.(PouQ)⇐⇒(QouP)
4.non(PetQ)⇐⇒(nonP)ou(nonQ)
5.non(PouQ)⇐⇒(nonP)et(nonQ)
6.Pet(QouR)⇐⇒(PetQ)ou(PetR)
7.Pou(QetR)⇐⇒(PouQ)et(PouR)
8." P =⇒Q »⇐⇒"non(Q) =⇒non(P)»Démonstration.Voici des exemples de démonstrations :
4.Il suffit de comparer les deux assertions "non(P et Q)» et "(non P)ou(non Q)» pour toutes les valeurs
possibles dePetQ. Par exemple siPest vrai etQest vrai alors "PetQ» est vrai donc "non(P et Q)»est faux; d"autre part (nonP) est faux, (nonQ) est faux donc "(non P)ou(non Q)» est faux. Ainsi dans
ce premier cas les assertions sont toutes les deux fausses. On dresse ainsi les deux tables de vérités et
comme elles sont égales les deux assertions sont équivalentes. P\QVF VFV FVV FIGURE1.6 - Tables de vérité de "non(P et Q)» et de "(non P)ou(non Q)» 6.On fait la même chose mais il y a trois variables :P,Q,R. On compare donc les tables de vérité d"abord
dans le cas oùPest vrai (à gauche), puis dans le cas oùPest faux (à droite). Dans les deux cas les deux
assertions "P et(Q ou R)» et "(P et Q)ou(P et R)» ont la même table de vérité donc les assertions
sont équivalentes. Q\RVF VVV FVF Q\RVF VFF FFF 8.Par définition, l"implication "P=⇒Q» est l"assertion "(nonP) ouQ». Donc l"implication "non(Q) =⇒
non(P)» est équivalente à "non(non(Q))ou non(P)» qui équivaut encore à "Q ou non(P)» et donc est
équivalente à "P=⇒Q». On aurait aussi pu encore une fois dresser les deux tables de vérité et voir
qu"elles sont égales.1.2. QuantificateursLe quantificateur∀: "pour tout»
Une assertionPpeut dépendre d"un paramètrex, par exemple "x2⩾1», l"assertionP(x)est vraie ou
fausse selon la valeur dex.L"assertion
∀x∈E P(x)LOGIQUE ET RAISONNEMENTS1. LOGIQUE5
est une assertion vraie lorsque les assertionsP(x)sont vraies pour tous les élémentsxde l"ensembleE.
On lit "Pour tout x appartenant à E, P(x)», sous-entendu "Pour tout x appartenant à E, P(x)est vraie».
Par exemple :
"∀x∈[1,+∞[ (x2⩾1)» est une assertion vraie. "∀x∈R(x2⩾1)» est une assertion fausse. "∀n∈Nn(n+1)est divisible par2 » est vraie.Le quantificateur∃: "il existe»
L"assertion
∃x∈E P(x)est une assertion vraie lorsque l"on peut trouver au moins unxdeEpour lequelP(x)est vraie. On lit "il
existe x appartenant à E tel que P(x)(soit vraie)».Par exemple :
"∃x∈R(x(x-1)<0)» est vraie (par exemplex=12 vérifie bien la propriété). "∃n∈Nn2-n>n» est vraie (il y a plein de choix, par exemplen=3convient, mais aussin=10ou mêmen=100, un seul suffit pour dire que l"assertion est vraie). "∃x∈R(x2=-1)» est fausse (aucun réel au carré ne donnera un nombre négatif).La négation des quantificateursLa négation de "∀x∈E P(x)» est "∃x∈E non P(x)» .
Par exemple la négation de "∀x∈[1,+∞[ (x2⩾1)» est l"assertion "∃x∈[1,+∞[ (x2<1)». En
effet la négation dex2⩾1 est non(x2⩾1)mais s"écrit plus simplementx2<1.La négation de "∃x∈E P(x)» est "∀x∈E non P(x)».Voici des exemples :
La négation de "∃z∈C(z2+z+1=0)» est "∀z∈C(z2+z+1̸=0)». La négation de "∀x∈R(x+1∈Z)» est "∃x∈R(x+1/∈Z)». Ce n"est pas plus difficile d"écrire la négation de phrases complexes. Pour l"assertion : ∀x∈R∃y>0(x+y>10) sa négation est ∃x∈R∀y>0(x+y⩽10).Remarques
L"ordre des quantificateurs est très important. Par exemple les deux phrases logiquessont différentes. La première est vraie, la seconde est fausse. En effet une phrase logique se lit de gauche à
droite, ainsi la première phrase affirme "Pour tout réelx, il existe un réely(qui peut donc dépendre dex)
tel quex+y>0.» (par exemple on peut prendrey=|x|+1). C"est donc une phrase vraie. Par contre ladeuxième se lit : "Il existe un réely, tel que pour tout réelx,x+y>0.» Cette phrase est fausse, cela ne
peut pas être le mêmeyqui convient pour tous lesx!On retrouve la même différence dans les phrases en français suivantes. Voici une phrase vraie "Pour toute
personne, il existe un numéro de téléphone», bien sûr le numéro dépend de la personne. Par contre cette
LOGIQUE ET RAISONNEMENTS2. RAISONNEMENTS6phrase est fausse : "Il existe un numéro, pour toutes les personnes». Ce serait le même numéro pour tout le
monde!Terminons avec d"autres remarques.
Quand on écrit "∃x∈R(f(x) =0)» cela signifie juste qu"il existe un réel pour lequelfs"annule. Rien
ne dit que cexest unique. Dans un premier temps vous pouvez lire la phrase ainsi : "il existeau moins
un réelxtel quef(x) =0». Afin de préciser quefs"annule en une unique valeur, on rajoute un point
d"exclamation : ∃!x∈R(f(x) =0).Pour la négation d"une phrase logique, il n"est pas nécessaire de savoir si la phrase est fausse ou vraie.
Le procédé est algorithmique : on change le "pour tout» en "il existe» et inversement, puis on prend la
négation de l"assertionP.Pour la négation d"une proposition, il faut être précis : la négation de l"inégalité stricte "<» est l"inégalité
large "⩾», et inversement.Les quantificateurs ne sont pas des abréviations. Soit vous écrivez une phrase en français : "Pour tout
réel x, si f(x) =1alors x⩾0.» , soit vous écrivez la phrase logique : ∀x∈R(f(x) =1=⇒x⩾0).Mais surtout n"écrivez pas "∀xréel, sif(x) =1=⇒xpositif ou nul». Enfin, pour passer d"une ligne à
l"autre d"un raisonnement, préférez plutôt "donc» à "=⇒». Il est défendu d"écrire̸∃,̸=⇒. Ces symboles n"existent pas!Mini-exercices. 1.Écrire la table de vérité du "ou exclusif». (C"est leoudans la phrase "fromage ou dessert», l"un ou
l"autre mais pas les deux.) 2. Écrire la table de vérité de " non (P et Q)». Que remarquez vous? 3.Écrire la négation de " P=⇒Q».
4. Démontrer les assertions restantes de la proposition 1 5.Écrire la négation de " P et(Q ou R)».
6.Écrire à l"aide des quantificateurs la phrase suivante : "Pour tout nombre réel, son carré est positif».
Puis écrire la négation.
7.Mêmes questions avec les phrases : "Pour chaque réel, je peux trouver un entier relatif tel que leur
produit soit strictement plus grand que1». Puis "Pour tout entiern, il existe un unique réelxtel que
exp(x)égale n».2. Raisonnements Voici des méthodes classiques de raisonnements.2.1. Raisonnement direct
On veut montrer que l"assertion "P=⇒Q» est vraie. On suppose quePest vraie et on montre qu"alorsQ
est vraie. C"est la méthode à laquelle vous êtes le plus habitué.Exemple 1.
Montrer que sia,b∈Qalorsa+b∈Q.
LOGIQUE ET RAISONNEMENTS2. RAISONNEMENTS7
Démonstration.Prenonsa∈Q,b∈Q. Rappelons que les rationnelsQsont l"ensemble des réels s"écrivant
pq avecp∈Zetq∈N∗. Alorsa=pqpour un certainp∈Zet un certainq∈N∗. De mêmeb=p′q ′avecp′∈Zetq′∈N∗. Maintenant a+b=pq +p′q ′=pq′+qp′qqOr le numérateurpq′+qp′est bien un élément deZ; le dénominateurqq′est lui un élément deN∗. Donc
a+bs"écrit bien de la formea+b=p′′q ′′avecp′′∈Z,q′′∈N∗. Ainsia+b∈Q.2.2. Cas par casSi l"on souhaite vérifier une assertionP(x)pour tous lesxdans un ensembleE, on montre l"assertion pour
lesxdans une partieAdeE, puis pour lesxn"appartenant pas àA. C"est la méthode dedisjonctionou du
cas par cas.Exemple 2.
Montrer que pour toutx∈R,|x-1|⩽x2-x+1.
Démonstration.Soitx∈R. Nous distinguons deux cas. Premier cas :x⩾1.Alors|x-1|=x-1. Calculons alorsx2-x+1-|x-1|. x2-x+1-|x-1|=x2-x+1-(x-1)
=x2-2x+2 = (x-1)2+1⩾0. Ainsix2-x+1-|x-1|⩾0 et doncx2-x+1⩾|x-1|. Deuxième cas :x<1.Alors|x-1|=-(x-1). Nousobtenonsx2-x+1-|x-1|=x2-x+1+(x-1) =x2⩾0.Et doncx2-x+1⩾|x-1|.
Conclusion.Dans tous les cas|x-1|⩽x2-x+1.2.3. ContraposéeLe raisonnement parcontrapositionest basé sur l"équivalence suivante (voir la proposition1 ) :L"assertion "P=⇒Q» est équivalente à "non(Q) =⇒non(P)».
Donc si l"on souhaite montrer l"assertion "P=⇒Q», on montre en fait que sinon(Q)est vraie alorsnon(P)
est vraie.Exemple 3.
Soitn∈N. Montrer que sin2est pair alorsnest pair.Démonstration.
Nous supposons quenn"estpas pair. Nous voulons montrerqu"alorsn2n"estpas pair. Comme nn"estpaspair,ilestimpairetdoncilexistek∈Ntelquen=2k+1. Alorsn2= (2k+1)2=4k2+4k+1=2ℓ+1 avecℓ=2k2+2k∈N. Et doncn2est impair.Conclusion : nous avons montré que sinest impair alorsn2est impair. Par contraposition ceci est équivalent
à : sin2est pair alorsnest pair.
LOGIQUE ET RAISONNEMENTS2. RAISONNEMENTS8
2.4. AbsurdeLeraisonnement par l"absurdepour montrer "P=⇒Q» repose sur le principe suivant : on suppose à la
fois quePest vraie et queQest fausse et on cherche une contradiction. Ainsi siPest vraie alorsQdoit être
vraie et donc "P=⇒Q» est vraie.Exemple 4.
Soienta,b⩾0. Montrer que sia1+b=b1+aalorsa=b.Démonstration.
Nous raisonnons par l"absurde en supposant quea1+b=b1+aeta̸=b. Commea1+b=b1+a alorsa(1+a) =b(1+b)donca+a2=b+b2d"oùa2-b2=b-a. Cela conduit à(a-b)(a+b) =-(a-b). Commea̸=balorsa-b̸=0et donc en divisant para-bon obtienta+b=-1. La somme des deux nombres positifsaetbne peut être négative. Nous obtenons une contradiction.Conclusion : si
a1+b=b1+aalorsa=b.Dans la pratique, on peut choisir indifféremment entre un raisonnement par contraposition ou par l"absurde.
Attention cependant de bien préciser quel type de raisonnement vous choisissez et surtout de ne pas changer
en cours de rédaction!2.5. Contre-exemple
Si l"on veut montrer qu"une assertion du type "∀x∈E P(x)» est vraie alors pour chaquexdeEil faut
montrer queP(x)est vraie. Par contre pour montrer que cette assertion est fausse alors il suffit de trouver
x∈Etel queP(x)soit fausse. (Rappelez-vous la négation de "∀x∈E P(x)» est "∃x∈E non P(x)».)
Trouver un telxc"est trouver uncontre-exempleà l"assertion "∀x∈E P(x)».Exemple 5.
Montrer que l"assertion suivante est fausse "Tout entier positif est somme de trois carrés». (Les carrés sont les 02, 12, 22, 32,... Par exemple 6=22+12+12.)
Démonstration.
Un contre-exemple est7: les carrés inférieurs à7sont0,1,4mais avec trois de ces nombres on ne peut faire 7.2.6. RécurrenceLeprincipe de récurrencepermet de montrer qu"une assertionP(n), dépendant den, est vraie pour tout
n∈N. La démonstration par récurrence se déroule en trois étapes : lors de l"initialisationon prouveP(0).
Pour l"étape d"hérédité, on supposen⩾0donné avecP(n)vraie, et on démontre alors que l"assertion
P(n+1)au rang suivant est vraie. Enfin dans laconclusion, on rappelle que par le principe de récurrence
P(n)est vraie pour toutn∈N.
Exemple 6.
Montrer que pour toutn∈N, 2n>n.
Démonstration.Pourn⩾0, notonsP(n)l"assertion suivante : 2 n>n. Nous allons démontrer par récurrence queP(n)est vraie pour toutn⩾0. Initialisation.Pourn=0 nous avons 20=1>0. DoncP(0)est vraie.Hérédité.Fixonsn⩾0. Supposons queP(n)soit vraie. Nous allons montrer queP(n+1)est vraie.
2 n+1=2n+2n>n+2ncar parP(n)nous savons 2n>n, >n+1 car 2n⩾1.LOGIQUE ET RAISONNEMENTS2. RAISONNEMENTS9
DoncP(n+1)est vraie.Conclusion.Par le principe de récurrenceP(n)est vraie pour toutn⩾0, c"est-à-dire2n>npour tout
n⩾0.Remarques :La rédaction d"une récurrence est assez rigide. Respectez scrupuleusement la rédaction proposée : donnez
un nom à l"assertion que vous souhaitez montrer (iciP(n)), respectez les trois étapes (même si souvent
l"étape d"initialisation est très facile). En particulier méditez et conservez la première ligne de l"hérédité
" Fixonsn⩾0. Supposons queP(n)soit vraie. Nous allons montrer queP(n+1)est vraie. »Si on doit démontrer qu"une propriété est vraie pour toutn⩾n0, alors on commence l"initialisation au
rangn0.Le principe de récurrence est basé sur la construction de l"ensembleN. En effet un des axiomes pour
définirNest le suivant : "SoitAune partie deNqui contient0et telle que sin∈Aalorsn+1∈A. Alors
A=N».Mini-exercices.
1. (Raisonnement direct) Soient a,b∈R+. Montrer que sia⩽balorsa⩽a+b2 ⩽beta⩽pab⩽b. 2. (Cas par cas) Montrer que pour toutn∈N,n(n+1)est divisible par2(distinguer lesnpairs desn impairs). 3.(Contraposée ou absurde) Soienta,b∈Z. Montrer que sib̸=0alorsa+bp2/∈Q. (On utilisera quep2/∈Q.)
4. (Absurde) Soit n∈N∗. Montrer quepn2+1 n"est pas un entier.
5. (Contre-exemple) Est-ce que pour tout x∈Ron ax<2=⇒x2<4? 6. (R écurrence)Montrer que pour tout n⩾1, 1+2+···+n=n(n+1)2 7.(R écurrence)Fixons un réel x⩾0. Montrer que pour tout entiern⩾1,(1+x)n⩾1+nx.Auteurs du chapitreArnaud Bodin, Benjamin Boutin, Pascal Romon
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