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est un e v avec un nombre fini d’éléments Remarque: C’est le seul exemple parmi les e v sur un corps K infini, car si x∈E G et x ≠0, alors GG ∀∈λ K,λx∈E G? Les fonctions de [0,1] dans [0,1] forment un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de R dans R FAUX
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Ce syst`eme admet d’autres solutions que la solution nulle On en d´eduit que {e 1,e 2,e 3,e 4} n’est pas libre (2) D’apr`es ce qui pr´ec`ede, le rang de la famille {e 1,e 2,e 3,e 4} est inf´erieur ou ´egal a 3 On consid`ere alors la famille {e 1,e 2,e 3 1 2 1
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TOUS LES EXERCICES
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MP Pour assimiler le programme, s'entraîneret réussir son concours ?Rappels de cours et exercices d'assimilation ?Plus de 400 exercices dont la majorité est issue d'oraux de concours récents ?Solutions complètes et détaillées EL-HAJ LAAMRI PHILIPPE CHATEAUX GÉRARD EGUETHER ALAIN MANSOUX MARC REZZOUK DAVID RUPPRECHT LAURENT SCHWALDPRÉPAS 100%Pour assimiler le programme, sÕentra"ner
et russir son concoursPour assimiler le programme, sÕentra"ner
et russir son concoursEl-Haj Laamri
Agrg en mathmatiques et ma"tre de confrences ˆ Nan cy-UniversitPhilippe Chateaux
Agrg en mathmatiques et professeur en MP au Lyce Henri P oincar ˆ NancyGrard Eguether
Ma"tre de confrences ˆ Nancy-Universit
Alain Mansoux
Agrg en mathmatiques et professeur en PC au Lyce Henri P oincar ˆ NancyMarc Rezzouk
Agrg en mathmatiques et professeur en PC au lyce Henri P oincar ˆ NancyDavid Rupprecht
Agrg de Mathmatiques et professeur en PSI au Lyce HenriLoritz ˆ Nancy
Laurent Schwald
Agrg en mathmatiques et professeur en BCPST au lyce Henr i Poincar ˆ NancyCouverture : Claude Lieber
© Dunod, Paris, 2008
ISBN 978-2-10-053965-9
Table des matières
Présentation de la série " Tous les exercices de mathématiques ».........vii Chapitre 1. Algèbre générale.............................................11.1 L"essentielducoursetexercicesd"assimilation................... 1
1.2 Exercicesd"entraînement...................................... 14
1.3 Exercices d"approfondissement................................. 25
Chapitre 2. Compléments sur les polynômes..............................352.1 Généralités sur les polynômes.................................. 35
2.2 Polynômes à coefcients entiers................................ 43
2.3 Compléments : nombres algébriques et transcendants, extensions de
corps........................................................ 47 Chapitre 3. Espaces vectoriels et Applications linéaires...................513.1 L"essentielducoursetexercicesd"assimilation................... 51
3.2 Exercicesd"entraînement...................................... 71
3.3 Exercices d"approfondissement................................. 76
Chapitre 4. Matrices.....................................................924.1 L"essentielducoursetexercicesd"assimilation................... 92
4.2 Exercicesd"entraînement...................................... 114
4.3 Exercices d"approfondissement................................. 124
Chapitre 5. Déterminants................................................1345.1 Rappelsdecoursetexercicesd"assimilation..................... 134
5.2 Exercicesd"entraînement...................................... 141
5.3 Exercices d"approfondissement................................. 150
Chapitre 6. Équations linéaires...........................................1556.1 L"essentielducours........................................... 155
6.2 Exercices.................................................... 156
© Dunod - La photocopie non autorisée est un délit viTable des matières Chapitre 7. Réduction des endomorphismes..............................1647.1 L'essentielducoursetexercicesd'assimilation................... 164
7.2 Exercicesd'entraînement...................................... 189
7.3 Exercices d'approfondissement................................. 206
Chapitre 8. Espaces préhilbertiens.......................................2238.1 L'essentielducoursetexercicesd'assimilation................... 223
8.2 Exercicesd'entraînement...................................... 237
8.3 Exercices d'approfondissement................................. 242
Chapitre 9. Espaces euclidiens...........................................2489.1 L'essentielducoursetexercicesd'assimilation................... 248
9.2 Exercicesd'entraînement...................................... 258
9.3 Exercices d'approfondissement................................. 277
Chapitre 10. Quadriques et coniques.....................................29510.1 L'essentiel du cours et exercices d'assimilation................... 295
10.2 Exercices d'entraînement ...................................... 305
10.3 Exercices d'approfondissement................................. 311
Chapitre 11. Étude afne et métrique des courbes........................31411.1 L'essentiel du cours et exercices d'assimilation................... 314
11.2 Exercices d'entraînement ...................................... 335
11.3 Exercices d'approfondissement................................. 350
Chapitre 12. Surfaces....................................................35712.1 L'essentiel du cours et exercices d'assimilation................... 357
12.2 Exercices d'entraînement et d'approfondissement ................ 359
12.3 Quelques surfaces usuelles..................................... 365
Chapitre 13. Compléments de géométrie.................................36813.1 Géométrie afne.............................................. 368
13.2 Géométrie afne euclidienne................................... 371
13.3 Isométries vectorielles et afnes en dimension 3.................. 378
13.4 Lieux géométriques ........................................... 386
13.5 Extrema...................................................... 394"doc-MP" (Col. : 100 % Concours 17
Présentation de la série
" Tous les exercices de mathématiques » L"évolution récente de l"enseignement des disciplines scientiques dans les C.P.G.E s"est concrétisée par la dénition d"un nouveau programme de première année en2003 et de seconde année en 2004. Un des objectifs de cette évolution a été de com-
bler le fossé grandissant entre la classe terminale et les classes préparatoires. La progression est explicitement imposée par le nouveau programme qui prévoit notam- ment " un programme de début de l"année », qui exclut la présentation abstraite des concepts au prot d"une démarche fondée sur l"exemple comme point de départ de la conceptualisation, qui préconise l"approche algorithmique en complément de l"ap- proche démonstrative et qui légitime la démarche expérimentale en mathématiques par l"utilisation des logiciels Maple ou Mathematica, logiciels systématiquement uti- lisés dans de nombreux concours, notamment dans le concours commun " Centrale - Supélec ». Mais les programmes des classes préparatoires ne sont pas les seuls à avoir évolué, les programmes de l"enseignement secondaire ont fait l"objet d"une évolution préalable. Enn, l"attitude nouvelle des élèves face aux disciplines scien- tiques rend inefcace l"approche axiomatique et leur appropriation grandissante de l"outil informatique nécessite d"intégrer cet outil à la pédagogie. L"ensemble de ces changements rend impérative la rédaction de nouveaux ouvrages. On constate que c"est davantage la structure, l"ordre des thèmes abordés, l"esprit du programme qui ont évolué, le fond étant resté relativement stable. Sur ce fond, que nous n"avons pas la prétention de renouveler, il existe déjà une abondante et excellente littérature; nous revendiquons une continuité par rapport à nos illustres prédécesseurs et nous nous sommes largement inspirés de leurs écrits pour y pui- ser exercices et sujets en nous efforçant de les présenter en parfaite cohérence avec l"esprit du programme actuel. Car cette nouvelle collection répond à une nécessité : entièrement rédigée après la parution des nouveaux programmes et le début de leur et les préconisations du programme... ce que n"aurait pu assurer sans risque d"ano- malies une simple remise en forme d"une rédaction antérieure. Tous les ouvrages de © Dunod - La photocopie non autorisée est un délit viiiPrésentation de la série " Tous les exercices de mathématiques » cette collection sont écrits trois ans après l'apparition des nouveaux programmes et en respectent scrupuleusement l'esprit. Les rédacteurs ont enseigné et interrogé dans le cadre de l'ancien et du nouveau pro- gramme, ils perçoivent donc parfaitement l'importance de l'évolution. Leur expé- rience de l'enseignement en classes préparatoires et à l'Université, leur interven- tion régulière en " colles », leur participation aux concours comme interrogateurs à l'oral et/ou correcteurs à l'écrit permettent d'afrmer qu'il s'agit d'équipes très " professionnelles». L'équilibre entre la pluralité des approches qui enrichit le fond et la cohérence de la forme qui renforce l'efcacité est le résultat d'un véritable travail collaboratif, d'une maîtrise d'oeuvre rigoureuse et de sources d'inspiration précieuses... citons particulièrement pour les exercices d'oral laRevue de Mathé- matiques Spéciales,l'Ofciel de la Taupeet lesArchives des Professeurs de Spé du Lycée Henri Poincaré de Nancyen particulier celles constituées par Walter APPEL. Cette collection a l'ambition de faire bénécier le lecteur de l'expertise profession- nelle des rédacteurs, chaque ouvrage est donc rédigé avec un souci de rigueur et de clarté au service de la pédagogie, souci qui s'exprime dans quelques principes :- La qualité de rédaction aboutie exigée des élèves nécessite que les auteurs soient
eux-mêmes exemplaires dans leur rédaction, aussi bien celle des énoncés que celle des corrigés. Un soin tout particulier est apporté à l'écriture des éléments "logiques» : précis et sans ambiguïté, le style traduit explicitement les connexions logiques, implication, nécessité, sufsance... dans un souci permanent de rendre explicite ce qui, ailleurs, reste parfois implicite. - Les corrigés proposés sont toujours complets et commentés quand il le faut, en privilégiant les solutions méthodiques et raisonnables aux approches " astu- cieuses » et " miraculeuses ». L'expérience prouve en effet qu'un corrigé trop "brillant» inquiète l'élève qui se sent incapable de la même performance et ne lui apprend rien de la démarche constructive qui peut amener à une solution lorsqu'on possède une maîtrise sufsante des concepts. L'expérience montre aussi la vertu du contre-exemple... il en est fait un usage courant. - La présence de rappels de cours synthétiques est nécessaire pour replacer les exer- pour xer aussi quelques notations choisies parmi les standards. Mais ces éléments de cours ne se substituent en rien à l'enseignement magistral ou aux ouvrages de référence, ils constituent seulement un " minimum conceptuel » immédiatement disponible pour aider la compréhension des exercices qui restent la matière essen- tielle de l'ouvrage. - La volonté de respecter l'esprit des nouveaux programmes privilégie la présenta- tion de sujets récents (de 2004 à 2007) en respectant scrupuleusement la forme de leur rédaction : aucun toilettagerédactionnel ne doit en masquer l'originalité,voire la difculté. Le respect du lecteur exige sa mise en situation réelle de concours. Toutefois ces énoncés sont commentés et expliqués pour rassurer le lecteur en lui montrant que sous des traits parfois déroutants on peut retrouver des " visages Présentation de la série " Tous les exercices de mathématiques »ix connus». Certains exercices proposés aux concours avant 2003 gurent également dans cette collection en raison de leur intérêt; ils sont alors rédigés sous une forme compatible avec le programme actuel. Si ces principes généraux sont respectés dans l'ensemble de la collection, la plus grande maturité des élèves de deuxième année justie quelques différences entre les difcultés à choisir seul, avec discernement, des sujets d'écrits dans les annales. Les ouvrages de première année présentent donc une sélection d'extraits de problèmesd'écrits. L'élève de deuxième année, plus mûr, est capable de trouver lui-même des
sujets d'écrit, les ouvrages de deuxième année n'en présentent donc pas. Cette plusgrande maturité explique aussi le choix qui a été fait de présenter en deuxième année
un bon tiers des exercices d'oral dans leur rédaction d'origine, sans commentaires explicatifs, pour placer l'élève au plus près de la situation réelle du concours; bien entendu, le corrigé est toujours rédigé clairement, avec toutes les indications et tous les commentaires que nécessite leur compréhension. L'objectif essentiel est le res- pect des élèves que l'on met dans une situation proche de celles des concours tout en les guidant dans la correction. Il semble également que des ouvrages spéciques suivant les programmes (MP-MP*, PC-PC* et PSI-PSI*) soient justiés en Mathé- matiques Spéciales alors qu'ils ne le sont pas en premier semestre de Mathématiques Supérieures. Mais, quels que soient les ouvrages, les auteurs ont réalisé un travail de sélection important parmi la multitude d'exercices disponibles pour proposer ceux qu'ils considèrent comme les plus signicatifs : certains sont sélectionnés pour leurintérêt pédagogique, leur généralité, leurs déclinaisons possibles... d'autres sont pré-
sentés essentiellement pour donner une idée dèle de " l'état de l'art actuel » des exercices d'oral et faire l'objet de commentaires au prot des futurs candidats. On aura compris que les ouvrages de cette collection sont avant tout au service des élèves pour lesquels elle constitue un véritable outil pédagogique d'appren- tissage et d'entraînement en vue des concours. Ces ouvrages devraient égalementconvaincre les élèves de l'étendue des points abordés dans les sujets d'oral et d'écrit,
qui couvrent réellement les programmes de première et de deuxième années. Mais les enseignants des C.P.G.E pourront aussi utiliser cette collection comme support de travaux dirigés et comme référence. Enn, les examinateurs disposeront avec cette collection d'exemples de vrais sujets d'oraux donnés récemment; les commentaires qui en sont faits pourront inspirer leur propre démarche pour une évaluation efcace et progressive des candidats. Pour conclure cette présentation, on me pardonnera d'utiliser un ton plus personnel. Maître de conférences et agrégé en Mathématiques, j'ai souhaité partager plusieurs années d'expérience en assurant la maîtrise d'oeuvre des ouvrages de cette collection. Quinze années de participation à différents concours en tant que correcteur d'écrit et examinateur d'oral, m'ont permis de bien connaître la littérature existante et de bien observer l'évolution de l'attitude des élèves qui sont soumis, toujours davan- tage, à des sollicitations nombreuses et diverses, sollicitations qui ne facilitent pas la concentration et peuvent, parfois, les gêner dans la maîtrise de l'ensemble des © Dunod - La photocopie non autorisée est un délit xPrésentation de la série " Tous les exercices de mathématiques » techniques. La nécessité ressentie d'ouvrages adaptés, l'enthousiasme face à l'idéede les rédiger, l'impossibilité de réaliser seul un tel travail, m'ont conduit à réunir
des équipes de rédaction et à assurer la maîtrise d'oeuvre du projet tout en partici-pant activement à l'écriture. Au-delà de l'ambition de réaliser un travail de qualité, il
s'agit d'une expérience humaine inoubliable. Trois personnes ont contribué à la réalisation de ce projet et je souhaite, au sens propre, leur donner le dernier mot : merci. Merci à Eric d'Engenières, éditeur chez Dunod, qui m'a accordé sa conance, a su m'encourager par la qualité de nos échanges et a pu me guider par des conseils et suggestions toujours formulés de manière chaleureuse. Merci à Hervé Coilland, directeur de l'I.U.T Nancy-Charlemagne et Vice-Président de l'Université Nancy 2 qui a toujours trouvé le temps pour des discussions ami- cales au cours desquelles se précisent les objectifs, s'échangent les idées et s'afnent quelques points de rédaction. Merci, inniment, à Nezha, ma femme, qui accepte que beaucoup de temps soit consacré à ce projet, qui préserve autour de moi le calme nécessaire à une entreprise rédactionnelle, qui m'encourage et me conseille dans les phases les plus critiques et dont l'amour est un soutien permanent.Nancy, le 15 février 2008
El-Haj LAAMRI
Avant-propos
Ce livre couvre le programme d"algèbre et de géométrie de deuxième année MP, et poursuit la démarche rédactionnelle entamée avec les ouvrages de première année. Comme pour l"ensemble de la collection, le respect du programme ofciel est un principe que nous avons suivi à la lettre. Par ailleurs, le programme prévoit la reprise et l"approfondissement en deuxième année de certains points abordés en première année : polynômes, espaces vectoriels, applications linéaires, calcul matriciel, déter- minants, étude afne et métrique des courbes, espaces euclidiens. Nous avons mis à prot cette possibilité pour que le présent ouvrage, tout en étant sans ambiguïté destiné aux élèves de deuxième année, présente plusieurs chapitres utilisables enpremière lecture dès le deuxième semestre de première année et pour les " révisions
estivales» entre la première et la deuxième année. Le programme de deuxième année, "la tradition pédagogique» et le souci de garder une bonne cohérence dans la séquence d"algèbre linéaire nous ont amenés à placer en tête de cet ouvrage un chapitre d"algèbre générale suivi d"un chapitre de complé- ments sur les polynômes. Ce chapitre sur les polynômes se place dans la continuité de celui de première année et le complète par la présence d"exercices d"oraux de2007 et d"exercices qui diffèrent de ceux proposés dans l"ouvrage de première année
en raison de la plus grande maturité qu"ils exigent. A la frontière du programme mais présents dans certains exercices d"oraux, les notions de nombres algébriques et transcendants sont également abordées. Les chapitres qui suivent traitent des espaces vectoriels et des applications linéaires, puis du calcul matriciel. Les notions nou- velles de sommes directes, de trace et de matrices semblables sont illustrées par denombreux exercices. De manière délibérée, les exercices proposés ont été sélection-
nés pour clarier et maîtriser l"articulation entre le point de vue matriciel et le point de vue vectoriel, plus géométrique. Ces chapitres permettent de réviser et d"appro-quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18